Теорема об изменении количества движения

Количеством движения (импульсом) материальной точки называется вектор

Количеством движения (главным вектором количеств движения) механической системы называется вектор, равный геометрической сумме количеств движения всех ее точек

Для количества движения механической системы можно получить более компактное выражение. Продифференцируем по времени выражение (21) для радиус-вектора центра масс, получим

После умножения обеих частей этой формулы на М для количества движения механической системы будем иметь

(35)

Импульсом силы за промежуток времени (0,t) называется вектор

(36)

Проекции импульса силы на оси координат вычисляются по формулам

Отметим, что в частном случае, когда вектор силы остается постоянным, выражение для импульса силы упрощается

Выведем далее формулу, выражающую теорему об изменении количества движения. Вычислим производную по времени от вектора количества движения механической системы

После подстановки полученного значения в выражение теоремы о движении центра масс (34) получим

Умножим последнее равенство на dt и вычислим интеграл от 0 до t от обеих частей полученного равенства, получим

(37)

где - количество движения системы в момент t ;

- количество движения системы в момент t=0 ;

- импульс внешней силы, действующей на k-ю точку системы.

Формула (37) выражает теорему об изменении количества движения механической системы:

Изменение количества движения механической системы за какой-либо промежуток времени равно геометрической сумме импульсов всех внешних сил, вычисленных за тот же промежуток времени.

Замечания

1. Равенство (37), выражающее теорему является векторным и при решении задач его следует записывать в проекциях на выбранные оси координат:

2. Эта теорема связывает следующие физические характеристики: массы, скорости, внешние силы и промежутки времени. Поэтому ее удобно использовать при решении задач, в которых перечень заданных и искомых величин соответствует этому набору.

3. Внутренние силы механической системы не могут изменить ее количество движения.

Следствие.

Если сумма проекций внешних сил на какую-либо ось Ox равна нулю, то есть то при движении системы проекция ее количества движения на эту ось остается неизменной:

Рассмотрим далее пример решения задачи.

Пример 5

Телу, находящемуся на гладкой наклонной плоскости, наклоненной под углом к горизонту, сообщили начальную скорость , направленную вверх вдоль наклонной плоскости. Определить, через какое время скорость тела уменьшится в 2 раза.

Решение

Выберем ось Ох, направленную вдоль наклонной плоскости в сторону движения тела. Изобразим тело в промежуточном положении и обозначим действующие на него внешние силы: силу тяжести и реакцию опорной гладкой поверхности (см. рис. 19). Запишем теорему об изменении количества движения в проекциях на ось Ох:

Рис. 19.

(38)

В условиях задачи где - искомое время, - заданная скорость в момент Подставим эти значения в (38) и поделим все члены полученного равенства на m, получим:

Отсюда находим искомое время: