Решение логарифмических уравнений

Теорема: Пусть а>0, а≠1. Пусть дана функция у =f(х) и действительное число b. Тогда уравнение logа f(х)=b и уравнение f(х)=аb равносильны.

Решение логарифмических неравенств

Теорема: Пусть а>0, а≠1,х1>0, х2>0 Если logаf(х)>b, то

1) при а>1 f(х)>ab (знак сохраняем)

2) при 0<a<1 f(х)<ab (знак меняем)

Алгоритм решения логарифмического неравенства logаf(х)>b:

  • Найти О.О.Ф. (область определения функции)

О.О.Ф.: под логарифмическое выражение строго больше нуля (f(х)>0);

  • По основанию логарифма определить сохранность знака;
  • Решить непосредственно само логарифмическое неравенство;
  • Составить систему из двух неравенств (П.1+П.3)
  • Решить данную систему, совместив оба решения на числовой оси.

2. Примеры и упражнения

Пример 1: Вычислить

1) log232=5, т.к. 25=32

2) log2 Решение логарифмических уравнений - student2.ru =-5, т.к. 2-5= Решение логарифмических уравнений - student2.ru

3) log618+ log62= log6(18·2)= log636=2

4) log1248- log124= log1212= 1

Пример 2:Решить логарифмическое уравнение:

log6(3х+15)=2

Решение:

3х+15=62

3х+15=36

3х=36-15

3х=21

х= Решение логарифмических уравнений - student2.ru

х=7 Ответ:х=7

Пример 3:Решить логарифмическое уравнение:

log32-6х+17)=2

Решение:

х2-6х+17=32

х2-6х+17=9

х2-6х+17-9=0

х2-6х+8=0

а=1, b=-6, с=8

х1,2= Решение логарифмических уравнений - student2.ru == Решение логарифмических уравнений - student2.ru

х1= Решение логарифмических уравнений - student2.ru х2= Решение логарифмических уравнений - student2.ru

Ответ: х1=4, х2=2

Пример 4: Решить логарифмическое уравнение:

(log2х)2+8 log2х-9=0

решение:

Пусть log2х =t

t2 +8· t –9 =0

а=1, b=8, с=-9

t1,2= Решение логарифмических уравнений - student2.ru = Решение логарифмических уравнений - student2.ru

t1= Решение логарифмических уравнений - student2.ru t2= Решение логарифмических уравнений - student2.ru

t1=1 t2=-9

log2х =1 log2х =-9

х1=21 х2=2-9

х1=2 х2= Решение логарифмических уравнений - student2.ru

х2= Решение логарифмических уравнений - student2.ru

Ответ: х1=2, х1= Решение логарифмических уравнений - student2.ru

Пример 5: Решить логарифмическое уравнение:

log2(х-5) +log2(х+2)=3

Решение:

log2(х-5)·(х+2)=3

(х-5)·(х+2)=23

х2+2х-5х-10=8

х2+2х-5х-10-8=0

х2-3х-18=0

а=1, b=-3, с=-18

х1,2= Решение логарифмических уравнений - student2.ru = Решение логарифмических уравнений - student2.ru

х1= Решение логарифмических уравнений - student2.ru х2= Решение логарифмических уравнений - student2.ru

Примечание: В уравнениях данного вида необходимо выполнить проверку.

Проверка:

1) х1=6

log2(6-5) +log2(6+2)= log21 +log28=0=3=3

3=3

2) х2=-3-неуд

log2(-3-5) +log2(-3+2)= log2(-8) +log2(-1) ( формула logах1+ logах2= logа1·х2)

справедлива при а>0, а≠1, х>0, х1>0, х2>0)

корень х2=-3 является посторонним.

Ответ: х=6

Пример 6: Решить логарифмическое неравенство:

log2(3х-4)>5

Решение:

Решение логарифмических уравнений - student2.ru 1) О.О.Ф.: 3х-4>0 2) т.к.2>1, то знак сохраняем 3) х> Решение логарифмических уравнений - student2.ru

3х>0+4 3х-4>25 х>12

3х>4 3х-4>32

Решение логарифмических уравнений - student2.ru
Решение логарифмических уравнений - student2.ru Решение логарифмических уравнений - student2.ru Решение логарифмических уравнений - student2.ru Решение логарифмических уравнений - student2.ru Решение логарифмических уравнений - student2.ru х> Решение логарифмических уравнений - student2.ru 3х>32+4

х> Решение логарифмических уравнений - student2.ru 3х>36

х> Решение логарифмических уравнений - student2.ru

х>12

Ответ: х>12

Варианты контрольной работы

Задание 1: Вычислить

Вариант 1: log312+log34,5-log36

Вариант 2: Log524-log5120-log55

Вариант 3: 7log721

Вариант 4: 4log23

Вариант 5:Log2216·log525-3log24

Вариант 6: 3log32 ·log55+3log416

Вариант 7: log312+log34,5-log36

Вариант 8: Log1/525·log1664

Вариант 9: Log62+log63+2log24

Вариант 10: Log212-log23+3log38

Вариант 11: Log77-log724+log724

Вариант 12: Log39+log21/8: 7log74

Вариант 13: Log39·log41/2+log66

Вариант14: 25log53

Вариант 15:15log159 : 10log104

Вариант 16: Log381·log1664

Вариант 17: Log77-log724+log724

Вариант 18: Log525-log1664

Вариант1 9: Log39·log416+log55

Вариант 20: Log1/33+log1/33-log1/33

Вариант 21: Log525+log53-log53

Вариант 22: 15log159 : 10log104

Вариант 23: Log1/51/25·log1664

Вариант 24: Log381·log279

Вариант 25:Log62+log63

Вариант 26: Log212-log23

Вариант 27: Log78-log756

Вариант 28: Log1/39+log21/8: 7log72

Вариант 29: Log21/16+log28: 9log35

Вариант 30: Log3636+log63+log62

Задание 2: Решить логарифмическое уравнение

Вариант 1:

Log10(2-x)=log10(x-6) Log3x+log3(x+2)=1

Вариант 2:

Log3(4x-3)=2 (log3x)2-6log3x+9=0

Вариант 3:

Log5(2x+7)=log5(x-3) Log7(5-x)+log72=1

Вариант 4:

Log1/2(3x-1)=-3 Log7(x2-2x-8)=0

Вариант 5:

Log3(4x-3)=2 Log1/2(x2+4x-5)=-4

Вариант 6:

Log2(3x-4)=3 Log1/2(x2-5x+6)=-1

Вариант 7:

Log2(2x-1)=3 Log2(x2-4x+4)=4

Вариант 8:

Log3(2x+1)=log339 Log3(x-2)+log3(x+6)=2

Вариант 9:

Log1/2(3x-1)=-3 Log4(13+x)+log4(4-x)=2
Вариант 10: Log2(7x-4)=log252   (log2x)2-9log2x+10=0

Вариант 11:

Log4(5x+6)=3 Log7(5-x)+log72=1

Вариант 12:

Log3(12-5x)=2 Log10(2-x)+log102=log1016

Вариант 13:

Log2(x+3)=log2(2x-4) Решение логарифмических уравнений - student2.ru2-4х+12)=-2

Вариант14:

Log10(5x+2)=log1012 log92+2х +6)=1

Вариант 15:

Log2(2x+1)=log212 (log4х)2-2log4х-8=0

Вариант 16:

Log2(3x-4)=3 (log3х)2-4log3х+3=0

Вариант 17:

log6(2х+5)=2 (log3х)2-log3х-2=0

Вариант 18:

log4(8+3х)=3 2(log2х)2-5log2х-6=0

Вариант1 9:

Решение логарифмических уравнений - student2.ru (6х-7)=-3 log2(х-2) +log2(х-3)=1

Вариант 20:

Решение логарифмических уравнений - student2.ru (2х-9)=-7 ( log3х)2 +5log3х-6=0

Вариант 21:

log4(2х-8)=3 (log7х)2 -5log7х+6=0

Вариант 22:

log13(7х-1)=1 (log4х)2 +log4х-6=0

Вариант 23:

log2(3х+4)=4 (log3х)2 +log3х-2=0

Вариант 24:

log17(5х-3)=1 Решение логарифмических уравнений - student2.ru2 –4х-2)=-1

Вариант 25:

Log3(12-5x)=2 log32 –х+7)=2

Вариант 26:

Решение логарифмических уравнений - student2.ru (2х-9)=-7 log42 -3х+18)=2

Вариант 27:

Log3(4x-3)=2 Решение логарифмических уравнений - student2.ru2-2х+46)=-2

Вариант 28:

Log2(2x+1)=log212 (log4х)2-2log4х-8=0

Вариант 29:

Log2(3x-4)=3 Log1/2(x2-5x+6)=-1

Вариант 30:

Log2(2x-1)=3 Log2(x2-4x+4)=4

Задание 3: Решить логарифмическое неравенство

Вариант 1: Log7(2x-1)< 2

Вариант 2: Log100,5x<-2

Вариант 3: Log2(x-4) >1

Вариант 4: Log1/3(2x-7) >-2

Вариант 5: Log4(3-2x)< 2

Вариант 6: Log2(2x-3)< 3

Вариант 7: Log2(2x+3) >2

Вариант 8: Log5(x-1) >1

Вариант 9: Log3(2x-1)< 3

Вариант 10: Log10x >2

Вариант 11: Log102x< 1

Вариант 12: Log5(1-3x)< 2

Вариант 13: Log2(1-2x) >0

Вариант14: Log1/3(2x-1) >-2

Вариант 15:Log10(3-2x)< 2

Вариант 16: Log6(5x-2) >2

Вариант 17: Log1/2(2x+1) >-2

Вариант 18: Log3(5x-6)< 2

Вариант1 9: Log7(x-1)< 2

Вариант 20: Log1/2(2-x) >-1

Вариант 21: 2 Log4(7-x)< 3

Вариант 22: Log3(4-3x) >1

Вариант 23: Log2(1-2x)< 0

Вариант 24: Log2(2x+1) >4

Вариант 25:Log5(3x+1)< 2

Вариант 26: Log5(4x+1) >-1

Вариант 27: Log1/5(2x+3) >-3

Вариант 28: Log1/22x >2

Вариант 29: Log3(5x+4) >3

Вариант 30: Log10(2x+1)< 0

Содержание темы «Степенная функция»

Решение логарифмических уравнений - student2.ru

Определение и свойства степенной функции.

Свойства и графики различных случаев степенной функции. Сравнение чисел, решение неравенств с помощью графиков и (или) свойств степенной функции.

Иррациональные уравнения.

Определение равносильных уравнений, следствия уравнения; при каких преобразованиях исходное уравнение заменяется на равносильное ему уравнение, при каких получаются посторонние корни, при каких происходит потеря корней; Определение иррационального уравнения;

Иррациональные неравенства.

Определение иррационального неравенства; алгоритм решения этого неравенства

Решение систем двух уравнений с двумя неизвестными.

Алгоритмы решения систем двух уравнений с двумя неизвестными.

Основные сведения из теории

3.1. Определение и свойства степенной функции

Определение: Функцию у=хр, где р - заданное действительное число, называют степенной функцией.

Свойство 1: Степенная функция у=хр для любого р Решение логарифмических уравнений - student2.ru R определена при х>0

Свойство 2: Множество значений степенной функции у=хр при х>0, р≠0 – все положительные числа

Решение логарифмических уравнений - student2.ru Свойство 3: Степенная функция у=хр на интервале х>0 является возрастающей, если р>0, и убывающей, если р<0.

       
  Решение логарифмических уравнений - student2.ru
    Решение логарифмических уравнений - student2.ru
 


Наши рекомендации