Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба.
Определение 8.Кривая у = f(x) называется выпуклой вниз на промежутке а < х <в, если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка и кривая у = f(x) называется выпуклой вверх на промежутке а < х <в, если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка.
Определение 9. Промежутки, в которых график функции обращён выпуклостью вверх или вниз, называются промежутками выпуклости графика функции.
Y
![]() |
Y = f(x)
![]() |
0 X
Достаточное условие выпуклости кривой. График дифференцируемой функции Y = f(x) является выпуклым вверх на промежутке а < х <в, если f”(x) < 0 и выпуклым вниз, если f”(x) > 0.
Определение 9. Точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует, называются критическими точками II рода.
Определение 10.Точка графика функцииY = f(x), разделяющая промежутки выпуклости противоположенных направлений этого графика, называется точкой перегиб.
+ - f”(x)
![]() |
х = х0 f(x)
точка перегиба
Пример 16: Дана функция у = х3 – 2х2 + 6х – 4.Исследовать функцию на промежутки монотонности и точки экстремума. Определить направление выпуклости и точки перегиба.
Решение: 1. Найдем область определения функции: D(y) = ;
2. Найдем первую производную: y’ = 3x2 – 4x + 6;
3. Решим уравнение: y’ = 0, 3x2 – 4x + 6 = 0, D 0, то данное уравнение не имеет решения, следовательно точек экстремуму нет. y’
, то функция возрастает на всей области определения.
4. Найдем вторую производную:y” = 6x – 4;
5. Решим уравнение: y” = 0, 6x – 4 = 0, х =
- + y”(x)
y(x)
У( ) = -
Ответ: ( ; -
) – точка перегиба, функция выпукла вверх при х
и выпукла вверх при х
Асимптоты.
Определение 11.:Асимптотой кривой называется прямая, к которой неограниченно приближается график данной функции.
Виды асимптот:
1) Вертикальные асимптоты. График функции y = f(x) имеет вертикальную асимптоту, если . Уравнение вертикальной асимптоты имеет вид х = а
2) Горизонтальные асимптоты. График функции y = f(x) имеет горизонтальную асимптоту, если . Уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид у = b.
Пример 17: Для функция y = найдите асимптоты.
3) Наклонные асимптолты. Прямая y = kx + b называется наклонной асимптотой графика функции y = f(x), если . Значения k и b вычисляются по формулам: k =
; b =
.
Решение: , то y = 0 – горизонтальная асимптота;
(т. к. х – 3 ≠ 0, х ≠3), то х = 3 – вертикальная асимптота.
,т. е. k = 0, то кривая наклонной асимптоты не имеет.
Пример 18: Для функции y = найдите асимптоты.
Решение: x2 – 25 ≠ 0 при x ≠ ± 5, то х = 5 и х = - 5 являются горизонтальными асимптотами;
y = , то кривая не имеет вертикальной асимптоты;
k = ; b =
, т. е. y = 5x – наклонная асимптота.
Примеры построения графиков функций.
Пример 19.
Исследовать функцию и построить график функции у = х3 – 6х2 + 9х – 3
1.Найдём область определения функции: D(y) = R
2.Выясним, является ли данная функция чётной или нечетной:
у( - х) = ( - х)3 - 6·(- х)2 + 9·(-х) – 3 = - х3 – 6х2 – 9х – 3 = - (х3 + 6х2 + 9х + 3), т. е.
у( - х) ≠ у(х) – не является чётной и у( - х) ≠ - у(х) – не является нечётной
( у = х5 – х3 – нечетная, у = х4 + х2 – четная)
3.Не является периодической.
4.Найдем точки пересечения с осями координат: если х = 0, то у = - 3 (0; - 3)
если У = 0, х найти затруднительно.
5.Найдем асимптоты графика функции: Вертикальных асимптот нет, т.к. нет значений х, при которых функция неопределенна; у = , т. е. горизонтальных асимптот нет;
k = , т . е. наклонных асимптот нет.
6.Исследуем функцию на промежутки монотонности и её экстремумы: y’ = 3x2 – 12x + 9, y’= 0, 3x2 – 12x + 9 = 0 x1 = 1; x2 = 3 – критические точки 1 рода.
+ - + y’(x)
x
1 3 y(x)
max min
ymax = y(1) = 1, (1;1) – точка максимума; ymin = y(3) = - 3, (3; - 3) – точка минимума, функция у↑ при х и у
.
7.Исследуем функцию на промежутки выпуклости и точки перегиба: y” = (y’)’ = (3x2 – 12x + 9)’ = 6x – 12, y” = 0, 6x – 12 = 0 x = 2
- + y”(x)
x
2 y(x)
Y(2) = - 1 (2; - 1) – точка перегиба, функция выпукла вверх при х и выпукла вниз при х
.
8.Дополнительные точки:
х | - 1 | |
у | - 19 |
9. Построим график функции:
У
![]() |
1
0 1 2 3 4 Х
- 3
- 19
Пример 20.
Исследовать функцию и построить график функции у =
1. Найдём область определения функции: 1 – х ≠ 0, х ≠ 1, D(y) = .
2.Выясним, является ли данная функция чётной или нечетной: ,
у( - х) ≠ у(х) – не является чётной и у( - х) ≠ - у(х) – не является нечётной
3.Не является периодической.
4.Найдем точки пересечения с осями координат: х = 0, то у = - 2; у = 0, , то
, т. е. (0; - 2); (
).
5.Найдем асимптоты графика функции: т.к. х ≠ 1,то прямая х = 1 – вертикальная асимптота;
у = , т. е. у = - 3 - горизонтальная асимптота;
k = , т . е. наклонных асимптот нет.
6.Исследуем функцию на промежутки монотонности и её экстремумы: y’ = =
, y’ ≠ 0, т. е. критических точек 1 рода нет, но у’ > 0, то функция возрастает на всей области определения.
7.Исследуем функцию на промежутки выпуклости и точки перегиба:
y” = (y’)’ = ( , x ≠ 1
+ - f” (x)
x
1 f(x)
т. к. х = 1 D(y) , то не является точкой перегибах х = 1 – точка разрыва, функция выпукла вниз при х
и выпукла вверх при х
8. Дополнительные точки:
х | ![]() | ||
у | - 2,5 | - 4 | - 3,5 |
9.Построим график функции:
У
Х = 1
- 1 0 1 2 3 Х
- 2
У = -3
- 3
- 4
Пример 21:
Исследовать функцию и построить график функции у =
1. Найдём область определения функции: х ≠ 0, D (y) = ( - ∞; 0) U (0; + ∞)
2. Выясним, является ли данная функция чётной или нечетной: y( - x) = - , y(x) = - y(x) – то функция нечётная и график симметричен относительно начала координат.
3. Не является периодической.
4. Найдем точки пересечения с осями координат: х ≠ 0, то у ≠ 0, график не пересекает ось оУ; 3х2+ 1 = 0, х2 = - - нет решения, то график не пересекает ось оХ
5. Найдем асимптоты графика функции: т.к. х ≠ 0,то прямая х = 0 – вертикальная асимптота;
у = , т. е. горизонтальных асимптот нет;
k = , т . е.y = 3x - наклонная асимптота .
6. Исследуем функцию на промежутки монотонности и её экстремумы:
y’ = , y’ = 0,
= 0, 3x2 – 1 = 0, x = ±
=
- критические точки 1 рода.
+ - + y’(x)
X
Y(x)
max min
y( - ) =
y(
) = 2
( ) – точка минимума; (
) – точка максимума; У ↑ при Х
; y
7.Исследуем функцию на промежутки выпуклости и точки перегиба: y” = (y’)’ = ; x ≠ 0;
-
+ y”(x)
-
X
0 Y(x)
т. к. х = 0 D(y) , то не является точкой перегиба ,х = 0- точка разрыва; функция выпукла вверх при х
и выпукла вниз при
х
Дополнительные точки:
х | - 1 | - 0,5 | - 0,1 | 0,1 | 0,5 | |
у | - 4 | - 3,5 | - 10,3 | 3,5 |
8.Построим график функции: У
У = 3х
![]() |
3
![]() |
1
0 Х
- 1 - 0,5 - 0,1 0,1 0,5 1
Упражнения для самопроверки
1. Найдите производные функций: а) ; б)
;
2. Найдите вторую производную функции: а) ; б)
; в)
.
3. Составьте уравнение касательной к кривой в начале координат.
4. При каком значении переменной x касательные к кривым и
параллельны?
5. Тело движется прямолинейно по закону (
- в метрах,
- в секундах). Найдите скорость движения в тот момент времени, когда ускорение равно нулю.
6. Найдите экстремумы функции .
7. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
.
8. Кусок проволоки длиной в 84 см требуется согнуть в виде прямоугольника так, чтобы площадь этого прямоугольника была наибольшей.
9. Число 16 разложите на два таких положительных множителя, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.
10. Определите направление вогнутости и точки перегиба кривой .
Ответы. 1 а) ; б)
;2. а)
; б)
; в)
. 3.
. 4. 0;
. 5.
м/с. 6.
,
. 7.
,
. 8. Квадрат со стороной 21 см. 9. 4 и 4. 10. На интервале
кривая выпукла, на интервале
- вогнута, точка перегиба (1, 2).
Интегральное исчисление.
По данной теме ознакомьтесь с методическими указаниями по этой теме и внимательно разберите решение примеров из данного пособия. Ответьте на вопросы и выполните упражнения для самопроверки.
Неопределенный интеграл
Понятие неопределенного интеграла. Напомним, что дифференцирование – это действие, с помощью которого по данной функции находится ее производная или дифференциал. Например, если , то
,
.
Как мы знаем, нахождение производной имеет большое практическое значение. Так, по данному закону движения тела мы путем дифференцирования находим скорость
, а затем и ускорение
по данному уравнению кривой
определяем угловой коэффициент касательной, проведенной к этой кривой:
.
На деле, однако, часто приходится решать обратную задачу: по известной скорости движения тела устанавливать закон его движения, по данному угловому коэффициенту касательной к кривой находить уравнение кривой и т.п. иначе говоря, по данной производной отыскивать функцию, от которой найдена эта производная, т.е. выполнять действие обратное дифференцированию. Это действие называется интегрированием. С помощью интегрирования по данной производной или дифференциалу функции находится сама функция. Например, если , то
, так как
.
Определение 1. Дифференцируемая функция ,
называется первообразной для функции
на интервале
, если
для каждого
.
Так, для функции первообразной служит функция
, поскольку
.
Для заданной функции ее первообразная определяется неоднозначно.
Справедливо теорема: если - первообразная для
на некотором промежутке, то и функция
, где C – любая постоянная, также является первообразной для функции
на этом промежутке. Обратно: каждая функция, являющаяся первообразной для
в данном промежутке, может быть записана в виде
.
Значит, достаточно найти для данной функции только одну первообразную функцию
, чтобы знать все первообразные, так как они отличаются друг от друга только на постоянную величину.
Определение 2.Совокупность всех первообразных функций
на интервале
называют неопределенным интегралом от функции
на этом интервале и пишут
. Здесь
- подынтегральное выражение;
- подынтегральная функция; x – переменная интегрирования; C – произвольная постоянная.
Например, , так как
.
Определение 3. Если функция имеет на некотором промежутке хотя бы одну первообразную, то ее называют интегрируемой на этом промежутке. Можно доказать, что любая функция, непрерывная на отрезке
, интегрируема на этом отрезке.