Методические указания к задаче 1
Пример 1
В этом примере вычисления выполнены с использованием широко распространенной программы MathCAD. Соответствующие записи перенесены в текст документа в основном без преобразований и выглядят так же, как в MathCAD. Будем надеется, что студент без труда сопоставит запись E1:=30 с известным ему из программирования выражением «Е1 присвоить значение 30». Кроме того, студенту известно, что в языках программирования довольно часто индексы проставляются «в рост» с основным обозначением величины, так что Е1 в обычном тексте соответствует записи Е1.
![]() |
Схема электрической цепи и числовые данные представлены ниже:
Значения ЭДС даны в вольтах, а сопротивлений в Омах.
![]() |
Перед составлением уравнения, выберем условные положительные направления токов и положительные направления обходов контуров. Составим уравнения по законам Кирхгофа.
При составлении следим за направлениями токов и ЭДС, и в случае их несовпадения с направлениями обхода контуров приписываем напряжениям, созданным этими токами, знак минус. При составлении уравнений по первому закону Кирхгофа входящие в узел токи (по нашим произвольно направленным стрелкам) считаем положительными, а выходящие из узла пишем со знаком минус. Впрочем, если припишем им противоположные знаки, правильность составления уравнений не нарушится, как не нарушается правильность уравнения при умножении левой и правой частей на минус единицу.
![]() |
Соответствующие этой системе матрицы коэффициентов и свободных членов выглядят так:
![]() |
Проводим обычные операции для нахождения корней уравнений:
![]() |
Получаем ответ:
Вектор значений токов читается элементами сверху вниз I1, I2, I3, I4, I5, I6, т. е. эту запись надо читать так: I1 = 1,289 А, I2 = -0,317 А и т. д.
Систему из шести уравнений с шестью неизвестными решать вручную очень громоздко, поэтому лучше найти возможность использовать ЭВМ. Инструмент MATHCAD, например, имеет в составе своих средств вычислений решение систем алгебраических уравнений несколькими методами.
![]() |
Один из матричных методов приведен выше, другой метод последовательных приближений используем далее. В последнем случае надо только задать (произвольно) нулевое приближение значений неизвестных токов (в процессе решения системы машиной они будут уточняться до заданной точности) и записать систему уравнений в привычном виде. Перед системой обязательно ключевое слово MATHCAD: «Given»
Затем указываем, как мы решили обозначить неизвестные (или массив неизвестных если их несколько) с ключевым словом «find» – «найти» и перечисляем в скобках имена неизвестных. Вектор неизвестных мы обозначили Strom (по-немецки ток)
![]() |
![]() |
И, наконец, «велим» MATHCAD вывести найденные значения на экран (Пишем: Strom =). После чего на экране появляется вектор вычисленных значений:
Здесь сверху вниз по порядку идут значения вычисленных токов: I1, I2 и т. д.
Метод контурных токов
![]() |
Будем считать (в теории доказано, что этот прием приводит к верным результатам), что в каждом контуре течет свой контурный ток. Пусть они совпадают по направлению с уже выбранными направлениями обходов контуров. Чтобы отличить их в обозначениях от токов в ветвях, будет отмечать их двойной индексацией: Ikk, где индекс kkпоказывает номер (k-й) рассматриваемого контура. Представим, что токи в ветвях состоят из контурных токов. Так, во внешних ветвях протекают (при выбранных нами конурах) только по одному контурному току: через сопротивление R3контурный ток I11, навстречу току I3. Так что, по-видимому, I3 = –I11,аналогично I1 = I22 и I6 = I33.
Последние пары токов (контурных токов и токов в ветвях) совпадают по направлению, и потому знаки минус отсутствуют.
По сопротивлениям R2, R4, R5 протекают по два контурных тока в противоположных направлениях. Их разности (или алгебраические суммы) и составляют истинные значения силы токов в ветвях.
При составлении алгебраических сумм положительным считается контурный ток, совпадающий по направлению с выбранным изначально положительным направлением тока в ветви. Имеем:
I2 = I11-I22 , I4 = I11-I33 и I5= I22 –I33 .
Таким образом, достаточно нам знать всего три контурных тока для нахождения значения силы токов в ветвях. Значит, если мы сумеем правильно составить систему уравнений относительно контурных токов, то придется решать систему трех уравнений вместо шести. Такую систему уже несложно решать вручную.
![]() |
Введем понятие собственного сопротивления контура, представляющее сумму всех сопротивлений данного контура (в тексте показаны знаки присваивания, как это записывается в MATHCAD и часто на языках программирования высокого уровня:
![]() |
Введем также понятие смежного сопротивления контуров, это сопротивление, входящее одновременно в два контура. Смежные сопротивления имеют разные индексы:
Знаки «-» в правой части обусловлены тем, что контурные токи смежных контуров протекают по сопротивлениям R2, R4и R5в противоположные стороны. Если бы мы решили направить обход третьего контура и сам ток I33 против часовой стрелки, то писали бы:
R12 : = -R2, R23 : =R4, R13 : =R5.
Отметим, что всегда:
R21=R12 R32=R23 R31 = R13
![]() |
Введем понятия контурных ЭДС, представляющие алгебраические суммы всех ЭДС соответствующего контура:
![]() |
Для решения на MATHCAD зададим любые начальные значения контурных токов (например, все по одному амперу):
Составим систему уравнений по методу контурных токов и решим ее.
![]() |
Если бы мы не вводили понятий собственных и смежных сопротивлений и контурных ЭДС, то уравнения выглядели бы так:
I11·(R1 + R2 + R5) - I22·R2 - I 33·R5 = E1 - E 2,
-I11 · R2 + I22· (R2 + R3 + R4) - I33·R4 = E2 + E3,
-I11·R5 - I22·R4 + I 33· (R4 + R5 + R6) = 0.
В некоторых случаях такая запись даже более наглядна. Решение системы трех уравнений несложно провести и вручную. Значения контурных токов оказались равными:
I11 = 1,289 А, I22 = 0,972 А, I33 = 0,768 А.
Теперь находим значения силы токов в ветвях:
I1= I11 = 1,289 A , I3 = -I22 = -0,972 A , I6 = I33 = 0,768 A,
I2= I22 - I11 = -0,317 А , I4 = I22 - I33 = 0,204 A , I5 = 0,521 A.
Полученные значения токов совпадают с ранее полученными по законам Кирхгофа.
Метод узловых напряжений (или потенциалов)
Оставим ранее принятые условные положительные направления токов в ветвях. Направления обходов контуров нам теперь не понадобятся.
Обозначим цифрами номера узлов. Выберем точку нулевого потенциала в узле номер 4, т. е. положим φ4=0. Первый этап метода и главная его идея состоят в том, чтобы отыскать потенциалы остальных узлов:φ1, φ2, φ3.
Введем новые обозначения. Будем называть сумму значений роводимостей всех ветвей, подходящих к К-му узлу, узловой проводимостью К-го узла и обозначать Gkk.
Сумму значений проводимостей всех ветвей, соединяющих два узла с номерами k и m, будем обозначать Gkm. Заметим, что в схемах нашего задания каждую пару узлов соединяет не более одной ветви, т. е. в нашем случае Gkm будет представлена всего одним членом.
![]() |
Кстати, для обозначения потенциалов в учебниках часто используют буквы латинского алфавита V и U. Будем и мы обозначать потенциалы буквой V, оставив U для обозначения напряжений. Тогда потенциалы узлов у нас будут обозначены V1, V2, V3 и V4. Такая замена обозначений не носит принципиального характера. Просто при использовании ЭВМ на написание букв греческого алфавита, как правило, тратится больше времени, а при использовании разных программных инструментов могут встретиться и другие сложности. Кроме того, нам понадобится понятие узлового тока, представляющего собой алгебраическую сумму произведений значений проводимостей ветвей, подходящих к узлу на ЭДС соответствующих ветвей. Если ЭДС направлена от узла, произведение входит в эту сумму со знаком минус. Обозначать узловые токи будем J.
![]() |
Итак:
![]() |
Заметим, что:
![]() |
Узловые токи:
![]() |
Зададим произвольные начальные значения потенциалов для решения на MATHCAD методом итераций:
![]() |
Запишем систему уравнений для узловых потенциалов и найдем значения:
![]() |
Таким образом, мы определили потенциалы узлов в вольтах. Токи в ветвях будем искать по общей формуле:
Здесь Ikm, Vkm, Rkm ток, ЭДС и сопротивление в ветви, соединяющей k-й и m-й узлы. При этом ЭДС Ekm считается положительной, если направлена от k-го узла к m-му. В противном случае ее значение пишется со знаком «-». Если же ток оказался отрицательным, то это означает, что он переносит положительные заряды от m-го узла к k-му (или отрицательные в направлении, обозначенном нами стрелкой).
Итак:
I1=I41, I2=I31, I3=I21, I4=I24, I5=I34, I6=I24.
![]() |
Числовые значения, полученные по этим формулам:
Разумеется, здесь значения потенциалов приведены в вольтах, а значения силы токов в амперах.