Метод разделения переменных.

Метод разделения переменных носит также название метода Фурье и является наиболее распространенным методом решения уравнений с частными производными. Рассмотрим его на примере струны с закрепленными концами. Уравнение колебаний

(70)

Граничные условия

, (71)

Начальные условия

, (72)

Будем искать решение в виде произведения функции зависящей только от x и только от t:

(73)

Подставляя (73) в (70) получаем

Разделив левую и правую часть нашего равенства на произведение XT:

(74)

В (74) левая часть является функцией только x, правая часть – только t, причем оно должно выполняться во всей области значений переменных. Это возможно только в том случае если правая и левая часть равны некой константе:

(75)

В результате получаем ОДУ для нахождения неизвестных функций X и T:

(76)

(77)

Из граничных условий

Таким образом для нахождения функции X(x) мы получили задачу на собственные функции и собственные значения (задачу Штурма-Лиувилля):

Найти значения параметра λ (собственные значения), при которых существуют нетривиальные решения задачи

(78)

А также соответствующие им решения – собственные функции.

Рассмотрим возможные значения параметра λ.

1. λ<0

в этом случае общее решение уравнения (78) ищем в виде:

Тогда:

Подставляем в (78):

Отсюда

И в результате общее решение имеет вид

Из граничных условий

Из первого уравнения находим , подставляем во второе

Отсюда получаем , тогда .

Таким образом, мы показали, что при λ<0 задача не имеет нетривиальных решений.

2.

λ=0. в этом случае тоже не возникает нетривиальных решений.

3.

λ>0. В этом случае общее решение имеет вид

Из граничных условий находим

Отсюда ,

Где n любое целое число.

Таким образом нетривиальные решения нашей задачи возможны лишь при значениях

Таким образом, мы нашли собственные значения, им будут соответствовать собственные функции

Здесь - произвольная постоянная. Найденным собственным значениям соответствует решение уравнения для T:

(79)

Здесь и - произвольные постоянные. Таким образом, мы нашли частные решения исходного уравнения колебаний струны:

(80)

или

(81)

Очевидно, что сумма частных решений также будет удовлетворять исходному уравнению и граничным условиям:

(82)

Неизвестные константы надо определить из начальных условий:

, (83)

Т.е.,

(84)

(85)

Формулы (84) и (85) представляют из себя разложения функций и в ряд Фурье. Для нахождения неизвестных констант умножим левую и правую части уравнения (84) на и проинтегрируем их по dx от 0 до l:

(86)

Для вычисления интеграла в левой части последнего равенства воспользуемся тригонометрической формулой

Таким образом,

(87)

Подставляя (87) в (86), получаем

(88)

Аналогично для получаем

(89)