Сумма степенного ряда является аналитической функцией в круге сходимости.
Рассмотрим функцию f(z). Составим ряд
Ряд (**) – ряд Тейлора для функции f(z).
Известны следующие разложения в ряд Тейлора.
Можно показать, что радиус сходимости равен R = ∞.
Ряд Лорана.
В комплексном анализе имеют дело не только со степенными рядами, но и с двусторонними рядами
Ряд сходится при |t| < R2′
|z – a| > R2, R2 = 1/R2′ . Следовательно, ряд Лорана сходится в кольце
![]() |
R2 < |z – a| < R1
R1 Теорема.
z = aСумма ряда Лорана является аналитической
(С) функцией в кольце сходимости R2 < |z – a| < R1.
R2
Найдем коэффициенты ряда Лорана. Рассмотрим
(все слагаемые в правой части обратились в нуль, кроме одного, когда k + 1 – n = 1, т.е. n = k).
Отсюда
Особые точки.
Особыми точками функции f(z) называются точки, в которых нарушается аналитичность функции.
Особая точка z = a называется изолированной, если существует такая окрестность этой точки, в которой она является единственной особой точкой.
Например, f(z) = 1/(z-1) , z = 1 – изолированная особая точка.
Если точка z = a является изолированной особой точкой, то существует достаточно малое кольцо R2 < |z – a| < R1, в котором функция f(z) аналитическая и разлагается в ряд Лорана.
(*)
При этом могут представиться три случая.
1.Разложение (*) не содержит главной части.
Особая точкаz = a называетсяустранимой особой точкой.
П р и м е р. Показать, что z = 0 – устранимая особая точка функции
В полученном разложении отсутствует главная часть, поэтому точка z = 0 – устранимая особая точка. Если принять, что f(0) = 1, то функция станет аналитической.
2. Разложение содержит конечное число слагаемых в главной части.
Если то точка z = a называетсяполюсомm-го порядка. Если m = 1, то полюс называется простым.
П р и м е р .
. Точки z = 1 и z = i являются особыми точками.
z = 1 – простой полюс, т.к.
z = i – полюс второго порядка. т.к.
- Разложение в ряд Лорана содержит в главной части бесконечное множество членов. Точка z = a называется существенно особой точкой. В существенно особой точке функция f(z) – неопределенна.
Вычеты функции.
Вычетом функции f(z) в конечной изолированной особой точке z = a называется коэффициент а-1при 1/(z – a) в разложенииf(z) в ряд Лорана в окрестности точки
z = a.
Используя формулу коэффициентов ряда Лорана, получим
Здесь (С) – окружность |z – a| = r, принадлежащая кольцу сходимости.
Отсюда, если z = a – правильная или устранимая особая точка, то Res f(a) = 0, т.к. в разложении f(z) отсутствует главная часть.
Вычет функции в конечном полюсе.
Пусть z = a – полюс m-го порядка.
П р и м е р . Найти вычеты функции f(z) во всех конечных особых точках.
Особые точки z = 0 и z =
Теорема Коши о вычетах.
Вычеты имеют важное применение при вычислении интегралов по замкнутому контуру.
Пусть функция f(z) аналитична всюду на
замкнутом контуре (L) и всюду внутри контура
a1 z = a1 (L) за исключением конечного числа точек
a1, a2,…,an, расположенных внутри контура (L).
Тогда
z = a2
z = an
Доказательство.
Вокруг каждой из точек ak окружность (Сk) так, чтобы эти окружности не пересекали друг друга и не выходили за (L). Тогда по теореме Коши интеграл по внешнему контуру (L) будет равен сумме интегралов по внутренним контурам (Ck).
П р и м е р 1 .
y
(L) – окружность |z – 2| = 3. Внутрь контура попали две
x
-2 особые точки z = 0 и z = 2.
z = 2
z = 0
П р и м е р 2 .( см. предыдущую стр.).
z = i
![]() |
(С) |z - 2| = 3
![]() |
z =0
z =-i