Приведение дифференциальных уравнений к канонической форме и определение начальных условий
На рис. 4.2 показана взаимосвязь переменных разных элементов модели.
СГ |
Нагрузка |
АРН |
U |
I |
КН |
U |
I |
Iу |
If |
МРЧВ |
Мэ |
ПД |
ω |
μр |
Рис. 4.2.
Для численного решения дифференциальных уравнений они должны быть приведены к канонической форме. Как следует из рис. 4.2, решение этой задачи для части модели, содержащей СГ, АРН, КН и нагрузку, («электрическая» часть) отличается от части с ПД и МРЧВ («механической» части).
Приведение уравнений «электрической» части к канонической форме:
- приравниваются соответствующие составляющие напряжения СГ и статической нагрузки ((4.1)=(4.17), (4.2)=(4.18)), а также СГ и АРН – ((4.3)=(4.12));
- производится подстановка составляющих потокосцеплений ((4.6)…(4.10)) и из (4.18) в полученные равенства и в уравнения (4.4) и (4.5);
- в левой части уравнений группируются члены, содержащие производные токов, а в правой – свободные члены.
В результате будет получена система из пяти дифференциальных уравнений следующего вида:
(4.19)
где
.
Для приведения системы уравнений (4.19) к канонической форме необходимо разрешить ее относительно производных:
. (4.20)
Таким образом, совокупность дифференциальных уравнений (4.20) и дифференциального уравнения (4.13), описывают процессы в «электрической» части модели.
Приведение уравнений «механической» части к канонической форме:
В систему дифференциальных уравнений ПД входит уравнение 2-го порядка (4.16), описывающее действие МРЧВ. Понижение порядка дифференциального уравнения производится традиционным способом – введением вспомогательной переменной. Так, если в качестве вспомогательной переменной взять h, то система уравнений ПД с МРЧВ примет следующий вид:
. (4.21)
В рассматриваемой математической модели ГА необходимо учесть следующие ограничения: .
Для численного решения дифференциальных уравнений (2.41) и (2.37) применяются стандартные методы: Эйлера – Коши, Рунге – Кутта, Рунге – Кутта – Мерсона, Рунге – Кутта – Фельберга и др.
Применение любого из этих методов требует определения начальных значений переменных (начальных условий). Начальные условия определяются из исходной системы уравнений (4.1…4.16) с учетом особенностей предшествующего режима.
Непосредственно из особенностей холостого хода следует:
;
.
Для определения положим производные всех переменных равными нулю, что соответствует установившемуся режиму. В результате получим:
;
; (4.22)
. (4.23)
Решая совместно уравнения (4.22) и (4.23), находим недостающие начальные значения переменных:
;
.
Данные для СГ, выбранного в 1-ой работе, берутся из табл. П1. Параметры регуляторов представлены в табл. П2.
Пример программной реализации в пакете Matlab и вид представляемой информации
В приводимом примере исследуется процесс наброса нагрузки и анализируется максимальные отклонения напряжения.
Программная реализация включает в себя пять файлов c расширением «m»:
1.В файле Prac_4.m:
· определяется множество значений отклонения напряжения при всех сочетаниях 6 значений нагрузки 6 значений коэффициента мощности;
· определяются c помощью оператора «polyfit» 6 полиномов 5 степени и 6 полиномов 3 степени вида: ΔUmin=f(cosφ), при In=const, и такое же количество – ΔUmin=f(I), при cosφn=const, где n=1…6;
· определяются значения отклонения напряжения по полученным полиномам для исходных данных с помощью оператора «polyval»;
· осуществляется сравнение значений отклонений напряжения, полученных на основе математической модели и полиномов, по результатам сравнения выбирается степень полинома;
· формируется графическое представление полученных полиномиальных зависимостей;
· с помощью оператора «save» создается файл данных poldu.mat, используемый в других файлах.
Вид информации, представляемой по результатам выполнения файла:
1. Кривые изменения U для cosφ, последовательно принимающего значения:0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0, (рис 4.3); ω для таких же условий (рис. 4.4) и переменных математической модели для cosφ=0,8 (рис. 4.5) при набросе номинальной нагрузки.
2. Значения отклонения напряжения (табл. 4.2).
Таблица 4.2
Нагрузка, о.е. | Отклонение напряжения, %, при следующих значениях коэффициента мощности (cosφ) | |||||
0,2 | 0,4 | 0,6 | 0,8 | 1,0 | ||
0,1 | 5,5 | 2,7 | 1,8 | 1,5 | 1,1 | 0,1 |
0,2 | 10,6 | 5,6 | 4,0 | 3,2 | 2,4 | 0,4 |
0,4 | 19,0 | 10,9 | 8,0 | 6,4 | 4,7 | 0,2 |
0,5 | 22,4 | 13,3 | 9,9 | 7,9 | 5,8 | -0,1 |
0,8 | 31,3 | 19,8 | 15,2 | 12,1 | 8,9 | -1,2 |
1,0 | 35,6 | 23,6 | 18,5 | 14,9 | 10,9 | 0,1 |
В представленных данных провал напряжения имеет знак «+», превышение – «-».
Рис. 4.3
Рис. 4.4
Рис. 4.5
3. Совокупности полиномов:
· 1-го вида ΔUmin=f(cosφ), при In=const (табл. 4.3):
Таблица 4.3
Нагрузка, % | Полиномы |
5-ой степени | |
0,1 | ΔUmin=-30,3953(cosφ)5+87,2125(cosφ)4-104,5607(cosφ)3+65,9469(cosφ)2-23,5276(cosφ) +5,4715 |
0,2 | ΔUmin=-50,4019(cosφ)5+142,2689(cosφ)4-171,3676(cosφ)3+110,6125(cosφ)2-41,3199(cosφ)+10,6381 |
0,4 | ΔUmin=-109,2913(cosφ)5+286,7041(cosφ)4-316,0632(cosφ)3+187,3897(cosφ)2-67,5573(cosφ)+19,0390 |
0,5 | ΔUmin=-132,1801(cosφ)5+338,2267(cosφ)4-363,7093(cosφ)3+211,1021(cosφ)2-75,9210(cosφ)+22,4156 |
0,8 | ΔUmin=-227,2099(cosφ)5+551,1781(cosφ)4-546,3974(cosφ)3+287,1136(cosφ)2-97,1023(cosφ)+31,2532 |
1,0 | ΔUmin=-206,1761(cosφ)5+501,7216(cosφ)4-506,8194(cosφ)3+273,6460(cosφ)2-97,8407(cosφ)+35,5661 |
3-ей степени | |
0,1 | ΔUmin=-15,9180(cosφ)3+28,8540(cosφ)2-18,2510(cosφ)+5,4361 |
0,2 | ΔUmin=-29,0750(cosφ)3+51,9893(cosφ)2-33,1068(cosφ)+10,5858 |
0,4 | ΔUmin=-51,0992(cosφ)3+87,0435(cosφ)2-54,7290(cosφ)+18,9854 |
0,5 | ΔUmin=-60,2975(cosφ)3+100,2101(cosφ)2-62,3539(cosφ)+22,3741 |
0,8 | ΔUmin=-85,2780(cosφ)3+133,6166(cosφ)2-80,6873(cosφ)+31,2648 |
1,0 | ΔUmin=-85,2508(cosφ)3+132,4319(cosφ)2-82,5868(cosφ)+35,5723 |
· 2-го вида ΔUmin=f(I), при cosφn=const (табл. 4.4):
Таблица 4.4
cosφ | Полиномы 5-ой степени |
ΔUmin=-75,6348 I5+174,0991 I4-125,2196 I3+6,2401 I2+56,1819 I-0,1005 | |
0,2 | ΔUmin=-24,6429 I5+60,6236 I4-48,5908 I3+6,5376 I2+30,0267 I-0,3281 |
0,4 | ΔUmin=-18,5867 I5+48,5478 I4-43,8452 I3+12,8175 I2+19,8041 I-0,2279 |
0,6 | ΔUmin=4,9985 I5-12,3939 I4+13,2316 I3-9,9762 I2+19,4383 I-0,4062 |
0,8 | ΔUmin=-2,6808 I5+4,2968 I4+1,6542 I3-7,0776 I2+15,0410 I-0,3527 |
1,0 | ΔUmin=57,5719 I5-129,7957 I4+118,1457 I3-59,1112 I2+14,0604 I-0,7734 |
4. Результаты выбора степени полиномов на основании сравнения значений отклонения напряжения, рассчитанных по исходным данным с помощью математической модели (табл. 4.2) и полиномов (табл. 4.5 и 4.6):
· значения отклонения напряжения, полученные по полиномам 1-го вида (табл. 4.3):
Таблица 4.5
Нагрузка, о.е. | Отклонение напряжения, %, при следующих значениях коэффициента мощности (cosφ) | |||||
0,2 | 0,4 | 0,6 | 0,8 | 1,0 | ||
По полиномам 5-ой степени | ||||||
0,1 | 5,5 | 2,7 | 1,8 | 1,5 | 1,1 | 0,1 |
0,2 | 10,6 | 5,6 | 4,0 | 3,2 | 2,4 | 0,4 |
0,4 | 19,0 | 10,9 | 8,0 | 6,4 | 4,7 | 0,2 |
0,5 | 22,4 | 13,3 | 9,9 | 7,9 | 5,8 | -0,1 |
0,8 | 31,3 | 19,8 | 15,2 | 12,1 | 8,9 | -1,2 |
1,0 | 35,6 | 23,6 | 18,5 | 14,9 | 10,9 | 0,1 |
По полиномам 3-ей степени | ||||||
0,1 | 5,4 | 2,8 | 1,7 | 1,5 | 1,2 | 0,1 |
0,2 | 10,6 | 5,8 | 3,8 | 3,2 | 2,5 | 0,4 |
0,4 | 19,0 | 11,1 | 7,8 | 6,4 | 4,7 | 0,2 |
0,5 | 22,4 | 13,4 | 9,6 | 8,0 | 5,8 | -0,1 |
0,8 | 31,3 | 19,8 | 14,9 | 12,5 | 8,6 | -1,1 |
1,0 | 35,6 | 23,7 | 18,3 | 15,3 | 10,6 | 0,2 |
· значения отклонения напряжения, полученные по полиномам 2-го вида (табл. 4.4):
Таблица 4.6
cosφ | Отклонение напряжения, %, при следующих значениях нагрузки,о.е. | |||||
0,1 | 0,2 | 0,4 | 0,5 | 0,8 | 1,0 | |
0,0 | 5,5 | 10,6 | 19,0 | 22,4 | 31,3 | 35,6 |
0,2 | 2,7 | 5,6 | 10,9 | 13,3 | 19,8 | 23,6 |
0,4 | 1,8 | 4,0 | 8,0 | 9,9 | 15,2 | 18,5 |
0,6 | 1,5 | 3,2 | 6,4 | 7,9 | 12,1 | 14,9 |
0,8 | 1,1 | 2,4 | 4,7 | 5,8 | 8,9 | 10,9 |
1,0 | 0,1 | 0,4 | 0,2 | -0,1 | -1,2 | 0,1 |
Вывод: значения отклонений напряжения, полученные по полиномам 5-ой степени, полностью совпадают с результатами математической модели.
5. Графическое представление:
· полиномиальных зависимостей 1-го вида (табл. 4.3) представлено на рис. 4.6:
Рис. 4.6
· полиномиальных зависимостей 2-го вида (табл. 4.4) представлено на рис. 4.7:
Рис. 4.7
2.Файл vspuga.mвызываетсяиз файлов Prac_4.m и Prov_P4.m оператором «[t,y]=ode45('vspuga',[0 1.5],y0)». Он содержажит информацию о методе решения дифференциальных уравнений (ode45 – Рунге-Кутта 4..5 порядков), о диапазоне времени (время начала расчета, время конца расчета) – [0 1.5], и начальных условиях, формируемых в виде массива y0. В нем находятся дифференциальные уравнения, разрешенные относительно производных. Он начинается с function pry=vspuga(t,y), где pry – массив производных.
3.Файл Opr_hpr4.m.Вэтом файле решается задача определения отклонения напряжения по полиномиальным зависимостям, полученным в файле Prac_4.m, для произвольных значений Iзад и cosφзад. Он начинается с загрузки с помощью оператора «load» файла данных poldu.mat,содержащим полиномы и исходные данные.
Реализованный в примере алгоритм базируется на полиномах 5-ой степени 2-х видов табл. 4.3 и 4.4. Условно его можно разбить на 2-е части: расчет отклонения напряжения по полиномам и выбор из полученных 2-х результатов наиболее близкого к значению, получаемому на математической модели.
Основной задачей первой части является поиск расчетного полинома по I из совокупности полиномов 1-го вида и по cosφ – 2-го вида. Поиск осуществляется на основе следующих проверок:
· если Iзад= I или (и) cosφзад=cosφ, то при подстановке в соответствующий этим параметрам полином 1-го вида cosφзад или (и) Iзад – 2-го будут получены значения отклонения напряжения;
· если Iзад≠ I или (и) cosφзад≠cosφ, то для расчета по полиномам 1-го вида предлагается брать ближайший в направлении увеличения нагрузки, а для полиномов 2-го вида – ближайший в направлении уменьшения коэффициента мощности.
После получения 2-х значений отклонений U необходимо перейти ко 2-ой части алгоритма. В примере для выбора одного из двух значений отклонений U использовался следующий алгоритм: преимущество имеет значение, полученное по полиному, выбранному по условию Iзад= I или (и) cosφзад=cosφ, если это условие не выполняется, то выбирается меньшее значение.
Для проверки правильности алгоритма, по рекомендациям табл.4.1 были выбраны значения Iзад и cosφзад. Выбранные значения, а также результаты расчета отклонений U, полученные с помощью полиномов 2-х видов и математической модели (Prov_P4.m), представлены в табл. 4.7.
Таблица 4.7
Параметры | № опыта | |||
Нагрузка, о.е. | 0,5 | 0,3 | 0,7 | 0,8 |
Коэффициент мощности | 0,7 | 0,6 | 0,3 | 0,8 |
ΔU по математической модели | 6.9620 | 4.7938 | 15.3183 | 8.8789 |
ΔU по полиному 1-го вида | 6.9147 | 6.3537 | 17.1087 | 8.8789 |
ΔU по полиному 2-го вида | 7.8544 | 4.7964 | 17.6413 | 8.8789 |
В табл.4.7 выделены параметры, совпадающие с исходными данными.
Полученные данные подтверждают правильность разработанного алгоритма.
Вид информации, представляемой по результатам выполнения файла:
Необходимо представить алгоритм и результаты расчета для 4-х точек в форме табл. 4.7.
4.Файл Gr_pr4.mреализует решение задачи нахождения границы между областями с допустим (ΔU≤15%) и недопустимым (ΔU>15%) значениями отклонения напряжения в полиномиальной форме cosφ=f(I). Алгоритм включает в себя решение следующих задач:
· нахождение значений cosφ, при заданных значениях I, которые являются положительными вещественными корнями полиномиальных зависимостей 1-го вида, приравненных к 15, и определяются с помощью оператора «roots»;
· нахождение значений I, при заданных значениях cosφ, которые являются положительными вещественными корнями полиномиальных зависимостей 2-го вида, приравненных к 15, и определяются с помощью оператора «roots»;
· объединение и сортировка полученных множеств значений cosφ и I, характеризующих координаты границы;
· определение отклонений U по математической модели (Prov_P4.m) в точках, определяющих координаты границы;
· получение на множествах cosφ и I полиномиальной зависимости границы вида cosφ=f(I) с помощью оператора «polyfit»;
Вид информации, представляемой по результатам выполнения файла:
· значения полученных координат границы и отклонений напряжения в них, полученные с помощью математической модели (табл. 4.8);
Таблица 4.8
I, о.е. | 0.2962 | 0.4000 | 0.5000 | 0.5778 | 0.7906 | 0.8000 | 1.0000 |
cosφ | 0.0734 | 0.1421 | 0.2000 | 0.4000 | 0.4095 | 0.5936 | |
ΔU, % | 14.9710 | 15.0413 | 14.9910 | 15.0195 | 15.0121 | 15.0002 | 15.0002 |
· полином:
cosφ=-2,9767 I5+6,0835 I4-3,2936 I3-0,0798 I2+1,1475 I-0,2873
· графическое представление полиномиальной зависимости (рис. 4.8):
Рис. 4.8
· проверка правильности определения выполнения условия ΔU≤15%, которая проводится с помощью файла Prov_P4.mдля произвольно заданного значения I и 2-х значений cosφ, находящихся выше и ниже полученной границы. В примере проверка была проведена для I=0,6 и cosφ=0,2 и cosφ=0,3. В результате были получены следующие значения: ΔU=15,5324 и ΔU=13,3049, которые показали правильность координатполученной границы.
5.Файл Prov_P4.mпредназначен для реализации проверок по математической модели. Он работает совместно с файлом vspuga.m.Допускается функции проверки предусмотреть в файле Prac_4.m.
Программные реализации приведены в Приложении 3.