Глава 4. Общие теоремы динамики

Теорема о движении центра масс

Выведем формулу, выражающую данную теорему. Запишем уравнения движения точек механической системы в векторной форме (см. (18))

Почленно сложим записанные равенства, получим

(33)

Продифференцируем дважды по времени формулу (21) для радиуса-вектора центра масс, получим:

Учитывая также, что в соответствии с теоремой об основных свойствах внутренних сил из (33) получим:

(34)

Формула (34) выражает теорему о движении центра масс, которая обычно формулируется в виде:

Центр масс механической системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена вся масса системы и к которой приложены все внешние силы.

Сделаем несколько замечаний, поясняющих физический смысл доказанной теоремы и ее практическое использование.

Замечания

1. Равенство (34) является векторным и при решении задач его следует записывать в проекциях на выбранные оси координат. Например, в проекциях на оси декартовой системы координат оно примет вид:

(34’)

2. С помощью этой теоремы можно детально изучать движение только одной точки механической системы – ее центра масс. Так как при поступательном движении твердого тела все его точки, в том числе и центр масс, движутся одинаково, то с помощью этой теоремы можно изучать поступательное движение твердого тела. Поэтому уравнения (34’) называют еще дифференциальными уравнениями поступательного движения тела.

3. Внутренние силы механической системы не могут изменить движения ее центра масс.

Из теоремы о движении центра масс можно получить следствия, являющиеся частными случаями этой теоремы.

Следствие 1. Если проекция, например на ось Ох, главного вектора внешних сил, действующих на систему, равна нулю, т. е. то из (34’) следует, что проекция скорости центра масс на эту ось является постоянной величиной:

Следствие 2. Если дополнительно к в начальный момент то при движении механической системы координата остается неизменной:

Пример 4

Механическая система состоит из бруска массой , опирающегося на гладкую горизонтальную плоскость, и шарнирно соединенного с ним в точке А однородного стержня АВ длиной l=АВ=1м и массой Точка А является центром масс бруска. В начальный момент система находилась в состоянии покоя и стержень АВ занимал горизонтальное положение. Требуется определить перемещение бруска к моменту времени, когда стержень займет вертикальное положение (см. рис. 18).

Рис. 18.

Решение

Внешними силами, действующими на тела системы, будут силы тяжести и нормальная реакция гладкой опорной плоскости Направим ось x вдоль опорной плоскости, начало координат совместим с начальным положением точки А. Тогда Учитывая, что в начальный момент времени система находилась в покое, из второго следствия получим Выразим координату для начального и конечного положений системы

Приравнивая полученные значения, найдем искомое перемещение бруска: