Разложение определителей по элементам его рядов.
1.Теорема разложения:
Всякий определитель равен сумме парных произведений элементов какого-либо ряда на их алгебраические дополнения.
Для i-й строки:
;
или для j-го столбца:
Пример 7.1.Вычислить определитель разложением по элементам первой строки:
=1∙(1+12+12 )
∙(2+16+18
)+
+3∙(4+8+27 )
∙(8+4+18
)=
=8 =
.
Теорема разложения позволяет заменить вычисление одного определителя n-го порядка вычислением n определителей (n-1)-го порядка.
Однако для упрощения вычислений целесообразно для определителей высоких порядков использовать метод «размножения нулей», основанный на свойстве 6 раздела 5. Его идея:
-сначала «размножить нули» в некотором ряду, т.е. получить ряд, в котором только один элемент не равен нулю, остальные нули;
-затем разложить определитель по элементам этого ряда.
Следовательно, на основании теоремы разложения исходный определитель равен произведению ненулевого элемента на его алгебраическое дополнение.
Пример7.2. Вычислить определитель:
.
«Размножим нули» в первом столбце.
От второй строки вычтем первую, умноженную на 2, от третьей строки вычтем первую, умноженную на 3, а от четвертой строки вычтем первую, умноженную на 4. При таких преобразованиях величина определителя не изменится.
По свойству 4 раздела 5 можем вынести за знак определителя из 1-го столбца,
из 2-го столбца и
из 3-го столбца.
Следствие: Определитель с нулевым рядом равен нулю.
2. Теорема замещения:
Сумма парных произведений каких-либо чисел на алгебраические дополнения некоторого ряда определителя равна тому определителю, который получается из данного, если в нем заменить элементы этого ряда взятыми числами.
Для -й строки:
1. Теорема аннулирования:
Сумма парных произведений элементов какого-либо ряда на алгебраические дополнения параллельного ряда равна нулю.
.
Действительно, по теореме замещения получаем определитель, у которого в k-й строке стоят те же элементы, что и в i-й строке
Но по свойству 3 раздела 5 такой определитель равен нулю.
Т.о., теорему разложения и ее следствия можно записать следующим образом:
8. Общие сведения о матрицах. Основные определения.
Определение 8.1 . Матрицей называется следующая прямоугольная таблица:
содержащая элементов
,расположенных в т строках и в п столбцах.
Применяют также следующие обозначения матрицы: , или
, или
.
Строки и столбцы матрицы именуются рядами.
Величина
называется размером матрицы.
Если в матрице поменять местами строки и столбцы, то получим матрицу, называемую транспонированной. Матрица, транспонированнаяс , обычно обозначается символом
.
Например:
Определение 8.2. Две матрицы A и B называются равными, если
1) обе матрицы одинаковых размеров, т.е. и
;
2) все их соответствующие элементы равны, т.е.
(8.1)
Тогда . (8.2)
Здесь одно матричное равенство (8.2) эквивалентно скалярных равенств (8.1).
9. Разновидности матриц.
1) Матрица, все элементы которой равны нулю, называется ноль-матрицей:
2) Если матрица состоит только из одной строки, то она называется матрицей-строкой, например . Аналогично этому матрица, имеющая только один столбец, именуется матрицей-столбцом, например
.
Транспонирование переводит матрицу-столбец в матрицу-строку и наоборот.
3) Если m = n , то матрица называется квадратной матрицей n-го порядка.
Диагональ членов квадратной матрицы, идущая из левого верхнего угла в ее правый нижний угол, называется главной. Другая же диагональ ее членов, идущая из левого нижнего угла в ее правый верхний угол, именуется побочной.
Для квадратной матрицы может быть вычислен определитель det(A).
4) Если определитель матрицы равен нулю, то матрица называется особенной, или вырожденной. В противном случае матрица именуется неособенной, или невырожденной.
5) Разновидности квадратных матриц:
Если все элементы квадратной матрицы, за исключением элементов ее главной диагонали, равны нулю, то матрица называется диагональной. Диагональная матрица имеет вид:
Ее определитель равен произведению элементов главной диагонали:
В частности, при диагональная матрица называется скалярной:
.
При скалярная матрица называется единичной и обозначается символом Е.
. Ее определитель равен единице:
Если все элементы квадратной матрицы по одну сторону главной диагонали равны нулю, то матрица именуется треугольной (соответственно верхней или нижней).
- верхняя треугольная матрица.