Сумма степенного ряда является аналитической функцией в круге сходимости.

Рассмотрим функцию f(z). Составим ряд

Ряд (**) – ряд Тейлора для функции f(z).

Известны следующие разложения в ряд Тейлора.

Можно показать, что радиус сходимости равен R = ∞.

Ряд Лорана.

В комплексном анализе имеют дело не только со степенными рядами, но и с двусторонними рядами

Ряд сходится при |t| < R₂′

|z – a| > R₂, R₂ = 1/R₂′ . Следовательно, ряд Лорана сходится в кольце

R₂ < |z – a| < R₁

R₁ Теорема.

z = aСумма ряда Лорана является аналитической

(С) функцией в кольце сходимости R₂ < |z – a| < R₁.

R₂

Найдем коэффициенты ряда Лорана. Рассмотрим

(все слагаемые в правой части обратились в нуль, кроме одного, когда k + 1 – n = 1, т.е. n = k).

Отсюда

Особые точки.

Особыми точками функции f(z) называются точки, в которых нарушается аналитичность функции.

Особая точка z = a называется изолированной, если существует такая окрестность этой точки, в которой она является единственной особой точкой.

Например, f(z) = ¹_/(z-1) , z = 1 – изолированная особая точка.

Если точка z = a является изолированной особой точкой, то существует достаточно малое кольцо R₂ < |z – a| < R₁, в котором функция f(z) аналитическая и разлагается в ряд Лорана.

(*)

При этом могут представиться три случая.

1.Разложение (*) не содержит главной части.

Особая точкаz = a называетсяустранимой особой точкой.

П р и м е р. Показать, что z = 0 – устранимая особая точка функции

В полученном разложении отсутствует главная часть, поэтому точка z = 0 – устранимая особая точка. Если принять, что f(0) = 1, то функция станет аналитической.

2. Разложение содержит конечное число слагаемых в главной части.

Если то точка z = a называетсяполюсомm-го порядка. Если m = 1, то полюс называется простым.

П р и м е р .

. Точки z = 1 и z = i являются особыми точками.

z = 1 – простой полюс, т.к.

z = i – полюс второго порядка. т.к.

1. Разложение в ряд Лорана содержит в главной части бесконечное множество членов. Точка z = a называется существенно особой точкой. В существенно особой точке функция f(z) – неопределенна.

Вычеты функции.

Вычетом функции f(z) в конечной изолированной особой точке z = a называется коэффициент а_-1при ¹/_{(z – a)} в разложенииf(z) в ряд Лорана в окрестности точки
z = a.

Используя формулу коэффициентов ряда Лорана, получим

Здесь (С) – окружность |z – a| = r, принадлежащая кольцу сходимости.

Отсюда, если z = a – правильная или устранимая особая точка, то Res f(a) = 0, т.к. в разложении f(z) отсутствует главная часть.

Вычет функции в конечном полюсе.

Пусть z = a – полюс m-го порядка.

П р и м е р . Найти вычеты функции f(z) во всех конечных особых точках.

Особые точки z = 0 и z =

Теорема Коши о вычетах.

Вычеты имеют важное применение при вычислении интегралов по замкнутому контуру.

Пусть функция f(z) аналитична всюду на

замкнутом контуре (L) и всюду внутри контура

a₁ z = a₁ (L) за исключением конечного числа точек

a₁, a₂,…,a_n, расположенных внутри контура (L).

Тогда

z = a₂

z = a_n

Доказательство.

Вокруг каждой из точек a_k окружность (С_k) так, чтобы эти окружности не пересекали друг друга и не выходили за (L). Тогда по теореме Коши интеграл по внешнему контуру (L) будет равен сумме интегралов по внутренним контурам (C_k).

П р и м е р 1 .

y

(L) – окружность |z – 2| = 3. Внутрь контура попали две

x

-2 особые точки z = 0 и z = 2.

z = 2

z = 0

П р и м е р 2 .( см. предыдущую стр.).

z = i

(С) |z - 2| = 3

z =0

z =-i