Раздел 3. Контрольная работа по математике №3
Введение в математический анализ
Теоретический материал
Основы теории пределов функций
Понятие предела функции
Независимая переменная величина , входящая в понятие функции, может, в соответствии с условиями конкретной задачи, изменяться различным образом. Например, пусть
принимает такую последовательность значений:
Видно, что с увеличением номера значение приближается к 3, что кратко обозначают
(
стремится к 3). Если
приближается к некоторому числу
со стороны меньших значений (как в приведенном примере), то говорят, что
стремится к
слева и обозначают:
; если же
приближается к
со стороны больших значений, то говорят, что
стремится к
справа и обозначают:
. Например, запись
означает, что
может, в частности, принимать такую последовательность значений: 3,1; 3,01; 3,001; ...
Если в своем изменении независимая переменная может стать больше любого наперед заданного положительного числа, то это обозначают так: (
стремится к бесконечности). Если при изменении независимой переменной она может стать меньше любого наперед заданного отрицательного числа (как угодно большого по модулю), то это обозначают так:
(
стремится к минус бесконечности).
Ясно, что при изменении аргумента связанная с ним функция
будет также принимать соответствующий ряд значений. Рассмотрим, например, функцию
. Одновременное изменение и аргумента и функции удобно представить таблицей:
x | ||||
f(x) | 1,2 | 1,02 | 1,002 |
Из таблицы видно, что при неограниченном увеличении значения функции приближаются к 1.
Число называется пределом (или предельным значением) функции
при
, если для любой последовательности значений аргумента
, стремящейся к
, соответствующая последовательность значений функции
стремится к
.
Для обозначения предела используют следующую символику:
(lim – начало латинского слова limit – предел).
Функция называется бесконечно малой при
, если ее предел при
равен 0.
Например, рассмотрим функцию . Составим таблицу
![]() | |||
![]() | 0,01 | 0,0001 |
Можно заключить, что .
В общем случае .
Функция называется бесконечно большой при , если с приближением
к
, модуль значения функции становится больше любого наперед заданного положительного числа.
Символически такое поведение функции описывают так:
.
В формулировке понятия предела предполагалось, что может быть и конечным числом и
. Если рассматривать только конечные значения
, то можно ввести понятие одностороннего предела.
Число называется правым пределом функции
в точке
, если для любой последовательности значений аргумента, сходящейся к
и состоящей из чисел, больших
, соответствующая последовательность значений функции сходится к
.
Число называется левым пределом функции
в точке
, если для любой последовательности значений аргумента, сходящейся к
и состоящей из чисел, меньших
, соответствующая последовательность значений функции сходится к
.
Рассмотрим функцию , найдем ее односторонние пределы в точке
. Для предела слева составим таблицу:
x | 0,5 | 0,9 | |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Значения функции, представленные в таблице, позволяют заключить, что .
Для предела справа составим такую таблицу:
x | 1.5 | 1.1 | |
![]() | ![]() | ![]() |
Из данных этой таблицы можно сделать вывод: .