Взаимное расположение прямых в пространстве.
Пусть даны две прямые и
.
Очевидно, что прямые лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда векторы ,
и
компланарны, т.е.
= 0 (9)
Если в (9) первые две строки пропорциональны, то прямые параллельны. Если все три строки пропорциональны, то прямые совпадают. Если условие (9) выполнено и первые две строки не пропорциональны, то прямые пересекаются.
Если же ¹ 0, то прямые являются скрещивающимися.
Задачи на прямую и плоскость в пространстве.
Прямая как пересечение двух плоскостей.
Пусть заданы две плоскости
А1х + В1у +С1z + D1 = 0,
А2х + В2у +С2z + D2 = 0
Если плоскости не являются параллельными, то нарушается условие
.
Пусть, например ¹
.
Найдём уравнение прямой, по которой пересекаются плоскости.
В качестве направляющего вектора искомой прямой можно взять вектор
=
×
=
=
.
Чтобы найти точку, принадлежащую искомой прямой, фиксируем некоторое значение
z = z0 и решая систему
,
получаем значения х = х0, у = у0. Итак, искомая точка М(х0;у0;z0).
Искомое уравнение
.
Взаимное расположение прямой и плоскости.
Пусть задана прямая х = х0 + а1t, y = y0 + a2t, z = z0 + a3t
и плоскость
А1х + В1у +С1z + D1 = 0.
Чтобы найти общие точки прямой и плоскости, необходимо решить систему их уравнений
откуда
А1(х0 + а1t) + B1(y0 + a2t) + C1(z0 + a3t) + D1 = 0,
(A1a1 + B1a2 + C1a3)t + (A1x0 + B1y0 + C1z0 + D1) = 0.
Если А1а1 + В1а2 + С1а3 ¹ 0, то система имеет единственное решение
t = t0 = - .
В этом случае прямая и плоскость пересекаются в единственной точке М1(х1;у1;z1), где
х1 = х0 + а1t0, y1 = y0 + a2t0, z1 = z0 + a3t0.
Если А1а1 + В1а2 + С1а3 = 0, А1x0 + В1y0 + С1z0 + D1 ¹ 0, то прямая и плоскость не имеет общих точек, т.е. параллельны.
Если же А1а1 + В1а2 + С1а3 = 0, А1x0 + В1y0 + С1z0 + D1 = 0, то прямая принадлежит плоскости.
Угол между прямой и плоскостью.
Найдём угол j между прямой
=
=
и плоскостью А1х + В1у +С1z + D1 = 0.
Поскольку вектор = (А1;В1;С1) образует с направляющим вектором
= (а1;а2;а3) угол y =
- j или y =
+ j (Рис.10.3 и Рис.10.4), то cosy = cos(
- j) или cosy = cos(
+ j), откуда cosy = sinj или cosy = - sinj.
Значит, sinj = ôcosyô= .
Расстояние от точки до плоскости.
Пусть плоскость задана общим уравнением Ах +Ву + Сz +D = 0. Расстояние от точки М(х0;у0;z0) до данной плоскости вычисляется по формуле
d = .
Цилиндры второго порядка.
Определение. Цилиндрической поверхностьюназывается поверхность, описываемая прямой (образующей),движущейся вдоль некоторой линии (направляющей) и остающейся параллельной исходному направлению.
Определение. Цилиндром второго порядканазывается цилиндрическая поверхность, направляющей которой является эллипс (окружность), гипербола или парабола.
Рассмотрим цилиндры второго порядка, у которых образующая параллельна оси Оz.
1). Эллиптический цилиндр (рис.10.5).
.
В частности эллиптический цилиндр имеет в качестве направляющей окружность. Его уравнение
или
.
2). Гиперболический цилиндр(рис. 10.6)
-
.
3) Параболический цилиндр(рис. 10.7).
х2 = 2ру.