Формулы связи координат соответственных точек местности и горизонтального снимка.

У горизонтального снимка угловые элементы внешнего ориентирования w=a=À=0. Будем считать, что координаты главной точки снимка x₀=y₀=0.

В этом случае

Формулы связи координат (1.3.6) и (1.3.12) при этом будут иметь вид

Если в качестве начала системы координат объекта OXYZ выбрать центр проекции S, то Xs=Ys=Zs=0, а формулы (1.4.2) и (1.4.3) примут вид:

( H = -Z – высота фотографирования над определяемой точкой)

Из формул (1.4.4) и (1.4.5) следует, что горизонтальным снимком горизонтальной местности можно пользоваться как планом масштаба

.

1.5 Определение элементов внешнего ориентирования снимка по опорным точкам (обратная фотограмметрическая засечка).

Опорной точкой будем называть точку, опознанную на местности и на снимке, геодезические координаты которой на местности известны.

Для определения элементов внешнего ориентирования снимка воспользуемся уравнениями коллинеарности (1.3.12), которые представим в виде

; (1.5.1)

где

;

или

. (1.5.2)

Если на снимке измерены координаты изображений опорных точек, то каждая опорная точка позволяет составить 2 уравнения (1.5.2),в которых известны значения координат х,у изображения опорной точки в системе координат снимка Sxyz, геодезические координаты опорной точки в системе координат объекта OXYZ и элементы внутреннего ориентирования снимка f,x₀,y₀.

Неизвестными величинами в уравнениях (1.5.2) являются 6 элементов внешнего ориентирования снимка Xs,Ys,Zs,w,a,À.

Следовательно, для определения 6 неизвестных элементов внешнего ориентирования снимка достаточно иметь не менее 3 опорных точек. При этом опорные точки на местности не должны располагаться на одной прямой. Если имеются 3 опорные точки, координаты изображений которых на снимке измерены, можно составить систему из 6 уравнений (1.5.2) с 6 неизвестными. В результате решения этой системы уравнений можно найти значения элементов внешнего ориентирования снимка.

В связи с тем, что уравнения (1.5.2) не линейны, решение системы уравнений непосредственно достаточно сложно, поэтому систему уравнений (1.5.2) решают методом приближений.

Для этого уравнения (1.5.2) приводят к линейному виду, раскладывая их в ряд Тейлора с сохранением членов только первого порядка малости, и переходят к уравнениям поправок.

. (1.5.3)

В уравнениях (1.5.3):

dXs, … ,dÀ - поправки к приближенным значениям неизвестных элементов внешнего ориентирования снимка Xs⁰,…,À⁰;

a_i,b_i – частные производные от уравнений (1.5.2) по соответствующим аргументам (например, коэффициент а₄ является частной производной от первого уравнения (1.5.2) по аргументу w,то есть );

ℓх, ℓу – свободные члены.

Значения коэффициентов уравнений (1.5.3) a_i,b_i вычисляются по известным значениям координат точек снимка и местности х,у и X,Y,Z, известным значениям элементов внутреннего ориентирования снимка f,x₀,y₀ и приближенным значениям неизвестных Xs⁰,…,À⁰.

Свободные члены ℓх, ℓу вычисляются по формулам (1.5.2) таким же образом.

В результате решения системы уравнений поправок (1.5.3) находят поправки к приближенным значениям неизвестных и вычисляют уточненные значения неизвестных.

По уточненным значениям неизвестных повторно составляют уравнения поправок (1.5.3) и решают полученную систему уравнений.

Решения повторяют до тех пор, пока величины поправок, найденные в результате решения, не станут пренебрежительно малыми.

В случае если на снимке измерено более трех изображений опорных точек, то для каждой точки составляют уравнения поправок вида:

; (1.5.4)

Решение полученной системы уравнений (1.5.4) производят методом приближений, по методу наименьших квадратов (под условием V^TPV=min).

1.6 Формулы связи координат соответственных точек горизонтального и наклонного снимков, полученных из одного центра проекции (формулы трансформирования координат точек снимка)

Пусть из точки S получен наклонный Р и горизонтальный Р⁰ снимки, на которых точка М объекта изобразилась соответственно в точках m и m⁰ (рис.1.6.1). Найдем зависимости между координатами этих точек.

Рис.1.6.1

На рис.1.6.1 и – векторы, определяющие положение точек m и m⁰ относительно центра проекции S на снимках Р и Р⁰.

Векторы коллинеарные, поэтому можно записать:

; (1.6.1)

где N - скаляр.

В системе координат горизонтального снимка Sx⁰y⁰z⁰ выражение (1.6.1) имеет вид (полагая х⁰=у⁰=0):

; (1.6.2)

где x⁰y⁰z⁰ –координаты вектора в системе координат горизонтального снимка.

; (1.6.3)

Из третьего уравнения (1.6.2) следует, что

.

Подставив значение N в первые два уравнения (1.6.2) получим формулы связи координат соответственных точек горизонтального и наклонного снимков:

; (1.6.4)

которые с учетом (1.6.3) имеют вид:

. (1.6.5)

Выведем формулы определения координат точек наклонного снимка по координатам соответственных точек горизонтального снимка.

Из (1.6.1) следует, что

. (1.6.6)

В системе координат наклонного снимка Sxyz (1.6.6) имеет вид:

; (1.6.7)

где х*,y*,z* - координаты вектора в системе координат наклонного снимка.

; (1.6.8)

Из третьего уравнения (1.6.7) следует, что

Подставив значение 1/N в первые два уравнения (1.6.7), получим формулы связи координат точек наклонного и горизонтального снимков.

(1.6.9)

(1.6.10)

1.7 Формулы связи координат точек местности и их изображений на стереопаре снимков (прямая фотограмметрическая засечка).

Рис.1.7.1

p=x₁-x₂ – продольный параллакс; q=y₁-y₂ – поперечный параллакс.

Рис.1.7.2

На рис.1.7.2 показана стереопара снимков Р₁ и Р_2, на которых точка местности М изобразилась соответственно в точках m₁ и m₂. Будем считать, что элементы внутреннего и внешнего ориентирования снимков известны.

Выведем формулы связи координат точек местности и координат их изображений на стереопаре снимков.

Из рис.1.7.2 следует, что векторы определяют соответственно положение точки местности М и центра проекции S₁ снимка Р₁ относительно начала системы координат объекта OXYZ. Вектор определяет положение центра проекции S₂ снимка Р₂ относительно центра проекции S₁.

Векторы определяют положение точек m₁ и М относительно центра проекции S₁. Векторы определяют положение точек m₂ и М относительно центра проекции S₂.

Из рис.1.7.2 следует, что

(1.7.1)

Так как векторы коллинеарные, то

; (1.7.2)

где N – скаляр.

С учетом (1.7.2) выражение (1.8.1) будет иметь вид

. (1.7.3)

В координатной форме выражение (1.7.3) будет иметь вид

; (1.7.4)

где X₁’,Y₁’,Z₁’ –координаты вектора в системе координат объекта OXYZ.

.

Найдем значение N, входящее в выражение (1.7.4). Из рис.1.7.2 следует, что

;

или с учетом (1.7.2)

. (1.7.5)

Так как векторы коллинеарны, то их векторное произведение

. (1.7.6)

С учетом (1.7.5) выражение (1.7.6) можно представить в виде

;

или

. (1.7.7)

Выражение (1.7.7) можно представить в виде

;

или

; (1.7.8),

где

- орты, совпадающие с осями координат X,Y,Z системы координат объекта OXYZ;

B_X, B_Y, B_Z, X₁’, Y₁’, Z₁’, X₁’, Y₁’, Z₁’ – координаты векторов в системе координат объекта OXYZ.

;

где i – номер снимка, а

. (1.7.9)

Так как векторы коллинеарные (потому что векторы компланарны), значение N можно найти как отношение их модулей, то есть

; (1.7.10)

В координатной форме выражение (1.7.10) с учетом (1.7.8) имеет вид

; (1.7.11)

У коллинеарных векторов отношение их координат равно отношению их модулей, поэтому можно записать, что:

Таким образом, если известны элементы внутреннего и внешнего ориентирования стереопары снимков и измерены на этих снимках координаты сооветственныхточек x1,y1 и x2,y2, то сначала надо определить по одной из формул (1.7.12)-(1.7.14) значение скаляра N, а затем по формуле (1.7.4) вычислить координаты точки местности X,Y,Z.