Определение непрерывности в терминах приращений аргумента и функции

Определение непрерывности можно также сформулировать, используя приращения аргумента и функции. Функция является непрерывной в точке x = a, если справедливо равенство

где .

Приведенные определения непрерывности функции эквивалентны на множестве действительных чисел.

Функция является непрерывной на данном интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Если функция f ( x ) дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке. Обратное неверно: непрерывная функция может не иметь производной.

С л е д с т в и е . Если функция разрывна в некоторой точке, то она не имеет производной в этой точке.

П р и м е р .

Функция y = | x | ( рис.3 ) всюду непрерывна, но она не имеет производной при x = 0 , так как в этой точке не существует касательной к графику этой функции. ( Подумайте, почему ? )

Достаточные признаки монотонности функции.

Если f ’( x ) > 0 в каждой точке интервала ( a, b ), то функция f ( x ) возрастает на этом интервале.

Если f ’( x ) < 0 в каждой точке интервала ( a, b ) , то функция f ( x ) убывает на этом интервале.

Бескочная производная

Можно ввести также понятие бесконечной производной f (x)=+ f (x)=− f (x)=
(последний случай может иметь место, если, например, lim x +0 x y=+ lim x −0 x y=− .

Если функция дифференцируема в точке x 0, то она непрерывна в этой точке.

Односторонние производные

Односторонние производные функции в точке.

Определение. Правой (левой) производной функции f(x) в точке х = х₀ называется правое (левое) значение предела отношения при условии, что это отношение существует.

Если функция f(x) имеет производную в некоторой точке х = х₀, то она имеет в этой точке односторонние производные. Однако, обратное утверждение неверно. Во- первых функция может иметь разрыв в точке х₀, а во- вторых, даже если функция непрерывна в точке х₀, она может быть в ней не дифференцируема.

Например: f(x) = ïxï- имеет в точке х = 0 и левую и правую производную, непрерывна в этой точке, однако, не имеет в ней производной.

Теорема. (Необходимое условие существования производной) Если функция f(x) имеет производную в точке х₀, то она непрерывна в этой точке.

Понятно, что это условие не является достаточным.

Вопрос №17

Правила дифференцирования

Если с - постоянное число, и u = u(x), v = v(x) - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

1) (с) ' = 0, (cu) ' = cu';

2) (u+v)' = u'+v';

3) (uv)' = u'v+v'u;

4) (u/v)' = (u'v-v'u)/v^2;

5) если y = f(u), u = j(x), т.е. y = f(j(x)) - сложная функция, или суперпозиция, составленная из дифференцируемых функций j и f, то , или

;

6) если для функции y = f(x) существует обратная дифференцируемая функция x = g(y), причем ≠ 0, то .

ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Пусть U=U(x) имеет производную в точке х, а y=f(x) имеет производную в соответствующей точке U=U(x), тогда сложная функции y=f(U(x)) также имеет производную в точке х.

Причем уштрих=(f(U(x)))штрих=fштрих(u)*Uштрих=yn*Ux .

Обратная проихзводная

Пусть дана функция f(x) для которой существует производная в точке х и для которой существует обратная функция х в -1= f в -1 (y), тогда ф-я f в -1 (y) имеет произволдную в точке х причем производная равна 1/fштрих(x) остальное на листе..

Логарифмическая произваодная

Логарифмическая производная

Логарифмическая производная – производная от натурального логарифма модуля (абсолютной величины) – данной функции: Используя формулу производной сложной функции, найдем, что (*) Логарифмическую производную используют, например, при дифференцировании (нахождении производной или дифференциала) степенно-показательной функции. Пример Найдём производную функции у = хx. Поскольку lny= xlnx, легко найти логарифмическую производную: Теперь с помощью формулы (*) получим: Логарифмическая производная функции имеет экономический смысл – отношение скорости изменения величины у (ее производной) к самой этой величине – темп изменения у; если темп положителен – скорость изменения увеличивается, если отрицателен – скорость падает.

Вывод отстутсвует)

Вопрос №18

Теорема Лагранжа

Пусть:

1) f(x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [а,b],

2) существует конечная производная f/(x), по крайней мере, в открытом промежутке (а,b). Тогда между aи b найдется такая точка с(a< с <b), что для нее выполняется равенство

b−af(b)−f(a)=f/(c).

ДоказательствоВведем вспомогательную функцию, определив ее в промежутке [а,b] равенством:

F(x)=f(x)−f(a)−b−af(b)−f(a)(x−a).

Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. В самом деле, она непрерывна в [а,b], так как представляет собой разность между непрерывной функцией f(x) и линейной функцией. В промежутке (а,b)она имеет определенную конечную производную, равную

F/(x)=f/(x)−b−af(b)−f(a).

Наконец, непосредственной подстановкой убеждаемся в том, чтоF(a)=F(b)= 0, т. е. F(x) принимает равные значения на концах
промежутка.

Следовательно, к функции F(x) можно применитьтеорему Ролля и утверждать существование в (а,b)такой точки с, что F′(с)=0.

Таким образом,

f/(c)−b−af(b)−f(a)=0,

откуда

b−af(b)−f(a)=f/(c).

Теорема доказана.

Обращаясь к геометрическому истолкованию теоремы Лагранжа, заметим, что отношение

b−af(b)−f(a)=CBAC

есть угловой коэффициент секущей АВ, а f/(c)есть угловой коэффициент касательной к кривой y=f(x) в точке с абсциссой x=c. Таким образом, утверждениетеоремы Лагранжа равносильно следующему: на дуге АВ всегда найдется, по крайней мере, одна точка М, в которой касательная параллельна хорде АВ.

Правило Лопиталя - метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида 0 / 0 и . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Доказательство

Теорема 5.5 (Правило Лопиталя) Пусть функции и непрерывны в некоторой окрестности точки и , то есть и при . Предположим, что при функции и имеют производные и , причём существует предел отношения этих производных:

Тогда предел отношения самих функций и тоже существует и равен тому же числу :

Доказательство. Заметим, что из условия следует, что оба односторонних предела также равны :

и

Пусть , . По теореме Коши, применённой к отрезку , получим тогда, с учётом того, что ,

где . Перейдём теперь в этом равенстве к пределу при :

так как, очевидно, при имеем также . Теперь возьмём точку , и применим теорему Коши к отрезку . Получим

где . Переходя к пределу при , получаем

так как при имеем .

Итак, оба односторонних предела отношения равны . На основании теоремы о связи односторонних пределов с двусторонним получаем, что

Вопрос №19

(Достаточное условие строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть функция непрерывна на (a,b), и имеет в каждой точке производную f'(x). Тогда

если то f строго возрастает на (a,b);

если то f строго убывает на (a,b).

Пусть функция определена в некоторой окрестности , , некоторой точки своей области определения. Точка называется точкой локального максимума, если в некоторой такой окрестности выполняется неравенство ( ), и точкой локального минимума, если .

Понятия локальный максимум и локальный минимум объединяются терминомлокальный экстремум.

Необходимое условие локального экстремума дифференцируемой функции

Если - точка экстремума функции f, то

и или

В самом деле, если мы допустим, что в точке x0 f′(x0)/=0 ,то по теореме 1 значение f(x0)не может быть локальным экстремумом, что противоречит условию теоремы. ч.т.д.

Первое достаточное условие. Пусть x_о - критическая точка. Если f ¢ (x) при переходе через точку x_о меняет знак плюс на минус, то в точке x_о функция имеет максимум, в противном случае - минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке x_о экстремума нет.

Говорят, что функция , определенная на промежутке Х, достигает на нем своего наибольшего (наименьшего) значения, если существует точка а, принадлежащая этому промежутку, такая, что для всех х из Х выполняется неравенство .

Функция, непрерывная на отрезке, достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений.

Наибольшее значение М и наименьшее значение m непрерывной функции могут достигаться как внутри отрезка, так и на его концах. Если наибольшего (наименьшего) значения функция достигает во внутренней точке отрезка, то эта точка является точкой экстремума.

Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке :

1. найти ;
2. найти точки, в которых или не существует, и отобрать из них те, что лежат внутри отрезка ;
3. вычислить значения функции в точках, полученных в п.2, и на концах отрезка и выбрать из них наибольшее и наименьшее; они и будут соответственно наибольшим и наименьшим значениями функции на отрезке , которые можно обозначить так: .

Если поставлена задача найти для непрерывной на функции , то она решается по тому же правилу, что соответствующая задача для отрезка .

Отличие: на третьем этапе вместо вычисления значений функции на концах отрезка находят пределы функции при приближении к концам интервала.

Иногда для отыскания наибольшего или наименьшего значения непрерывной функции на промежутке полезны два утверждения:

1. если функция имеет в промежутке Х только одну точку экстремума , причем это точка максимума, то - наибольшее значение функции на промежутке Х;
2. если функция имеет в промежутке Х только одну точку экстремума , причем это точка минимума, то - наименьшее значение функции на промежуткеХ.

Вопрос №20

График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.

График функции y=f(x) называется вогнутым на интервале (a; b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале.

Теорема. Пусть y=f(x) дифференцируема на (a; b). Если во всех точках интервала (a; b) вторая производная функции y = f(x)отрицательная, т.е. f ''(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f''(x) > 0 – вогнутый.

Второе достаточное условие

Если функция g(x) обладает второй производной причем в некоторой точке первая производная равна нулю, а вторая производная отлично от нуля. Тогда точка экстремум функции g(x), причем если , то точка является максимумом; если , то точка является минимумом.

Точкой перегиба графика функции называется точка, в которой меняется направление выпуклости графика

Точка перегиба функции внутренняя точка x₀ области определения f, такая что f непрерывна в этой точке, существует конечная или определенного знака бесконечная производная в этой точке, и x₀ является одновременно концом интервала строгой выпуклости вверх и началом интервала строгой выпуклости вниз, или наоборот.

Необходимое условие существования точки перегиба: если функция f(x), дважды дифференцируемая в некоторой окрестности точки x₀, имеет в x₀ точку перегиба, то .

Достаточное условие точки перегиба: Точка x0 является точкой перегиба кривой если при переходе через эту точку вторая производная меняет свой знак

Вопрос №21

Прямая y=kx+b называется наклонной асимптотой графика функции y=f(x) тогда и только тогда когда существует конечные пределы k= lim f(x)/x х стремится к +- бесконечности

B=lim(f(x)-kx) x стертися к +- бесконечности. Причем асимптота называется правой(левой) при х стремящимся к +- бескосконечности.

Пример 7.6 Рассмотрим функцию . График этой функции имеет наклонную асимптоту при . Действительно,

при

Однако эта функция не определена ни на каком луче вида , так что её график не может иметь асимптоты при .

Рис.7.7.Наклонная асимптота функции

Пример 7.7 График функции имеет горизонтальную асимптоту как при , так и при , поскольку, очевидно, при . Можно сказать также, что асимптота при у этого графика совпадает с асимптотой при .

Рис.7.8.Горизонтальная асимптота функции

Определение 7.1 Вертикальной асимптотой графика функции называется вертикальная прямая , если или при каком-либо из условий: , , . Заметим, что мы при этом не требуем, чтобы точка принадлежала области определения функции , однако она должна быть определена по крайней мере в какой-либо из односторонних окрестностей этой точки: или , где .

Пример 7.1 Рассмотрим функцию . График имеет вертикальную асимптоту , поскольку при выполняется условие , а также при выполняется условие .

Рис.7.1.Вертикальная асимптота функции

Пример 7.2 Рассмотрим функцию . Её график имеет вертикальную асимптоту , так как при . То, что при функция не стремится к бесконечности, для наличия асимптоты неважно: для того, чтобы прямая являлась вертикальной асимптотой, достаточно, чтобы график приближался к ней хотя бы с одной стороны. (К слову сказать, при .)

Рис.7.2.Вертикальная асимптота функции

Пример 7.3 Рассмотрим функцию . Прямая является вертикальной асимптотой графика , так как при . Заметим, что слева от точки функция вообще не определена.

Рис.7.3.Вертикальная асимптота функции

Пример 7.4 График функции не имеет при вертикальной асимптоты, так как -- ограниченная (числом 1) и, следовательно, локально ограниченная при и не стремящаяся к бесконечности функция. Хотя аргумент синуса -- функция -- имеет вертикальную асимптоту .

Рис.7.4.График функции не имеет вертикальной асимптоты

Пример 7.5 Прямая не является вертикальной асимптотой графика функции , поскольку здесь нельзя утверждать, что при или функция стремится к бесконечности. При некоторых малых значениях значения могут быть как угодно велики, однако при других малых функция обращается в 0: так, при ( ) значения функции равны и стремятся к бесконечности при , а при всех вида ( ) значения функции равны 0. В то же время как те, так и другие точки при увеличении попадают всё ближе и ближе к точке 0. Значит, функция не является бесконечно большой при , и прямая -- не асимптота.

Рис.7.5.График функции не имеет вертикальной асимптоты

Схема построения графика

1) ОДЗ

2) выявить четность/нечетность y(-x)=y(x) y(-x)=-y(x)

3) найти точки пересечения графиков функции с осями координат

4) найти точки разрыва функции определить характер разрыва. Найти наклонные асимптоты

5) интервалы возрастания/убывания точки экстремума (1ая производная)

6) точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости (вторая производная меньше нуля – выпуклая, наоорот-вогнутая)

7) посторить график функции