Меры возможности и необходимости

Следующие неравенства непосредственно вытекают из аксиомы монотонности (7.2) и характеризуют объединение или пересечение событий:

(7.4)

(7.5)

Предельным случаем мер неопределенности оказываются функции множества

такие,

(7.6)

Они называются мерами возможности по Заде [12-17]. Если условие (7.6) справедливо для любой пары непересекающихся множеств , то оно справедливо и для любой пары множеств (событий).

Пусть достоверное событие. Легко определить функцию со значениями из , удовлетворяющую условию (7.6):

(7.7)

Ясно, что в данном контексте означает, что событие возможно.

Это наводит на мысль о связи мер возможности с теорией ошибок. В частности, если два противоположных события ( есть дополнение в ), то имеем

(7.8)

Утверждение, что события и одинаково возможны, соответствует случаю полного незнания, когда событие столь же ожидаемо, что и противоположное событие.

Наконец, условие (7.6) согласуется с представлением о возможности на уровне здравого смысла: для того чтобы реализовать , достаточно реализовать самый

«легкий» вариант из этих двух (наименее дорогостоящий), [103].

Когда множество конечно, то всякую меру возможности можно определить по ее значениям на одноточечных подмножествах :

(7.9)

где есть отображение из в , называемое функцией распределения возможностей. Оно является нормальным в смысле

(7.10)

поскольку

Когда множество бесконечно, то не гарантировано существование функции распределения возможностей. Соответствующее распределение становится распределением возможности лишь тогда, когда аксиома (7.6) расширяется на случай бесконечных объединений событий [97]. В прикладных задачах можно всегда исходить из функции распределения возможностей и строить меру возможности с помощью формулы (7.9). В наиболее общем случае меры возможности не удовлетворяют аксиоме непрерывности (7.3) для убывающих последовательностейвложенных множеств. Другой граничный случай мер неопределенности получается при достижении равенства в формуле (7.5). При этом определяется класс функций множества, называемых мерами необходимости и обозначаемых , которые удовлетворяют аксиоме, двойственной аксиоме (7.6):

(7.11)

Легко построить функцию со значениями в {0,1}, исходя из информации о достоверном событии и полагая

(7.12)

Здесь означает, что - достоверное событие (с необходимостью истинное).

Более того, легко видеть, что функция множества удовлетворяет аксиоме (7.11) тогда, и только тогда, когда функция , определяемая в виде

(7.13)

является мерой возможности. Формулы (7.12) и (7.13) поясняют название «меры необходимости» для функции [97]. Формула (7.13) есть численное выражение отношения двойственности между модальностями «возможно» и «необходимо» (в модальной логике), постулирующее, что некоторое событие необходимо, когда противоположное событие невозможно. Это отношение двойственности означает, что всегда можно построить функцию распределения необходимости исходя из функции распределения возможностис помощью формулы

(7.14)

Меры необходимости удовлетворяют соотношению

(7.15)

которое исключает одновременную необходимость двух противоположных событий. С помощью (7.13) и (7.15) (или (7.8)) нетрудно проверить, что

(7.16)

Данное условие отвечает интуитивно представлению о том, что, прежде чем быть необходимым, событие должно быть возможным. К тому же имеются более сильные утверждения, чем аксиома (7.16):

(7.17)

(7.18)

Возможность и вероятность

Когда имеется информация о появлении событий в форме измеренных частот элементарных событий, полученная мера неопределенности естественным образом удовлетворяет аксиоме аддитивности

(7.19)

т.е. становится вероятностной мерой, [97] которая, конечно, является монотонной в смысле условия (7.2). Формула (7.19) – вероятностный эквивалент аксиом (7.6) и (7.11).

Условие, эквивалентное условиям (7.9) и (7.14), для конечного случая записывается в виде

(7.20)

где

Условие нормировки является аналогом условия (7.10). Общая черта вероятностных мер, мер возможности и необходимости заключается в том, что все они могут характеризоваться некоторыми распределениями на элементах универсального множества.

Здесь аналогом соотношений (7.8) и (7.15) является хорошо известное соотношение

(7.21)

в то время, как из (7.8) и (7.15), следуют лишь неравенства

(7.22)

(7.23)

Из этих соотношений видно одно из главных различий между возможностью и вероятностью. Вероятность некоторого события полностью определяет вероятность противоположного события. Возможность (или необходимость) некоторого события и возможность (необходимость) противоположного ему события связаны слабее; в частности, для того, чтобы охарактеризовать неопределенность по отношению к событию , требуется два числа и , удовлетворяющие условию (7.17) или (7.18).

Когда моделируется субъективное суждение, кажется естественным стремление не устанавливатьжесткой связи между показателями, свидетельствующими в пользу некоторого события (степень необходимости), и показателями, свидетельствующими против него (степень возможности). В этой ситуации понятие вероятности оказывается менее гибким, чем понятие меры возможности.

Даже когда сохраняется требование аддитивности, можно построить меры возможности и необходимости, если не требовать дополнительно, чтобы значения вероятностей (распределение p) относились к элементарным событиям. Точнее, пусть непустые, попарно различные подмножества (предполагаемого конечным), с соответствующими значениями вероятности такими, что

(7.24)

и (7.25)

Величина понимается как значение вероятности совокупности элементарных событий, составляющих , причем здесь не оговаривается распределение величины

по элементарным событиям. Подмножества называются «фокальными элементами» и могут отражать неточность наблюдений. В этой ситуации вероятность события можно охарактеризовать лишь неточно как величину, содержащуюся в интервале с границами

(7.26)

(7.27)

Значение вычисляется по всем фокальным элементам, которые делают необходимым появление события (или влекут за собой событие ). Значение получается при рассмотрении всех фокальных элементов, которые делают возможным появление события . Отметим, что имеется отношение двойственности между и :

(7.28)

Доказано (Шейфер [24]), что функция (соответственно ) удовлетворяют аксиоме (7.6) (соответственно (7.11)), т.е. является мерой возможности (соответственно необходимости) тогда и только тогда, когда фокальные элементы образуют последовательность вложенных множеств. А именно если то функция распределения возможностей , связанная с и , определяется в виде

(7.29)

Ясно, что если, наоборот, фокальные элементы являются элементарными (а значит, несовместными) событиями, то т.е. снова возвращаемся к вероятностной мере.

Если схематично представить базу знаний с помощью множества фокальных элементов, которые являются составляющими «значение» в наборе, описывающем информационную единицу, то легко понять, что вероятностные меры [17], естественным образом синтезируют базу точных и дифференцированных знаний, тогда как меры возможности [97], суть отражение неточных, но связных (т.е. подтверждающих друг друга) знаний. Отметим, что функции возможности в этом смысле более естественны для представления чувства неуверенности: от субъекта не ждут слишком точной информации, но желают услышать по возможности наиболее связную речь. Зато точные, но флуктуирующие, данные чаще всего получают из наблюдений физического явления.

Несомненно, в базе знаний будет содержаться информация, которая в общем случае не сведется ни к точной, ни к полностью согласованной информации. Вероятность, с одной стороны, и пара «возможность-необходимость» - с другой соответствуют двум крайним, а значит, идеальным ситуациям.

Формулы (7.26) и (7.27) позволяют считать, что функция распределения возможностей определяет класс вероятностных мер Р, такой, что

(7.30)

Это позволяет строго определить понятие математического ожидания в рамках мер возможности. Если f- функция, определенная на и принимающая значения из множества действительных чисел , то верхние и нижние математические ожидания f, обозначаемые соответственно, определяются с помощью интегралов Лебега-Стилтьеса (Демпстер [23]):

(7.31)

(7.32)

Названия верхних и нижних математических ожиданий оправдываются тождествами

(7.33)

Эти соотношения были получены Демпстером для случая, когда множество

конечно; более общий случай описан в данной работе.