Свойства разности натуральных чисел
Теорема 
1) 
и 
и 
2) 
Доказательство:
1) 
2) пусть 
?! 
⊠
Следствие Свойства справедливы для строгих и нестрогих неравенств.
Свойство
1) и и 
2) 
Частное натуральных чисел: определение и единственность. Свойства частного натуральных чисел
Определение: Частным чисел 
и 
называется такое число 
(если оно существует), что 
, обозначается 
.
Теорема: Если частное и существует, то оно единственное
Доказательство:
Пусть 
⊠
Свойство 
Доказательство 
⊠
Теорема
Доказательство:
1) 
· 
(дано) 
?!
· 
(дано) ?!
⊠
24. Св-ва сложения и вычитания для натуральных чисел:
Теорема(свойства сложения и вычитания)
Если существуют соответствующие разности чисел 
, то выполняются следующие равенства:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
Доказательство:
1) 
Проверим, подойдет ли вместо 
правая часть равенства.
?
⊠
25. Св-ва сложения и вычитания для натуральных чисел: 
Теорема (свойства сложения и вычитания)
Если существуют соответствующие разности чисел , то выполняются следующие равенства:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
Доказательство:
5) 
,
Проверим, подойдет ли вместо правая часть равенства.
?
⊠
26. Свойства сложения и вычитания для натуральных чисел:
Теорема (свойства сложения и вычитания)
Если существуют соответствующие разности чисел , то выполняются следующие равенства:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
Доказательство:
8) 
(1) 
(1) 
⊠
27. Суммы и произведения нескольких натуральных чисел. Обобщенный закон дистрибутивности. n-кратное натурального числа. Степень натурального числа с натуральным показателем и ее свойства
Определение (индуктивное)Пусть 
, тогда сумма натуральных чисел 
1) 
2) Если сумма определена для 
натуральных чисел и 
, то
.
Замечание: Если все слагаемые в определении равны , то получим определение -кратного числу . Обозначается 
. 
.
Определение (индуктивное) Пусть , тогда произведение натуральных чисел
определяется индуктивно следующим образом:
1) 
2) Если сумма определена для натуральных чисел и , то
.
Теорема: 1) ( 
2) ( 
Доказательство: 1) ММИ по 
( 
– верно
.
2) ММИ по 
( 
( 
– верно
( 
. ⊠
Свойство: 
.
Доказательство:ММИ ( )
– верно
⊠
Свойство: 
1) 
2) 
3) 
(если m>n) 4) 
5) 
(если существует частное 
)
Доказательство: 
⊠
Равномощные множества. Отношение эквивалентности «быть равномощными». Отрезок натурального ряда. Конечные и бесконечные множества
Определение: Множества 
и 
называются равномощными, если между ними существует взаимно-однозначное соответствие (биекция). 
; 
Свойство: Отношение «быть равномощным» является отношением эквивалентности
Доказательство:
· Рефлексивность: 
· Симметричность: 
биекция 
биекция
· Транзитивность: , 
;
биекция,
биекция
биекция ⊠
Определение: Пусть 
. Отрезком натурального ряда называется множество 
Пример: 
Определение: Множество , равномощное отрезку 
называется конечным.
Число называется количеством элементов множества.
Множество, которое не является конечным, называется бесконечным.