Тригонометрические функции половинного аргумента
4.10 Преобразование суммы и разности тригонометрических функций в произведение
sinα + sinβ = 2∙sin ∙ cos
sinα - sinβ = 2∙sin ∙ cos
cosα + cosβ = 2∙cos ∙ cos
cosα - cosβ = - 2∙sin ∙ sin
4.11 Функция у=sinх
Основные свойства:
1) Область определения – множество R всех действительных чисел;
2) Множество значений – отрезок[-1;1];
3) Функция у=sinх – периодическая с периодом 2π, т.е. sin(х+2π)=sinх
4) Функция у=sinх - нечётная, т.е.sin(-х)=-sinх
5) Функция у=sinх:
возрастает на отрезках
убывает на отрезках
6) Функция у=sinх принимает
Наибольшее значение, равное 1, при х=
Наименьшее значение, равное –1, при х=-
Значение равное нулю, при х=
4.12 Функция у=cosх
Основные свойства:
1) Область определения – множество R всех действительных чисел;
2) Множество значений – отрезок[-1;1];
3) Функция у=cosх – периодическая с периодом 2π, т.е. cos(х+2π)=cosх
4) Функция у=cosх чётная, т.е.cos(-х)=cosх
5) Функция у=cosх:
возрастает на отрезках
убывает на отрезках
6) Функция у=cosх принимает
Наибольшее значение, равное 1, при х=
Наименьшее значение, равное –1, при х=
Значение равное нулю, при х=
4.13 Функция у=tgх
Основные свойства:
1) Область определения – множество R всех действительных чисел, кроме чисел ;
2) Множество значений – множество R всех действительных чисел;
3) Функция у=tgх – периодическая с периодом π, т.е. tg(х+2π)=tgх
4) Функция у=tgх нечётная, т.е.tg(-х)=-tgх
5) Функция у=tgх возрастает на интервалах
6) Функция у=tgх принимает значение равное нулю, при х=
2. Примеры и упражнения
Пример 1: Найти значение выражения:
1)3sin +2cos
-tg
=3∙
+2∙
-
=
-
=
= +
-
=
2)3cos180º+5ctg270º-2sin360º=3∙(-1)+5∙0-2∙1=
= -3+0-2=-5
3)2sin(-30º)=-2sin30º=-2∙ =-1
4)4cos(- )∙sin(-
)+tg(-
)=4∙
∙
)+(-1)=
=- ∙
-1=-3-1=4
5)Sin73º∙cos17º + cos73º∙sin17º= sin(73º +17º)=
=sin90º=1
6)cos ∙cos
- sin
∙sin
=
cos( +
)=cos
=cos2π=1
7)2∙sin15º∙cos15º= Sin2∙15º= Sin30º=
8)cos²75º - sin²75º= Cos2∙75º= Cos150º=-
9)Cos105º+cos75º=2∙cos ∙ cos
=
= 2∙cos 15º ∙ cos 90º= 2∙cos 15º ∙ 0=0
10)Sin300º + sin60º=2∙sin ∙ cos
= 2∙sin 180º ∙ cos120º=2∙0∙ cos120º=0
Пример 2:Вычислить cosα,tgα,ctgα, если sinα= ,
Решение:
Определим знак:
интервал | четверть | Знак sinα | Знак cosα | Знак tgα | Знак ctgα |
![]() | IIч. | + | - | - | - |
Формула 1б)
Формула 2) Формула 3)
tgα= ctgα=
Ответ: cosα= ,tgα=-
,ctgα=
Пример 3:Вычислить sinα,cosα,tgα, , если ctgα=-3,
Решение:
Определим знак:
интервал | четверть | Знак sinα | Знак cosα | Знак tgα | Знак ctgα |
![]() | IVч. | - | + | - | - |
Формула 4а)
Формула 5а)
Формула 6а)
Ответ: sinα=- , cosα=
,tgα=-
Пример 4: Упростить
1)(1-sinα)∙(1+sinα)=1+sinα-sinα-sin2α=1-sin2α=sin2α+cos2α-sin2α=cos2α
2) =1+tg2α-1=tg2α
3)
4)Sin(-α)∙cos(-α)∙tg(-α)=-sinα∙cosα∙(-tgα)=sinα∙cosα∙tgα=
=sinα∙cosα∙ =sinα∙sinα=sin2α
5)(1-sin(-α))∙(1-sinα)=(1+sinα)∙(1-sinα)=
=1+sinα-sinα-sin2α==1-sin2α=
=sin2α+cos2α-sin2α=cos2α
6)Sin(π – α)∙cos( -α)-cos(π – α)∙sin(
-α)=
sinα∙sinα-(-cosα)∙cosα== sin2α+cos2α=1
7)
Варианты контрольной работы
Задание 1: Найти значение выражения
Вариант 1:
1) 12cos2π -16sinπ+13cos0-14sin
2) sin155º-sin25º
Вариант 2:
1) 9sinπ+10cos2π-11sin +12cos0
2) 2sin75º∙cos75º
Вариант 3:
1) 3sin2120º-4cos180º+3tg135º
2) sin20º∙cos10º+ cos20º∙ sin10º
Вариант 4:
1) 2cos2150º-3sin90º-5ctg135º
2) cos100º+cos80º
Вариант 5:
1)
2) cos2135º-sin2135º
Вариант 6:
1)
2) cos20º∙cos40º- sin20º∙ sin40º
Вариант 7:
1)
2) 2
Вариант 8:
1)
2)
Вариант 9:
1) cos60º+2sin30º+ tg260º-ctg45º
2) cos100º+cos80º
Вариант 10:
1) 3cos2180º+5ctg270º-2sin360º-tg60º
2) sin155º-sin25º
Вариант 11:
1) cos +tg
- sin
2) cos ∙cos
+ sin
∙sin
Вариант 12:
1) 2cos60º-tg45º
2) Sin73º∙cos17º - cos73º∙sin17º
Вариант 13:
1) 2tg45º+5ctg270º-3sin180º
2) Sin105º - sin75º
Вариант14:
1) 4ctg(-45º)∙sin(-30º)∙cos(- )
2) Cos105º + cos165º
Вариант 15:
1) 2cos +4sin
-3ctg
2) 2sin ∙cos
Вариант 16:
1) 6cos(-2π)∙sin(- )∙tg(-45º)
2) cos² - sin²
Вариант 17:
1) 3sin +2cos
-tg
2) Sin40º∙cos5+cos40º∙sin5º
Вариант 18:
1) Sin -cos
+14tg2π
2) Cos7º∙cos38º-sin7º∙sin38º
Вариант19:
1) tg ∙cos
∙sin
2) cos18º∙cos12º-sin18º∙sin12º
Вариант 20
1) 2sin60º+8cos30º-12ctg30º+8tg60º
2) sin20º∙sin40º -cos20º∙cos40º
Вариант 21:
1) 3sin230º+5cos180º-6tg135º
2) Sin5º∙cos35º-cos5º∙sin35º
Вариант 22:
1) 4cos260º-6cos360º+3tg230º
2) Sin80º∙cos105º+cos80º∙sin10º
Вариант 23:
1) 2cos + 4sin
-3ctg
2) Sin55º∙sin10º +cos55º∙cos10º
Вариант 24:
1) 13sin180º+5tg270º-2sin360º
2) Sin ∙cos
+cos
∙sin
Вариант 25:
1)
2) cos20º∙cos40º-sin20º∙sin40º
Вариант 26:
1)
2) sin20º∙cos10º+cos20º∙sin10º
Вариант 27:
1)
2) sin155º-sin25º
Вариант 28:
1) 2tg(-45º)∙cos(-30º)∙sin(- )
2) cos100º+cos80º
Вариант 29:
1) sin
+4cos
-3ctg
2) Cos105º + cos165º
Вариант 30:
1) 5cos(-π)∙cos(- )∙ctg(-45º)
2) Sin105º - sin75º
Задание 2: Найти остальные тригонометрические функции
Вариант 1:
1) sinα=-0,6
2) tgα=6
Вариант 2:
1) cosα=-
2) сtgα=9
Вариант 3:
1) sinα= , 0<α<
2) tgα=4, <α<π
Вариант 4:
1) cosα=- ,π<α<
2) ctgα=5, <α<π
Вариант 5:
1) sinα=-0,8,
2) tgα=5
Вариант 6:
1)
2)
Вариант 7:
1)
2)
Вариант 8:
1) sinα=-0,8 , <α<π
2) tgα=8, 0<α<
Вариант 9:
1) cosα=- ,π<α<
2) ctgα=2, <α<π
Вариант 10:
1) sinα=- ,
2) ctgα=-3,
Вариант 11:
1) sinα=0,6
2) tgα=4
Вариант 12:
1) cosα=-0,6,
2) ctgα=5, <α<π
Вариант 13:
1) cosα=-
2) ctgα=9, <α<π
Вариант14:
1) sinα= , 0<α<
2) ctgα=12, <α<π
Вариант 15:
1) cosα=-0,6, <α<π
2) tgα=13, <α<π
Вариант 16:
1) cosα=- , π<α<
2) tgα=15, <α<π
Вариант 17:
1) cosα=-
2) сtgα=9
Вариант 18:
1) sinα= , 0<α<
2) tgα=4, <α<π
Вариант 19:
1) cosα=- ,π<α<
2) ctgα=5, <α<π
Вариант 20:
1) sinα=-0,8,
2) tgα=5
Вариант 21:
1) sinα= , 0<α<
2) ctgα=12, <α<π
Вариант 22:
1) sinα=- ,
2) ctgα=-3,
Вариант 23:
1) cosα=- ,π<α<
2) ctgα=2, <α<π
Вариант 24:
1)
2)
Вариант 25:
1) sinα=-0,8 , <α<π
2) tgα=8, 0<α<
Вариант 26:
1)
2)
Вариант 27:
1) sinα=0,6
2) tgα=4
Вариант 28:
1) cosα=- , π<α<
2) tgα=15, <α<π
Вариант 29:
1) cosα=-0,6,
2) ctgα=5, <α<π
Вариант 30:
1) cosα=-
2) ctgα=9, <α<π
Задание 3: Упростить выражение
Вариант 1:
Вариант 2:
Вариант 3:
Вариант 4:
Вариант 5:
Вариант 6: sin2α-tgα∙ctgα+ cos2α
Вариант 7: (tgα∙ctgα+ ctg2α)∙cosα
Вариант 8:
Вариант 9: (tgα∙ctgα+ tg2α)∙sinα
Вариант 10:
Вариант 11:
Вариант 12: (1-sin2α)∙(1+tg2α)
Вариант 13:
Вариант14: (sin2α+cos2α)2-1
Вариант 15:1+sin(π+α)∙cos( +α)
Вариант 16:
Вариант 17: sinα∙cosα∙(tgα+ctgα)
Вариант 18:
Вариант19:
Вариант 20: +tgα∙ctgα
Вариант 21:
Вариант 22:
Вариант 23:
Вариант 24:
Вариант 25:
Вариант 26:
Вариант 27: Cos2α+sin2α-ctg2α
Вариант 28:
Вариант 29: 1+tg2α+
Вариант 30: (1-cosα)∙(1+cosα)
Содержание темы «Тригонометрические уравнения»
Арксинус числа
Определение арксинуса
Уравнение sinх = а
Формулы корней, особую форму записи решений для частных случаев
Арккосинус числа
Определение арккосинуса
Уравнение cosх = а
Формулы корней, особую форму записи решений для частных случаев
Арктангенс числа, арккотангенс числа. Уравнения tgх = а, ctgх = а
Определение арксинуса, арккосинуса, арктангенса. Формулы корней, особую форму записи решений для частных случаев
Решение тригонометрических уравнений, приводимых к квадратному
Основные тригонометрические формулы, формулы для решения
простейших тригонометрических уравнений
Решение тригонометрических уравнений методом группировки и разложения на множители
Способы решения уравнений методом группировки и разложением на множители.
Решение однородных тригонометрических уравнений и уравнений, приводимых к ним
Основные формулы для решения уравнений
Решение тригонометрических уравнений, решаемые с помощью формул сложения, понижения степени и других
Основные формулы для решения уравнений
Решение простейших тригонометрических неравенств
Определение простейших тригонометрических неравенств, различные способы их решения
Основные сведения из теории
Арксинус числа
Определение: Арксинусом числа а℮[-1;1] называется такое число α℮[- ;
], синус которого равен а.
Обозначение: arcsina , - ≤ arcsina ≤
Определение: arcsina = α ↔ sinα = а
Свойства: 1) sin(arcsina)=а
2) arcsin(sinα)=α
3) arcsin(-a)=- arcsina
Таблица значений arcsina
а | ![]() | ![]() ![]() | ![]() | ||
arcsina | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
а | - ![]() | - ![]() ![]() | - ![]() | -1 |
arcsina | - ![]() | - ![]() | - ![]() | - ![]() |
Арккосинус числа
Определение: Арккосинусом числа а℮[-1;1] называется такое число α℮[0;π], косинус которого равен а.
Обозначение: arccosa , 0≤ arccosa ≤ π
Определение: arccosa = α ↔ cosα = а
Свойства: 1) cos(arccosa)=а
2) arccos(cosα)=α
3) arccos(-a)=π- arccosa
Таблица значений arccosa
а | ![]() | ![]() ![]() | ![]() | ||
arccosa | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
а | - ![]() | - ![]() ![]() | - ![]() | -1 |
arccosa | ![]() | ![]() | ![]() | π |
Арктангенс числа
Определение: Арктангенсом числа а℮[- ;
] называется такое число α, тангенс которого равен а.
Обозначение: arctga , - ≤ arccosa ≤
Определение: arctga = α ↔ tgα = а
Свойства: 1) tg(arctga)=а
2) arctg(tgα)=α
3) arctg(-a)=- arctga
Таблица значений arctga
а | ![]() | ![]() | ||
arctga | ![]() | ![]() | ![]() |
а | - ![]() | -1 | - ![]() |
arctga | ![]() | ![]() | ![]() |
5.4. Уравнение sinx=a
![]() |
sinx=a
x=(-1)narcsina+ πn,n Z
5.5. Уравнение cosx=a
![]() |
cosx=a
x=±arccosa+ 2πn,n Z
5.6. Уравнение tgx=a
![]() |
tgx=a
x=arctgx+ πn,n Z
2. Примеры и упражнения
Пример: Найти значение выражения:
1) аrcsin1-arcsin(-1)+ arcsin( )+arcsin(-
) =
= -(-
)+
+(-
)=
+
+
-
=
(3+
(3+
(1-
(2= =
2) tg(2 arcsin )=tg(2∙
)=tg
=
3) cos(аrcsin(tg ))= cos(аrcsin1)= cos
=0
4) аrcsin(cos(аrcsin( tg(
)))=аrcsin(cos(аrcsin(
∙1))= =аrcsin(cos(аrcsin
))= аrcsin(cos
)= аrcsin
=
5) 2аrccos0+3arccos1=2∙ +3∙0=
+0=π
6) 12аrccos -3arccos(-
)=12∙
-3∙
=2π-2π=0
7) аrccos (- )+3аrcsin(-1)=
+3∙(-
)=
-
8) sin(6аrccos )= sin(6∙
)= sinπ=0
Пример 2: Решить тригонометрическое уравнение:
(1-2sinх)(1-3cosх)=0
Решение:
1-2sinх=0 или 1-3cosх=0
-2sinх=-1 - 3cosх=-1
sinх= cos=-
х1=(-1)narcsin +πn,n℮Z х2=±arccos(-
)+πn,n℮Z
х1=(-1)n∙ +πn,n℮Z х2=-arccos
+πn,n℮Z
Ответ: х1=(-1)n∙ +πn,n℮Z х2=-arccos
+πn,n℮Z
Пример 3: Решить тригонометрическое уравнение:
.
Решение:
.
.
Разделим левую и правую части уравнения на :
.
Ответ:
Пример 4: Решить тригонометрическое уравнение:
2sin2х+sinх-6=0
Решение:
Пусть sinх=t, t℮[-1;1]
2t²+t – 6 = 0
Решение:
а=2, b=1, с=-6
t1,2= =
t1= t2=
t1 =
[-1;1],т.е. не уд. t2 = -2
[-1;1],т.е. не уд.
Ответ: решений нет
Пример 5: Решить тригонометрическое уравнение:
2sin2х+5cosх-5=0
Решение:
2(1-cos2х)+5cosх-5=0
2-2cos2х+5cosх-5=0
-2cos2х+5cosх-3=0 :(-1)
2cos2х-5cosх+3=0
Пусть cosх=t, t℮[-1;1]
2t²-5t +3 = 0
а=2, b=-5, с=3
t1,2= =
t1= t2=
t1= t2=1
cosх=
[-1;1],т.е. не уд. cosх=1(частный случай)
х=2πn,n℮Z
Ответ: х=2πn,n℮Z
Пример 6: Решить тригонометрическое уравнение:
4sin2x-5sinx∙cosx-6cos2x=0
Решение:
4sin2x-5sinx∙cosx-6cos2x=0(разделим на то, что стоит перед знаком «=», т.е. на cos2х)
=0
4tg2x-5tgx-6=0
Пусть tgx=t
4t2-5t-6=0
а=4, b=-5, с=-6
t1,2= =
t1= t2=
t1=2 t2=-
tgx=2 tgх=-
х1= arctg2+πn,n℮Z х2= arctg(- )+πn,n℮ Z,
Ответ: х1= arctg2+πn,n℮Z, х2=-arctg +πn,n℮Z
Варианты контрольной работы
Задание 1: Найти значение выражения
Вариант 1:
Вариант 2:
Вариант 3:
arcsin +4 arcsin
- arccos
+ аrctg
Вариант 4:
arcsin(сos(аrctg ))
Вариант 5:
аrctg +аrccos
Вариант 6:
Вариант 7:
Вариант 8:
Вариант 9:
аrctg (сos(аrctg 1))
Вариант 10:
аrctg -12аrcsin(-
)
Вариант 11:
аrcsin(- 1) + аrccos (-1) +аrctg 0
Вариант 12:
cos(аrctg )
Вариант 13:
arctg1+ arccos - arcsin
- аrctg
Вариант14:
аrctg(- )+ аrccos(-
)-аrcsin(-
)
Вариант 15:
arcsin +4 arcsin
- arccos
+ аrctg
Вариант 16:
аrccos(- )+ аrctg 1
Вариант 17:
аrcsin1 + аrccos 1 +аrctg 0
Вариант 18:
аrcsin0 + аrccos +аrctg 0
Вариант19:
аrctg 1+аrcsin
Вариант 20 :
аrccos + аrctg 1
Вариант 21:
аrccos(- )- аrctg(- 1)
Вариант 22:
аrctg (-1)-аrcsin(- )
Вариант 23:
cos(аrctg )
Вариант 24:
tg(аrcsin )
Вариант 25:
tg(аrcsin )
Вариант 26:
cos(аrctg )
Вариант 27:
аrctg(- )- аrcsin(-
)+ аrccos (-
)
Вариант 28:
arcsin +4 arcsin
- arccos
+ аrctg
Вариант 29:
аrctg(- )+ аrccos(-
)-аrcsin(-
)
Вариант 30:
arctg1+ arccos - arcsin
- аrctg
Задание 2: Решить тригонометрическое уравнение:
Вариант 1:
1) sinx=
2) 3cos²x – 5cosx +2 =0
3)
Вариант 2:
1) sinx=
2) 4sin²x -11sinx +8 =0
3)
Вариант 3:
1) (2sinx+1)(2sinx-