Смешанное произведение векторов.
Определение. Пусть даны три вектора ,
и
. Умножим вектор
на
векторно, а затем, векторное произведение
×
умножим скалярно на
. В результате получим число (
×
)×
, которое называют смешанным произведениетрёх векторов
,
и
.
Теорема 3.Смешанное произведение ( ×
)×
трёх некомпланарных векторов равно объёму параллелепипеда, построенного на векторах
,
и
, связанному со знаком «+», если тройка
,
,
правая, и со знаком «−», если эта тройка ─ левая.
Доказательство. Рассмотрим параллелепипед, построенный на векторах ,
и
(рис.9.5).
Построим вектор ×
и пусть
─ единичный вектор, одинаково направленный с вектором
×
. Так как │
×
│= S ─ площадь параллелограмма OBDA, построенного на векторах
и
, то
×
=
×S.
Возьмём ось ℓ, одинаково направленную с вектором . Тогда по свойствам проекции векторов пре
=
соsφ, где φ ─ угол между
и осью ℓ. Тогда │пре
│= h, где h ─ высота параллелепипеда. Отметим, что если тройка
,
,
правая (рис.9.5), то h = пре
= =
соsφ. Если же тройка
,
,
левая, то h = − пре
= −
соsφ.
Теперь,
( ×
)×
= (
S)×
= (
×
)S =
cosφ × S = S ×
соsφ = ± S × h = ± Vпараллелепипеда,
причём знак «+» берётся, если ,
,
─ правая тройка, и знак «−», если она левая.
Следствие 3.1.Векторы ,
и
компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение (
×
)×
= 0.
Доказательство.
Отметим, что если тройка ,
,
правая, то тройка
,
,
также правая (рис.9.6(а)), а если тройка
,
,
левая, то тройка
,
,
также левая (рис.9.6(б)).
Очевидно, что параллелепипед, построенный на векторах ,
,
и векторах
,
,
─ один и тот же. Поэтому
( ×
)×
= ±Vпарал., (
×
)×
= ± Vпаралл.
Так как тройки ,
,
и
,
,
либо обе правые, либо обе левые, то знак перед V выбирается в обоих произведениях одинаково. Поэтому
( ×
)×
= (
×
)×
=
×(
×
).
Ввиду следствия 3.2 смешанное произведение векторов ,
,
ещё обозначают
.
Теорема 4.Если = (х1;у1;z1),
= (х2;у2;z2),
= (х3;у3;z3),
=
Доказательство.
= (
×
)×
= х3 ×
− у3 ×
+ z3 ×
=
.
Определение. Уравнением поверхностив заданной системе координат в пространстве называется такое уравнение с тремя переменными, которому удовлетворяют координаты любой точки данной поверхности и только они.
Поверхность, определяемая алгебраическим уравнением n-й степени относительно декартовых координат, называется поверхностью n-го порядка. Мы рассмотрим поверхности 1-го и 2-го порядков.
Плоскость в пространстве.
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.
Пусть дана точка М0(х0;у0;z0) и ненулевой вектор = (А,В,С). Требуется составить
уравнение плоскости, проходящей через точку М0 перпендикулярно указанному вектору (Рис.10.1). В таком случае вектор
называют нормальнымвектором плоскости.
Пусть М(х;у;z) ─ произвольная точка плоскости. Так как вектор
= (х-х0;у-у0;z-z0) лежит на плоскости, то он перпендикулярен вектору
. Следовательно, их скалярное произведение равно нулю, т.е.
= 0.
Тогда
А(х - х0) + В(у - у0) + С(z - z0) = 0 (1)
Получили искомое уравнение.
Общее уравнение плоскости.
Раскроем скобки в уравнении (1):
А(х - х0) + В(у - у0) + С(z - z0) = 0
Ах + Ву +Сz + (- Ах0 – Ву0 – Сz0) = 0
Обозначим через D = - Ах0 – Ву0 – Сz0 . Получаем уравнение
Ах + Ву +Сz + D = 0, (2)
которое называется общим уравнением плоскости.
Частные случаи:
1) D = 0. Уравнение Ах + Ву +Сz = 0 определяет плоскость, проходящую через начало координат.
2) С = 0. В этом случае нормальный вектор (А;В;0) перпендикулярен оси Оz. Поэтому плоскость Ах + Ву + D = 0 параллельна оси Оz.
3) С = 0, D = 0. С учётом п.1) и п.2) плоскость Ах +Ву = 0 проходит через ось Oz.
4) В = 0, С = 0. В этом случае нормальный вектор (А;0;0) перпендикулярен плоскости Oyz. Поэтому плоскость Ах + D = 0 параллельно оси Oyz.
5) В = 0, С = 0, D = 0. Плоскость Ах = 0 или х = 0 определяет координатную плоскость Oyz.
Аналогично рассматриваются всевозможные другие случаи.