Исследование процесса слива жидкости из сосуда

Учебное пособие

РПК "Политехник"

Волгоград 2000

УДК 62-50:54+66(075)

Рецензенты: А.Ф.Крюков, В.В.Староверов

Шаповалов В.М. Лабораторный практикум по математическому моделированию процессов переноса: Учебное пособие/ВолгГТУ,Волгоград,2000.- 49 с.

ISBN 5-230-03812-8

Представлено подробное описание лабораторных установок в соответствии с последовательностью изучаемого теоретического курса и практических занятий по математическому моделированию процессов переноса. Структура и методическое содержание пособия соответствует разделам программы. Для отдельных задач даны математические модели процессов переноса тепла, массы. Уделено внимание простоте, наглядности и доступности экспериментальной части работ. Автор признателен сотрудникам кафедры Леонидовой С.А. и Харитонову В.Н. за выполнение иллюстраций.

Учебное пособие предназначено для студентов дневной формы обучения по направлению 5518 “Технологические машины и оборудование”.

Ил. 7. Табл.1. Библиогр: 10 назв.

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Волгоградского государственного технического университета.

Ó Волгоградский

государственный

технический

университет,2000

Работа №1

Исследование процесса слива жидкости из сосуда

1. Цель работы: экспериментальная проверка расчетных формул продолжительности слива маловязких и высоковязких жидкостей из призматического сосуда.

Содержание работы.

1. Изучить применение закона Бернулли для анализа процесса слива маловязкой жидкости.

2. Учет влияния сил вязкого трения на продолжительность слива.

3. Зависимость коэффициента расхода от числа Рейнольдса.

4. Экспериментально определить продолжительность слива.

Теоретическая часть.

Определим расход маловязкой жидкости при ее истечении через круглое отверстие в тонком днище открытого сосуда, в котором поддерживается постоянный уровень H жидкости (рис. 1, а).

а б

Рис. 1. Истечение жидкости из сосуда:

а – при постоянном уровне; б – при переменном уровне.

Выбрав плоскость сравнения 0-0 параллельной днищу сосуда, напишем уравнение Бернулли (считая жидкость идеальной) для сечения 1-1, соответствующего верхнему уровню жидкости в сосуде, и сечения 2-2, плоскость которого проходит через самое узкое сечение вытекающей струи

.

Для открытого сосуда ; кроме того, при постоянном уровне жидкости скорость ее . Пренебрегая небольшим расстоянием самого узкого сечения струи от дна, можно принять, что . Отсюда

.

Получим формулу Торичелли для идеальной жидкости

.

Скорость истечения жидкости не зависит от формы сосуда, а определяется только высотой столба жидкости над отверстием.

При истечении реальной жидкости часть напора Н теряется на трение и преодоление сопротивления, обусловленного внезапным сужением потока в отверстии. Поэтому скорость реальной жидкости

где - поправочный коэффициент ( <1), называемый коэффициентом скорости, который учитывает потери напора при истечении через отверстие.

Кроме того, вследствие сжатия струи на выходе из отверстия от сечения S₀ до S₂, скорость w₀ жидкости в отверстии должна быть меньше, чем w₂. Тогда

, ( 1 )

где - коэффициент сжатия струи, - коэффициент расхода. Коэффициент расхода определяют опытным путем, его значение зависит от критерия Re.

Объемный расход жидкости V_сек равен произведению ее скорости на площадь сечения S₀ отверстия

( 2 )

Из уравнения ( 2 ) следует, что расход жидкости, вытекающей через отверстие в тонком днище, зависит от высоты уровня жидкости над отверстием и размера отверстия, но не зависит от формы сосуда. Это уравнение применимо также для определения расхода жидкости, вытекающей через отверстие в тонкой боковой стенке сосуда, если считать Н расстоянием от верхнего уровня жидкости до оси отверстия.

Для жидкостей, по вязкости мало отличающихся от воды, можно принять в первом приближении . При истечении жидкости через короткий цилиндрический патрубок (насадок) происходит дополнительная потеря напора на входе и выходе жидкости, что приводит к снижению . Вместе с тем, струя при входе в патрубок после некоторого сжатия снова расширяется и вытекает, заполняя все его сечение, т.е. можно считать . В итоге, коэффициент расхода жидкости при истечении через насадок оказывается большим, чем при истечении через отверстие, и для воды может быть принят .

Теперь рассмотрим истечение через отверстие в тонком днище при переменном уровне жидкости в сосуде, с целью определения времени опорожнения сосуда.

При таком истечении жидкости (рис. 1,б) ее уровень Н снижается во времени и, согласно уравнению ( 1 ), уменьшается также скорость истечения . Следовательно, процесс истечения носит нестационарный характер.

Определим время, за которое уровень жидкости в сосуде опустится от первоначальной высоты Н₁ до некоторой высоты Н₂ . За бесконечно малый промежуток времени , в соответствии с уравнением ( 2 ), через отверстие в днище вытекает элементарный объем жидкости

где - площадь поперечного сечения отверстия.

За тот же промежуток времени уровень жидкости в сосуде понизится на бесконечно малую величину dH, и при постоянной площади поперечного сечения S сосуда убыль жидкости в нем составит

.

Знак минус указывает на уменьшение высоты жидкости в сосуде с ростом времени.

Приравнивая, согласно уравнению неразрывности потока, эти объемы, получаем дифференциальное уравнение первого порядка

откуда, разделяя переменные, имеем

(3)

Проинтегрируем это выражение для начального условия t=0, H=H₁, принимая, что коэффициент расхода постоянен, т.е. не зависит от скорости истечения:

,

выполнив интегрирование степенной функции в правой части, находим время

.

Таким образом, время опорожнения сосуда, имеющего постоянное поперечное сечение, от высоты H₁ до высоты H₂ составляет

. (4)

В случае полного опорожнения резервуара H₂ = 0 и уравнение ( 4 ) принимает вид

. (5)

При решении задачи о времени опорожнения сосуда, площадь поперечного сечения которого изменяется по высоте (например, при истечении из конических резервуаров, цистерны и др.) в процессе интегрирования должна быть учтена зависимость площади сечения S от уровня H жидкости.

Рассмотрим сосуд конической формы, расчетная схема которого представлена на рис.2.

Первоначальный уровень жидкости H₁ . Соответствующий диаметр свободной поверхности D₁. На текущей высоте H диаметр сосуда D. Требуется найти время истечения, т.е. время, по истечении которого уровень жидкости будет составлять H₂, а диаметр сосуда D₂ – соответственно.

Предварительно найдем зависимость D(H). Из условия геометрического подобия прямоугольных треугольников, можем записать

где x – неизвестное расстояние от дна сосуда до вершины конуса.

Рис.2. Схема слива жидкости из конического сосуда

Из первого равенства находим x

.

Далее из первого и последнего выражения с учетом x, получим для D линейную зависимость

Найдем площадь сечения сосуда для текущей высоты, т.е. функцию S(H)

.

Подставив это выражение в дифференциальное уравнение (3) и проинтегрировав его левую часть, можем записать

.

Учитывая , что

,

а также используя формулу Лейбница для определенных интегралов, имеем

В случае полного слива жидкости H₂=0 расчетное уравнение упрощается

( 6 )

Полученные расчётные зависимости пригодны исключительно для маловязких жидкостей, когда силы вязкого трения незначительны и справедливо исходное уравнение Бернулли.

Рассмотрим истечение жидкости значительной вязкости при переменном уровне. При выводе формулы ( 4 ) использовалось допущение const , т.е. коэффициент расхода принимался не зависящим от напора. В действительности коэффициент расхода зависит от числа Рейнольдса , где d – диаметр отверстия, а следовательно и от напора. В широком диапазоне значений коэффициент расхода изменяется незначительно, поэтому, используя формулу (4) или (5), при среднем значении 0,635 не следует ожидать значительной погрешности. При Re<50, т.е. при истечении жидкостей большой вязкости, коэффициент расхода с уменьшением Re начинает падать; в подобных случаях допущение const , а следовательно и формула (4), не дают правильных результатов. Для малых Re примем следующую зависимость для коэффициента расхода

. (7)

Рассмотрим истечение жидкости из отверстия в дне вертикального призматического сосуда при отсутствии притока (рис. 1,б). Используя, как получено выше, условие равенства элементарных расходов за время , дифференциальное уравнение (3) и формулу для (7), можем записать.

.

Проинтегрируем это выражение в пределах от H₁ до H₂ (используя начальное условие t=0, H=H₁)

.

В результате для времени истечения имеем

.

Или для цилиндрического сосуда, диаметром D, и круглого отверстия

. (8)

Уравнение (8) в отличие от уравнения (4) учитывает влияние вязкости жидкости на продолжительность истечения; из (8) следует, что время истечения прямо пропорционально вязкости. Из формулы ( 7 ) следует, что время полного опорожнения призматических сосудов стремиться к бесконечности ( ).

В случае, если давление на свободной поверхности жидкости больше атмосферного (для закрытого сосуда), формула (8) принимает вид

, (9)

где p – избыточное давление на поверхности жидкости в сосуде. Из этой формулы следует, что время истечения жидкостей большой вязкости можно сократить, повышая избыточное давление или снижая её вязкость.

Пределы применимости уравнений (8), (9) определяются пределами применимости исходного уравнения ( 7 ), которое справедливо при условии

. (10)

Видно, что ограничения накладываются на напор H, а именно, его максимальное значение. При очень малых напорах ( <2) заметное влияние получают силы тяжести (подток жидкости по дну к отверстию, прорыв воздухом воронки), и уравнение ( 7 ), а следовательно, и формула ( 8 ) не дают правильных результатов.

Содержание отчета

Отчет должен содержать схему установки, расчеты продолжительности слива маловязкой и высоковязкой жидкостей, расчет числа Рейнольдса.

Должны быть даны выводы о правомерности применения расчетных формул из их соответствия числу Рейнольдса.

7. Контрольные вопросы

1. Какие приняты допущения при применении закона Бернулли к процессу слива жидкости?

2. Почему в формулу Торичелли вводится коэффициент скорости?

3. Что такое коэффициент сжатия струи?

4. От чего зависит коэффициент расхода?

5. Как учитывается при получении времени слива форма сосуда (призматический или конический)?

6. Какая зависимость принимается для коэффициента расхода от числа Рейнольдса при анализе слива высоковязкой жидкости?

7. Как влияет на продолжительности слива давление газа над поверхностью жидкости в закрытом сосуде.

8. Граница применимости расчетной формулы слива высоковязкой жидкости.

Литература

1. Касаткин А.Г. Основные процессы и аппараты химической технологии. -М.: Химия, 1971. –64-66 с.

2. Альтшуль А.Д. Гидравлические сопротивления. - М.: Недра, 1982. –208-210 с.

Работа №2

I. Цель работы

Экспериментальное определение коэффициента проницаемости неподвижного зернистого слоя, уяснение физической сущности закона Дарси.

Содержание работы

1. Ознакомиться с основными геометрическими характеристиками зернистого слоя.

2. Физическая сущность закона Дарси и границы его применимости.

3. Связь между коэффициентом фильтрации , коэффициентом проницаемости и удельным сопротивлением осадка.

4. Ознакомиться с классическими методиками измерения сопротивления зернистого слоя.

5. Экспериментально измерить коэффициент фильтрации зернистого слоя.

Теоретическая часть

Во многих процессах химической технологии имеет место движение жидкостей или газов через неподвижные слои материалов, состоящих из отдельных элементов. Движение потока через зернистый слой используется в различных технологических процессах (фильтрование, газоочистка, промывка, экстрагирование и др.).

Форма и размеры элементов зернистых слоев весьма разнообразны: мельчайшие частицы слоев осадка на фильтрах, гранулы, таблетки и кусочки катализаторов и адсорбентов, крупные насадочные тела (в виде колец, седел и т.п.), применяемые в абсорбционных и ректификационных колоннах. При этом зернистые слои могут быть монодисперсными или полидисперсными в зависимости от того, одинаковы или различны по размеру частицы слоя.

При движении жидкости через зернистый слой, когда поток полностью заполняет свободное пространство между частицами слоя, можно считать, что жидкость одновременно обтекает отдельные элементы слоя и движется внутри каналов неправильной формы, образуемых пустотами и порами между элементами.

Основные геометрические характеристики зернистого слоя: удельная поверхность, пористость и эквивалентный диаметр каналов.

Удельная поверхность а(м²/м³) представляет собой суммарную поверхность частиц материала, занимающих 1 м³. Чем меньше размер частиц тем больше удельная поверхность слоя.

Доля свободного объема, или пористость e, выражает объём свободного пространства между частицами в единице объёма, занятого слоем. Если V - общий объём, занимаемый зернистым слоем, и V_о - объём, занимаемый самими частицами, то

e =(V-V_о)/V.

Пористость зависит от формы частиц и не зависит от их размера. При e=0 поры в объёме V отсутствуют (сплошное тело); при e=1 поры занимают весь объём V , т.е. жидкость занимает весь объём V. В зернистых слоях e изменяется в пределах от 0,25 до 0,9. Например, для частиц сферической формы e@0,4.

Эквивалентный диаметр каналов в зернистом слое определяется

Он может быть выражен также через размер частиц

где d - диаметр шара, имеющего тот же объём, что и частица; Ф - фактор формы (для куба Ф=0,806, для шарообразных частиц Ф=1).

Значения Ф,e,а для различных материалов приводятся в справочной литературе. Величина e может зависеть от соотношения между диаметром d частиц и диаметром D аппарата, в котором находится слой. Это связано с так называемым пристеночным эффектом: пористость слоя у стенок всегда выше, чем в центральной части слоя. Пристеночный эффект вызывает неравномерность распределения скоростей потока: скорости у стенок, где доля свободного объёма слоя больше и сопротивление ниже, превышает скорость в центральной части аппарата.

Первые эксперименты по фильтрации воды были поставлены Дарси в 1854г. Он исследовал фильтрацию воды в вертикальной трубе, заполненной песком. В результате им было установлено, что количество фильтрующейся воды, проходящей через единицу площади поверхности, пропорционально потере напора. Эта экспериментальная зависимость была названа законом Дарси.

В дифференциальной форме зависимость Дарси имеет вид

v = - k₁ , (1)

где k₁- коэффициент фильтрации, H=P/rg+z - напор, P- давление, r - плотность жидкости, z - высота рассматриваемой точки над плоскостью сравнения, v - скорость движения жидкости в направлении s. Знак минус указывает на то, что движение жидкости направлено в сторону уменьшения напора.

Разница в давлениях Р не обязательно является причиной движения воды. Например, в стакане с водой есть разность давлений по высоте, но нет движения воды, так как напоры Н по высоте слоя воды одинаковы. Однако в технологических аппаратах при движении газа или жидкости сквозь плотный слой зернистого материала часто именно давление Р является движущей силой фильтрации, а гидростатической составляющей напора можно пренебречь.

Полагая dH/ds=1, находим, что |v| = k₁, т.е. коэффициент фильтрации (в м/с) численно равен скорости фильтрации при градиенте напора, равном единице.

а) б)

Рис.1 Прибор Дарси (а) и трубка Каменского(б) для измерения коэффициента фильтрации зернистого материала: 1-слой зернистого материала; 2-пьезометры; 3-сетка; 4-мерный сосуд.

Коэффициент фильтрации определяют в лабораторных условиях путем замера расхода воды и разности напоров в основном по двум схемам. В первой схеме (прибор Дарси)(рис.1,а) по торцам вертикального образца с помощью сливов устанавливают постоянную разность напоров DH и у нижнего слива непосредственным отбором профильтрованной воды определяют расход Q. Тогда, зная площадь поперечного сечения трубки прибора F и длину образца и используя зависимость (1), получим

,

откуда

.

Можно также измерять разности напоров DH¢ по пьезометрам, установленным на расстоянии , при этом

.

Во второй схеме (рис.1,б) о расходе воды можно судить по скорости снижения уровня воды в цилиндре. Согласно закону Дарси (1)

,

где скорость должна удовлетворять уравнению неразрывности Q=Fv. Расход воды через образец с поперечным сечением F будет

,

где h - текущая высота столба жидкости. За период времени dt объём выходящей воды из образца Qdt должен быть равен уменьшению объёма воды в трубке Fdh. Поэтому уравнение неразрывности потока воды можно представить в виде

.

Интегрируя это уравнение в пределах от h ₁ до h₂, получим для коэффициента фильтрации

, (2)

где t₁ - время снижения уровня воды в цилиндре от h₁ до h₂.

Коэффициент фильтрации различных зернистых материалов меняется в широком диапазоне. Например, для чистых песков k₁ меняется от 10^-4 до 10^-2 м/с.

Коэффициент фильтрации k₁ зависит не только от свойств зернистого материала, но и от свойств фильтрующейся жидкости, именно зависит от вязкости m, которая, в свою очередь, зависит от температуры. Таким образом, коэффициент фильтрации k₁ характеризует и слой частиц, и жидкость, которая фильтруется. Вследствие этого, рассматривая фильтрацию различных жидкостей, целесообразно придать закону Дарси (1) другой вид, а именно ввести в этот закон в явном виде коэффициент вязкости жидкости m:

v = - (k/m) gradH, (3)

где k - коэффициент проницаемости слоя. Из сопоставления (1) и (3) следует связь коэффициента проницаемости и коэффициента фильтрации

k = k₁m/rg.

В качестве примера зависимости k от пористости e можно указать формулу Козени вида

k = 8,4(1,275 - 1,5e)² d² e³/(1-e)²,

где d - диаметр частиц (эффективный).

Верхний предел применимости закона Дарси определяется тем, что при относительно больших скоростях фильтрации нарушается линейная зависимость между потерей напора и расходом. Можно указать верхний предел применимости закона Дарси. Он справедлив при числах Рейнольдса Re = vdr/m £ 3 ¸ 10. Закон Дарси применим для мелкозернистых материалов и малых скоростей фильтрующейся жидкости.

В теории фильтрования при течении различных жидкостей через слой осадка широко используется следующая форма уравнения Дарси

(4)

где DP - гидравлическое сопротивление осадка высотой h, r_o - удельное сопротивление осадка. Из сопоставления (3)и (4) получим связь между коэффициентом проницаемости слоя k и удельным сопротивлением осадка r_o:

k = 1/r_o.

Рекомендуется следующая формула для ориентировочного расчета удельного сопротивления осадка

r_o = 150(1-e)²/(e³F²d²) ,

где d - диаметр шара, имеющего тот же объём, что и частица, Ф=F_ш/F - фактор формы, F_ш - поверхность шара равного объёма с частицей, F - поверхность частицы. Для шара Ф=1, для куба Ф=0,806.

Для расчета гидравлического сопротивления зернистого слоя при любом режиме течения жидкости (как ламинарном, так и турбулентном) используется уравнение

,

Величина коэффициента сопротивления l зависит от критерия Рейнольдса

l =133/Re + 2,34 ,

где Re = 4rv/am.

Коэффициент проницаемости используется при решении различных задач фильтрации. Задачей расчета фильтрации является определение зависимости расхода жидкости от перепада давления, а также характер распределения давления и скорости в зернистом слое. В качестве примера рассмотрим фильтрационное движение жидкости через плоскую стенку. Пусть имеем плоскую пористую стенку, толщиной d. Ось х направлена по нормали к поверхности стенки. Размер стенки ВхН. Расход жидкости Q. Давление на входе Р₁, на выходе P₀. Течение стационарное, изотермическое. Жидкость вязкая.

Для решения задач фильтрации используется уравнение неразрывности и закон Дарси. Течение в направлениях y и z отсутствует, поскольку нет соответствующих перепадов давления, поэтому можем положить v_y=v_z=0. Таким образом, уравнение неразрывности для этой задачи имеет вид

dv_x/dx=0.

Следовательно v_x=const.

С другой стороны компоненту скорости v_x можно определить пользуясь законом Дарси

(5)

Граничные условия для давления имеют вид

x=0, P=P₁, (6)

x=d, P=P₀, (P₁>P₀). (7)

В уравнении (5) разделим переменные и проинтегрируем с учетом условия (6) и v_x=const

Выполнив интегрирование, получим линейную зависимость для распределения давления в стенке

(8)

Неизвестную скорость фильтрации v_x найдем, используя граничное условие (7). Имеем

откуда

(9)

Найдем объемный расход жидкости

Q=v_xHB,

или

Таким образом, найдена зависимость расхода жидкости от перепада давления.

Если в выражение (8) подставить величину v_x из (9), то получим следующее выражение для распределения давления в стенке

Следовательно распределение давления по толщине стенки линейно.

Аналогично может быть решена задача фильтрации в цилиндрической стенке.

Список контрольных вопросов

1. В каких процессах имеет место течение Среды через зернистый слой?

2. Что такое удельная поверхность?
3. Что такое пористость?

4. Что такое эквивалентный диаметр каналов в зернистом слое?

5. Сущность закона Дарси.

6. Физический смысл коэффициента фильтрации.

7. Устройство экспериментальных установок для измерения коэффициента фильтрации.

8. Как связан коэффициент фильтрации с коэффициентом проницаемости.

9. Граница применимости закона Дарси.

10. Как рассчитывается сопротивление зернистого слоя при любом режиме движения жидкости?

11. Устройство экспериментальной установки.

12. Методика проведения лабораторной работы.

ЛИТЕРАТУРА

1.Иванов П.Л. Грунты и основания гидротехнических сооружений. -М.:Высшая школа,1991. -447с.

2. Голубева О.В. Курс механики сплошных сред. -М.: Высшая школа,1972. -368с.

Работа №3

Режима

1. Цель работы: экспериментальное определение коэффициента теплопроводности и коэффициента теплоотдачи методом регулярного теплового режима.

Содержание работы.

1. Ознакомиться с сущностью регулярного теплового режима.

2. Уяснить особенности нестационарной теплопроводности объекта конечных размеров.

3. Составить представление о стадиях охлаждения (нагревания) тела.

4. Теплообмен тела при высоких и низких интенсивностях.

5. Экспериментально, пользуясь методом регулярного теплового режима, определить коэффициент теплопроводности и коэффициент теплоотдачи сферического образца.

Теоретическая часть.

Переходным между стационарным и нестационарным режимами является регулярный тепловой режим. Теория регулярного режима может быть применена при решении таких практических задач, как определение времени прогрева (охлаждения) тел, определение теплофизических параметров вещества, коэффициента теплоотдачи, коэффициента излучения и термических сопротивлений. Достоинство метода заключается в простоте техники эксперимента, достаточной точности получаемых результатов и малой продолжительности эксперимента.

Анализ решений нестационарных задач теплопроводности для тел различной формы показывает, что они имеют одинаковую структуру. Например, для неограниченной пластины температурное поле описывается рядом

где - безразмерная температура, T₀ - начальная температура, T_с - температура среды, m_n - корни уравнения , - число Био, a - коэффициент теплоотдачи, d - полутолщина пластины, l - коэффициент теплопроводности пластины, - коэффициент температуропроводности, x - координата, t - время, .

В этом уравнении - постоянный коэффициент, свой для каждого члена ряда (не зависящий ни от координат, ни от времени). Множитель является функцией только координаты x и его можно обозначить U_n. Экспонента будет убывать пропорционально времени t. Комплекс представляет собой постоянное вещественное положительное число, оторое можно обозначить m_n , причем m будет изменяться в зависимости от номера индекса так же, как и m, т.е.

(1)

где n=1, 2, 3...

С учетом сказанного выражение для пластины можно представить как

(2)

Для тел других геометрических форм температурное поле также будет описываться уравнением вида (2). Специфика геометрической формы учитывается различным видом множителей A_n и U_n . Для тел одной и той же формы различным начальным распределением температуры будут соответствовать различные совокупности числе A_n .

При малых значениях t от t=0 до t₁ распределение температуры внутри тела и скорость изменения во времени температуры в отдельных точках тела зависят от особенностей начального распределения температур. В этих условиях поле температур в теле будет определяться не только первым, но и последними членами ряда (2).

Это первый период охлаждения, при котором скорость изменения температуры внутри тела зависит от вида начального распределения температуры, называют неупорядоченной стадией процесса охлаждения (нагревания). Благодаря неравенству (1) с увеличением времени t последующие члены ряда (2) будут быстро убывать, т.е. ряд становится быстросходящимся.

Начиная с некоторого момента времени t>t_1, начальные условия начинают играть второстепенную роль и процесс полностью определяется только условиями охлаждения на границе тела и среды, физическими свойствами тела и его геометрической формой и размерами. Температурное поле описывается первым членом ряда (2)

. (3)

Это соотношение показывает, что изменение избыточной температуры как в пространстве, так и во времени не зависит от начального распределения температуры. Логарифмируя последнее уравнение и опуская индексы, получаем

или

. (4)

Из уравнения (4) следует, что натуральный логарифм избыточный температуры для всех точек тела изменяется во времени по линейному закону. Графическая зависимость между и временем будет иметь вид прямой (рис.1). При длительном охлаждении (t®¥ или, что то же F₀®¥) все точки тела в конце концов принимают одинаковую температуру, равную Т_с (наступило стационарное состояние).

Таким образом, весь процесс охлаждения можно разделить на три стадии.

Первая стадия (неупорядоченного) режима характеризуется большим влиянием начального распределения температуры, и зависимость между q и t описывается уравнением (2).

Вторая стадия охлаждения называется регулярным режимом, и зависимость между q и t описывается уравнением (3).

Третья стадия охлаждения соответствует стационарному режиму, когда температура во всех точках тела равна температуре окружающей среды (имеет место тепловое равновесие).

Остановимся более подробно на рассмотрении второй стадии охлаждения.

После дифференцирования обеих частей уравнения (4) по времени получим;

(5)

В левой части уравнения (5) стоит выражение для относительной скорости изменения температуры, и оно равняется постоянной величине m, не зависящей ни от координат, ни от времени.

Величина m измеряется в 1/с и называется темпом охлаждения. При наступлении регулярного режима темп охлаждения не зависит ни от координат, ни от времени и является величиной постоянной для всех точек тела. Темп охлаждения, как это следует из уравнения (5), характеризует относительную скорость изменения температуры в теле и зависит только от физических свойств тела, процесса охлаждения на его поверхности, геометрической формы и размеров тела.

Если экспериментально определить изменение температуры q во времени t и построить зависимость в полулогарифмических координатах, то из рис.1 следует, что темп охлаждения в стадии регулярного режима найдется так

(6)

При (практически ) или, что то же, , темп охлаждения m становится прямо пропорциональным коэффициенту температуропроводности тела a, [м²/с]

(7)

Коэффициент пропорциональности k зависит только от геометрической формы и размеров тела.

Так, для шара

, (8)

для параллелепипеда

,

для цилиндра конечной длины

,

где r - радиус шара или цилиндра, - длина цилиндра, , , - стороны параллелепипеда.

Таким образом, для измерения коэффициента температуропроводности необходимо экспериментально измерить изменение температуры образца в виде, например, шара при интенсивном охлаждении его поверхности. По формуле (6) найти темп охлаждения, и далее используя формулы (7), (8) вычислить a.

Также можно использовать в исследованиях режимы с малыми интенсивностями охлаждения . При этом очевидно, скорость процесса определяется соотношением теплоёмкости объекта и интенсивности теплообмена с окружающей средой. При для пластины, цилиндра и шара уравнения для средней температуры тела запишутся соответственно:

(9)

Рассмотрим охлаждение шара

.

Сопоставляя в (9) с (3), найдем темп охлаждения

(10)

Здесь учитывалось , где - плотность, с - теплоемкость.

Таким образом, используя формулу (6) находим из экспериментальных данных, полученных при низкой интенсивности охлаждения, величину m. Далее по формуле (10) можно найти либо коэффициент теплоотдачи на поверхности образца, если известна