Колебания прямоугольной мембраны.

Рассмотрим мембрану, имеющую в состоянии покоя форму прямоугольника, ограниченного прямыми x=0, x=l, y=0, y=m.

Уравнение колебаний мембраны

(107)

Начальные условия

(108)

(109)

Граничные условия

(110)

Будем решать задачу методом Фурье. Для этого будем искать решение в виде произведения трех функций, каждая из которых зависит только от одного аргумента:

(111)

(1)

(2)

Из граничных условий следует, что

X(0)=0, X(l)=0, Y(0)=0, Y(m)=0 (112)

Подставляя (111) в (107), получим

Разделим на XYT

(3)

(4)

Анализируя последнее равенство, заключаем

, (113)

В результате, для функции X(x) получаем

, (114)

Для функции Y(y)

, Y(0)=Y(m)=0 (115)

Из (1) и (2) à X(0)=0, X(l)=0

Из (3) и (4) à Y(0)=0, Y(m)=0

Для функции T(t)

(116)

Решение (114) имеет вид

(117)

Решение 3.5 имеет вид

(118)

Из краевого условия X(0)=X(l)=0 находим = 0 и

, где k – целое число

Аналогично, из Y(0)=Y(m)=0 находим = 0 и

, где n – целое число

В результате получаем собственные числа и собственные функции

(119)

(120)

Уравнение для функции T(t) принимает вид:

(121)

Решение этого уравнения, зависящее от двух параметров k и n, имеет вид:

(122)

Здесь

(123)

- собственные частоты колебаний мембраны

Таким образом, частное решение уравнения колебаний прямоугольной мембраны имеет вид

(124)

Оно может быть приведено к виду

(125)

Где ,

Отсюда видно, что каждая точка мембраны с координатами (x,y) совершает простое гармоническое колебание с частотой и амплитудой . Все точки колеблются в одной фазе. Точки, координаты которых удовлетворяют уравнениям

,

будут колебаться с наибольшей амплитудой называются пучностями. Линии, точки которых не колеблются (амплитуда равна нулю), называются узловыми линиями.

Общее решение нашей задачи о колебаниях мембраны представляется как сумма частных

(126)

Неизвестные коэффициенты a и b ищутся из начальных условий:

(127)

(128)

Формулы (127) и (128) представляют собой разложение функции двух переменных в двойной ряд Фурье. Коэффициенты этого разложения находятся аналогично коэффициентам однократного ряда и имеют вид

(129)

(130)

Колебания круглой мембраны.

Применим метод решения задачи о колебаниях прямоугольной мембраны к колебаниям круглой мембраны. Пусть мембрана в состоянии покоя занимает круг радиуса R с центром в начале координат. Введем полярные координаты r и φ:

x=rcos φ, y=rsin φ.

Выполняя замену переменных u(x,y,t) à u(r,φ,t) уравнение колебаний мембраны приводятся к виду

(131)

Граничные условие будет иметь вид

Начальные условия

Будем рассматривать только осесимметричные колебания мембраны, т.е. начальные условия не должны зависеть от угла φ. Очевидно, что в любой момент времени скорости и отклонения точек будут зависеть от угла, поэтому наша задача упрощается:

(132)

Граничные условия

Начальные условия

Будем искать решение в виде

(133)

Из краевого условия сразу находим

U(R)=0

Подставляя (133) в уравнение, получаем

разделим на UT

(134)

В результате приходим к уравнениям

(135)

(136)

В последнем сделаем замену :

Подставляя в наше уравнение, получаем

(137)

Получившееся уравнение является частным случаем уравнения Бесселя:

(138)

Решениями последнего уравнения при заданном k называется бесселевыми функциями порядка k (цилиндрическими функциями).

Найдем решение уравнения (138). Очевидно, что оно имеет особую точку при x=0, поэтому его решение будем искать в виде степенного ряда. Для этого преобразуем его к виду:

(139)

Записываем ряд:

(140)

Подставляя (140) в (139) и приравнивая коэффициенты при каждой степени x нулю, получим систему уравнений

(141)

Где l=2,3…

Предполагая, что , находим

Из второго уравнения (141) находим, что =0. преобразуем l-е уравнение в системе (141).

(142)

Отсюда получаем рекуррентную формулу:

(143)

С учетом найденного =0 делаем вывод, что все нечетные коэффициенты равны нулю. Очевидно, что при решение обращается в бесконечность при x=0. будем рассматривать случай . В результате, для четных коэффициентов получаем

(144)

Применяя эту формулу m-1 раз, получим

(145)

Полагая,

Получаем

(146)

В результате, полученное решение называется функцией Бесселя первого рода k-ого порядка и имеет вид:

(147)