Предельный анализ и оптимизация

Прибыли, издержек и объема производства

Вернемся к задаче максимизации прибыли предприятия. Математическое решение данной задачи сводится к максимизации функции прибыли P = kQ - Z

Функция имеет экстремум, когда ее производная равна нулю:

Анализ зависимости между ценой продукта и его количеством в динамике позволяет выбрать для функции спроса линейную форму вида k = a₀ + a₁Q. Анализируется n периодов, в каждом из которых считаются заданными параметры k_i и Q_i. По методу наименьших квадратов определяются неизвестные параметры a₀ и a₁ на основе составления и решения системы нормальных уравнений вида

Аналогично проводится анализ зависимости между издержками и количеством выпускаемой продукции, который позволяет определить для функции издержек линейную форму связи вида Z = b₀ + b₁Q. Неизвестные b₀ и b₁ также находятся на основе решения системы нормальных уравнений вида:

Оптимальные параметры определяются из соотношений:

Q_opt = (b₁ - a₀)/(2a₁); Z_opt = b₀ + b₁Q_opt; k_opt = a₀ + a₁Q_opt;

N_opt = k_optQ_opt.; P_opt = N_opt.-Z_opt =(a₀+a₁Q_opt)Q_opt - (b₀+b₁Q_opt)

Обычно предельный анализ проводится с использованием метода наименьших квадратов путем решения систем линейных уравнений для нахождения функций спроса и издержек. Табличный процессор Excel позволяет существенно уменьшить объем вычислений путем использования встроенных функций линейной регрессии.

Найденные функции спроса k(Q) и издержек Z(Q) позволяют определить функцию прибыли P(Q). Максимальное значение этой функции может быть найдено средствами пакета анализа «что-если» Excel. Команда Онпозволяет находить значение параметра-переменной, при котором зависящее от него значение функции в целевой ячейке достигает максимума или любого другого заданного значения (рис. 13).

Последовательность действий:

1. Введем исходные данные (табл. 1).

2. Применим функцию ЛИНЕЙН для вычисления коэффициентов a₁, a₀ функции спроса k(Q):

· выделить интервал A17:B17;

· напечатать формулу =ЛИНЕЙН(B9:G9;B8:G8);

· нажать <Ctrl+Shift+Enter>.

Результат в ячейке A17 - значение коэффициента a₁, в ячейке B17 - значение коэффициента a₀.

3. Аналогично находим коэффициенты b₁, b₀ функции издержек Z(Q):

· выделить интервал D17:E17;

· напечатать формулу =ЛИНЕЙН(B10:G10;B8:G8);

· нажать <Ctrl+Shift+Enter>.

Результат в ячейке D17 - значение коэффициента b₁, в ячейке E17 - значение коэффициента b₀.

4. Найденные функции спроса k(Q) и издержек Z(Q) позволяют определить функцию прибыли P(Q). Максимальное значение этой функции (оптимальная прибыль P_opt при некотором значении Q (Q_opt) может быть найдено средствами оптимального решения анализа «что-если» пакета Excel.

Рис. 13

Команда Поиск решения меню Сервиспозволяет находить значение параметра-переменной, при котором зависящее от него значение функции в целевой ячейке достигает максимума или любого другого заданного значения. Алгоритм поиска решения сводится к тому, что на каждом шаге параметры в изменяемых ячейках принимают пробные значения, функция перерассчитывается и полученный результат сравнивается с результатом предыдущего шага. Процесс прекращается, когда достигается целевое значение, либо исчерпано допустимое количество шагов.

5. Для нахождения значения Q_opt и соответствующей величины P_opt, необходимо:

· установить начальное значение Q (=100 в ячейке С20);

· ввести формулу для вычисления прибыли (ячейка D19):

=(B17+A17*C20)*C20-(E17+D17*C20);

· выбрать пункт меню Сервис/Поиск решения;

· в диалоговом окне указать адрес целевой ячейки, вычисляющей значение P_opt (D19);

· установить переключатель на поиск максимального значения;

· указать адрес изменяемой ячейки, содержащей значение Q_opt (С20);

· закончить диалог, нажав кнопку <Выполнить>.

· убедиться в правильности полученного решения. Если найденное значение целевой ячейки (величина P_opt) приемлемо - нажать <ОК>, если вызывает определенные сомнения - нажать <Отмена> и проверить запись формулы (D19).

Таблица 2 и диаграмма иллюстрируют найденное решение, показывая график зависимости прибыли от объема производства.

Список рекомендуемой литературы

1. Симонович С.В. и др. Информатика. Базовый курс: Учебник для ВУЗов. -СПб: Изд. "Питер", 2000.

2. Турчак Л.И. Основы численных методов. - М.: Наука, 1987.

3. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. - М.: Наука. 1989.

4. Office 97 шаг за шагом: Учеб. пособие / СПб.: Изд "Питер", 1999.

5. Николь Н-, Альбрехт Р. Электронные таблицы Excel для квалифицирован­ных пользователей: Практ. пособ./ Пер. с нем. - М.: ЭКОМ., 1995.

6. Курицкий Б. Поиск оптимальных решений средствами Excel 7.0.- СПб.: BHV-Санкт Петербург, 1997.

7. Оптимизация объема производства, прибыли и издержек предприятия с ис­пользованием табличного процессора EXCEL для Windows: Метод. разра­ботка для проведения занятий по курсам «Информатика» и «Управленче­ский учет» / Сост.: И.В. Зороастрова, С.Н. Митяков, О.И. Митякова, И.Б. Удалова. НФ ГУ ВШЭ, Н. Новгород, 1998.

Содержание

Введение ………………………………………………………………………….. 3

1. Ознакомительные практические занятия. Освоение основных приемов

работы с пакетом Excel ..........................................................……………….. 3

1.1. Контрольные вопросы ..................................................………………... 3

1.2. Ввод и обработка текстовых и числовых данных в системе

элек­тронных таблиц. Использование формул и метода

автозаполне­ния. Относительные и абсолютные ссылки.

Работа с мастером функций ................................................................... 5

1.3. Подготовка и форматирование документа Excel.

Построение диаграмм ...................................................................……. 7

2. Численные методы решения нелинейного уравнения с одним

неиз­вестным ............................................................................……………… 9

2.1. Постановка задачи ..........................................................…………….. 9

2.2. Шаговый метод .............................................................……………… 9

2.3. Метод половинного деления .............................................…………. 10

2.4. Метод Ньютона .............................................................…………….. 10

2.5. Метод простой итерации .................................................…………... 11

2.6. Реализация в пакете Excel.................................................………….. 11

2.7. Задача максимизации прибыли предприятия .........................……… 13

3. Численные методы решения систем линейных уравнений ..............………. 17

3.1. Постановка задачи ........................................................…………….... 17

3.2 .Метод Гаусса ....................................……………................................ 17

3.3. Метод простой итерации и метод Зейделя ............................……… 18

3.4. Реализация в пакете Excel.................................................…………... 19

3.5. Решение задачи межотраслевого баланса (модель Леонтьева) ....… 23

4. Интерполяция и аппроксимация функций ...................................…………... 25

4.1. Постановка задачи ......................................................………………. 25

4.2. Линейная интерполяция ...................…………................................... 25

4.3. Квадратичная интерполяция ..............………….................................. 28

4.4. Общий случай полиномиального интерполирования.

Метод не­определенных коэффициентов ............................................ 29

4.5. Аппроксимация функций ...............................................…………..... 31

4.6. Предельный анализ результатов хозяйственной деятельности

предприятия..................................................………………................ 32

Список рекомендованной литературы ........................………...................... 35