Колебания прямоугольной мембраны.
Рассмотрим мембрану, имеющую в состоянии покоя форму прямоугольника, ограниченного прямыми x=0, x=l, y=0, y=m.
Уравнение колебаний мембраны
(107)
Начальные условия
(108)
(109)
Граничные условия
(110)
Будем решать задачу методом Фурье. Для этого будем искать решение в виде произведения трех функций, каждая из которых зависит только от одного аргумента:
(111)
(1)
(2)
Из граничных условий следует, что
X(0)=0, X(l)=0, Y(0)=0, Y(m)=0 (112)
Подставляя (111) в (107), получим
Разделим на XYT
(3)
(4)
Анализируя последнее равенство, заключаем
,
(113)
В результате, для функции X(x) получаем
,
(114)
Для функции Y(y)
, Y(0)=Y(m)=0 (115)
Из (1) и (2) à X(0)=0, X(l)=0
Из (3) и (4) à Y(0)=0, Y(m)=0
Для функции T(t)
(116)
Решение (114) имеет вид
(117)
Решение 3.5 имеет вид
(118)
Из краевого условия X(0)=X(l)=0 находим = 0 и
, где k – целое число
Аналогично, из Y(0)=Y(m)=0 находим = 0 и
, где n – целое число
В результате получаем собственные числа и собственные функции
(119)
(120)
Уравнение для функции T(t) принимает вид:
(121)
Решение этого уравнения, зависящее от двух параметров k и n, имеет вид:
(122)
Здесь
(123)
- собственные частоты колебаний мембраны
Таким образом, частное решение уравнения колебаний прямоугольной мембраны имеет вид
(124)
Оно может быть приведено к виду
(125)
Где ,
Отсюда видно, что каждая точка мембраны с координатами (x,y) совершает простое гармоническое колебание с частотой и амплитудой
. Все точки колеблются в одной фазе. Точки, координаты которых удовлетворяют уравнениям
,
будут колебаться с наибольшей амплитудой называются пучностями. Линии, точки которых не колеблются (амплитуда равна нулю), называются узловыми линиями.
Общее решение нашей задачи о колебаниях мембраны представляется как сумма частных
(126)
Неизвестные коэффициенты a и b ищутся из начальных условий:
(127)
(128)
Формулы (127) и (128) представляют собой разложение функции двух переменных в двойной ряд Фурье. Коэффициенты этого разложения находятся аналогично коэффициентам однократного ряда и имеют вид
(129)
(130)
Колебания круглой мембраны.
Применим метод решения задачи о колебаниях прямоугольной мембраны к колебаниям круглой мембраны. Пусть мембрана в состоянии покоя занимает круг радиуса R с центром в начале координат. Введем полярные координаты r и φ:
x=rcos φ, y=rsin φ.
Выполняя замену переменных u(x,y,t) à u(r,φ,t) уравнение колебаний мембраны приводятся к виду
(131)
Граничные условие будет иметь вид
Начальные условия
Будем рассматривать только осесимметричные колебания мембраны, т.е. начальные условия не должны зависеть от угла φ. Очевидно, что в любой момент времени скорости и отклонения точек будут зависеть от угла, поэтому наша задача упрощается:
(132)
Граничные условия
Начальные условия
![]() |
Будем искать решение в виде
(133)
Из краевого условия сразу находим
U(R)=0
Подставляя (133) в уравнение, получаем
разделим на UT
(134)
В результате приходим к уравнениям
(135)
(136)
В последнем сделаем замену :
Подставляя в наше уравнение, получаем
(137)
Получившееся уравнение является частным случаем уравнения Бесселя:
(138)
Решениями последнего уравнения при заданном k называется бесселевыми функциями порядка k (цилиндрическими функциями).
Найдем решение уравнения (138). Очевидно, что оно имеет особую точку при x=0, поэтому его решение будем искать в виде степенного ряда. Для этого преобразуем его к виду:
(139)
Записываем ряд:
(140)
Подставляя (140) в (139) и приравнивая коэффициенты при каждой степени x нулю, получим систему уравнений
(141)
Где l=2,3…
Предполагая, что , находим
Из второго уравнения (141) находим, что =0. преобразуем l-е уравнение в системе (141).
(142)
Отсюда получаем рекуррентную формулу:
(143)
С учетом найденного =0 делаем вывод, что все нечетные коэффициенты равны нулю. Очевидно, что при
решение обращается в бесконечность при x=0. будем рассматривать случай
. В результате, для четных коэффициентов получаем
(144)
Применяя эту формулу m-1 раз, получим
(145)
Полагая,
Получаем
(146)
В результате, полученное решение называется функцией Бесселя первого рода k-ого порядка и имеет вид:
(147)