Точки разрыва функции и их классификация.
Определение.Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции. Если х = х0 ─ точка разрыва функции у = f(x), то в ней выполняется по крайней мере одно из условий непрерывности функции, а именно:
1) Функция определена в окрестности точки х0, но не определена в самой точке х0.
Например, функция у = не определена в точке х0 = 2.
2) Функция определена в точке х0 и её окрестности, но не существует предела f(x) при
х→х0.
Например, Функция f(x) =
определена в точке х0 = 2, однако в точке х0=2 имеет разрыв т.к. эта функция не имеет предела при х→2:
f(x)=1, а
f(x)=0.
3) Функция определена в точке х0 и её окрестности, существует f(x), но этот предел не
равен значению функции в точке х0: f(x)≠f(x0).
Например, функция f(x) =
Здесь х0 = 0 ─ точка разрыва: f(x)=1, а f(x0)=2.
Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.
Точка разрыва х0 называется точкой разрыва первого родафункции у = f(x), если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа, т.е. f(x)=A1 и
f(x)=A2. При этом
а) если А1 = А2, то х0 ─ точка устранённого разрыва.
б) если А1 ≠ А2, то х0 ─ точка конечного разрыва.
Величина │А1−А2│ называется скачком функции в точке разрыва первого рода.
Точка разрыва х0 называется точкой разрыва второго родафункции у = f(x), если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.
Определение.Пусть на некотором промежутке (а;b) определена функция у=f(x). Возьмём произвольную точку х0Î(а;b) и придадим аргументу х в точке х0 произвольное приращение ∆х токое, что точка х0 + ∆хÎ(а;b). Производной функцииу = f(x) в точкех0 называется предел при ∆х→0 отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если этот предел существует. Обозначается предел функции f(x) в точке х0 через f '(x0), т.е.
f '(x0) =
=
.
Если функция у=f(x) имеет конечную производную в каждой точке хÎ(а;b), то производную f '(x) можно рассматривать как функцию от х, определённую на (а;b).
Если для некоторого значения х0 выполняется условие
= + ∞ (или
= − ∞),
то говорят, что в точке х0 функция f(x) имеет бесконечную производнуюзнака плюс (или знака минус).
Таким образом можно составить таблицу производных простейших элементарных функций:
1. (C)' = 0, где С = const;
2. ( )' =
. В частности
,
3.
. В частности,
.
4. ×
. В частности,
5.
6.
7. (tg )'
. 10.
.
8. (ctg )'
. 11. (arctg
)'
.
9. . 12. (arcctg
)'
.
Из школьного курса математики известно: геометрический смысл производнойсостоит в том, что производная функции f(x) в точке х0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции f(x) в точке М(х0;f(x0)), т.е.
f '(x0) = tgφ (рис.15.1).
Определение.Функция у = f(x) называется дифференцируемой в точкех0, если она имеет в этой точке конечную производную. Если функция дифференцируема в каждой точке интервала (а;b), то она называется дифференцируемой на(а;b).
В связи с этим определением операцию нахождения производной часто называют дифференцированием.
Если функция у = f(x) дифференцируема в точке х0, то справедливы следующие утверждения:
1) ∆у = А×∆х + α(∆х)∆х, где ∆х ─ приращение аргумента, ∆у ─ приращение функции, А ─
число, не зависящее от ∆х, α(∆х) ─ бесконечно малая функция при ∆х→0.
Очевидно, что А =
= f '(x0).
2) функция у = f(x) непрерывна в точке х0.
Однако, не всякая непрерывная функция является дифференцируемой. Например, функция у = непрерывна в точке х0 = 0, т.к.
f(x) =
= 0 = f(x0).
Однако производная у' = ( )'=
в точке х0 = 0 не существует, т.е. функция в точке х0 = 0 не дифференцируема.
Определение.Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точке х0. Дифференциалом функцииf(x) в точке х0 называется часть приращения функции
dy = f '(x0)×∆x.
Дифференциалом независимой переменнойх называется приращение этой переменной, т.е. dx = ∆x. Таким образом,
Геометрический смысл дифференциала функции у = f(x) состоит в том, что дифференциал dy в точке х0 равен приращению ординаты касательной к графику этой функции в точке М(х0;f(x0)) (рис.15.2).
Во многих задачах приращение функции в данной точке можно приближённо заменить дифференциалом функции в этой точке: ∆у » dy.
Теорема 1. Если функции u = u(x) и v = v(x) дифференцируемы в точке х0, то сумма, разность, произведение и частное этих функций (частное при условии, что v(x0)≠0) также дифференцируемы в этой точке, причём имеют место следующие формулы:
1) ;
2) ;
3) .
Доказательство.
1)
=
=
±
±
.
2)
=
=
+
+
=
.
3) Пусть .
=
=
.
Следующая теорема даёт правило дифференцирования сложной функции.
Теорема 2.Если функция х = φ(t) имеет производную в точке t0, а функция у = f(x) имеет производную в соответствующей точке х0 = φ(t0), то сложная функция f(φ(t)) имеет производную в точке t0, причём имеет место следующая формула
у'(t0) = f '(x0)×φ'(t0).
Замечание. В теореме 2 мы рассмотрели сложную функцию, где у зависит от переменной t через одну промежуточную переменную х. Возможна и более сложная зависимость ─ с несколькими промежуточными переменными. При этом правило дифференцирования остаётся прежним.
Мы уже отмечали, что производная f '(х) функции у = f(x) сама является функцией аргумента х. Следовательно, по отношению к ней снова можно ставить вопрос о существовании и нахождении производной.
Определение.Назовём f '(х) производной первого порядкафункции у = f(x),
дифференцируемой на некотором промежутке ( ). Производная от f '(х) называется производной второго порядкафункции у = f(x) и обозначается f ''(x). Производная от
f ''(x) называется производной третьего порядка, обозначается f '''(x). Таким образом определяется производная n-го порядка для любого натурального n. Производные, начиная со второй, называются производными высшего порядка и обозначаются: у'', у''', у(4), у(5),…, у(n),… . Итак, по определению
у(n) = (у(n-1))' , n = 2,3,… .
Определение.Пусть функция у = f(x) дифференцируема в каждой точке некоторого промежутка. Дифференциал dy = f '(x)dx называется дифференциалом первого порядкафункции у = f(x). Дифференциалы высших порядков(второго, третьего и т.д.) определяются следующей формулой
dny = f(n)(x)(dx)n, n = 2,3,… .
Теорема Ферма.Пусть функция f(x) определена ( ) и в некоторой точке х0 этого интервала имеет наибольшее или наименьшее значение. Тогда, если в точке х0 существует производная, то она равна нулю, т.е. f ¢(x)=0.
Доказательство.Пусть для определённости в точке х0 функция f(x) имеет наибольшее значение, т.е. для любого хÎ( ) выполняется неравенство f(x) £ f(x0). Это означает, что ∆у = f(x0+∆x) − f(x0) £ 0 для любого приращения аргумента ∆х.
Возможны два случая:
1) ∆х > 0. Тогда £ 0 и, следовательно,
=
£ 0.
2) ∆х < 0. Тогда ³ 0 и, следовательно,
=
³ 0.
По условию, f ¢(x) существует, поэтому существует
. Но тогда существует односторонние пределы
и
, причём
0£
=
=
£ 0.
Всё это возможно только при
= 0, т.е. при f ¢(x)=0.
Аналогично рассматривается случай, когда в точке х0 функция f(x) имеет наименьшее значение.
Теорема Ролля.Пусть на [ ] определена функция f(x), причём: 1) f(x) непрерывна на [
]; 2) f(x) дифференцируема на (
); 3) f(
) = f(
). Тогда существует точка
Î(
), в которой f ¢(
) = 0.
Доказательство.Так как функция f(x) непрерывна на [ ], то по второй теореме Вейерштрасса она имеет на этом отрезке максимальное значение М и минимальное значение m, т.е. существуют такие точки х1, х2 Î[
], в которых f(x1) = m, f(x2) = M и выполняются неравенства
m £ f(x) £ M
для всех хÎ[ ].
Возможны два случая:
1) M = m. Тогда f(x) = const = M = m. В этом случае для любого хÎ( ) имеем f '(x) = 0. Теорема верна.
2) m < M. Так как f( ) = f(
), то хотя бы одно значение m или М достигается на (
), т.е. существует
Î(
) такая, что f(
) = m или f(
) = M. Поскольку f(x) дифференцируема в точке
, то по теореме Ферма f '(
) = 0.
Теорема Лагранжа.Пусть на отрезке [ ] определена функция f(x), причём 1) f(x) непрерывна на [
]; 2) f(x) дифференцируема на (
). Тогда существует точка
Î(
) такая, что справедлива формула
.
Доказательство.Введём в рассмотрение на [ ] вспомогательную функцию
F(x) = f(x) −f( ) −
×(x−
).
Функция F(x) удовлетворяют всем трём условиям теоремы Ролля:
1) F(x) непрерывна на [ ] как разность двух непрерывных функций f(x) и линейной
функции
f( ) +
×(x−
);
2) F(x) дифференцируема на ( ). Действительно, f(x) дифференцируема на (
) по
условию, поэтому производная
F'(x) = f '(x) −
существует на ( );
3) F( ) = 0; F(
) = 0, т.е. F(
) = F(
).
Тогда по теореме Ролля существует точка Î(
) такая, что F'(
) = 0, т.е.
f '( ) =
.
Равенство f( )−f(
)=f '(
)(
) называется формулой Лагранжаили формулой конечных приращений.
Теорема Коши.Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на [ ] и дифференцируемы на (
). Пусть, кроме того, g'(x)≠0. Тогда на (
) существует точка
такая, что справедлива формула
(*)
Доказательство.Прежде всего отметим, что g( ) ≠ g(
), т.е. формула (*) имеет смысл. Если предположить, что g(
) = g(
), то по теореме Ролля для функции g(x) на (
) найдётся точка h такая, что g'(h) = 0. Это противоречит условию g'(x) ≠ 0 на (
).
Рассмотрим на [ ] вспомогательную функцию
F'(x) = f '(x) − ×g'(x),
то
f '( ) −
×g'(
) = 0,
откуда, учитывая g'( ) ≠ 0, получим
Формула (*) называется формулой Кошиили обобщённой формулой конечных приращений.
Замечание. Если в формуле Коши взять функцию g(x) = x, то получим формулу Лагранжа
Снова вернёмся к вопросу раскрытия неопределённостей. Познакомимся с простым и эффективным методом раскрытия неопределённостей, который называется правилом Лопиталя-Бернулли. Основано это правило на следующей теореме.
Теорема Лопиталя-Бернулли.Пусть функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы на некотором интервале ( ), содержащем точку х0, за исключением, быть может, самой точки х0. Пусть, далее,
f(x) =
g(x) = 0 и g'(x) ≠ 0 на (
). Тогда, если существует
, причём
=
Замечание 1.
Теорема Лопиталя-Бернулли позволяет раскрывать неопределённости
Замечание 2.Обычно при вычислении пределов записывают только необходимые преобразования, а проверку выполнения условий теоремы Лопиталя-Бернулли делают по ходу вычислений. Если при этом окажется, что отношение производных снова представляет неопределённость , то правило Лопиталя-Бернулли применяют повторно.
Замечание 3.Теорема Лопиталя-Бернулли остаётся верной и в случае, когда х→∞, х→+∞, х→−∞.
Замечание 4. Если в теореме Лопиталя-Бернулли заменить требование
f(x) =
g(x) = 0
на условие
f(x) =
g(x) = ∞,
то теорема остаётся верной. В такой формулировке правило Лопиталя-
Бернулли позволяет раскрывать неопределённости вида
Замечание 5.Неопределённости вида 0× ∞ и ∞ − ∞ можно свести к неопределённостям вида и
, а затем раскрыть с помощью правила Лопиталя-Бернулли.
Замечание 6.Неопределённости вида 00, 1∞, ∞0 имеют место при рассмотрении функций у = f(x)g(x). Эти неопределённости с помощью тождества
f(x)g(x) = еg(x)ℓnf(x)
сводятся к неопределённостям, которые рассмотрены выше.
Замечание 7.Однако правило Лопиталя-Бернулли не всегда применимо.
В таких случаях ищут методы раскрытия неопределённостей без правила Лопиталя-Бернулли.
=
=1+
=1.