Частотные характеристики типовых звеньев

Методическое пособие

«Элементарные звенья»

Содержание

1. Понятие звена. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Усилительное звено. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3. Интегрирующее звено. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4. Апериодическое звено. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5. Колебательное звено. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

6. Дифференцирующее звено. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

7. Запаздывающее звено. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

8. Частотные характеристики типовых звеньев. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

8.1. Частотные характеристики усилительного звена. . . . . . . . . . . . . . . . 22

8.2. Частотные характеристики интегрирующего звена. . . . . . . . . . . . . . 23

8.3. Частотные характеристики апериодического звена. . . . . . . . . . . . . . 25

8.4. Частотные характеристики колебательного звена. . . . . . . . . . . . . . . . 28

8.5. Частотные характеристики дифференцирующего звена. . . . . . . . . . . 35

8.6. Частотные характеристики запаздывающего звена. . . . . . . . . . . . . . . 36

9. Характеристики элементарных звеньев в табличной форме. . . . . . . . . . .38

10. Использованная литература. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Понятие звена

Звеном системы называется ее элемент (часть), об­ладающий определенными свойствами в динамическом отношении. Звенья систем регулирования могут иметь самую разнообразную физическую основу (электриче­ские, гидравлические, механические и т. п.) и конструк­тивное выполнение, но при этом относиться к одной функциональной группе. Соотношение входного и выход­ного сигналов в звеньях одной и той же группы описы­вается одинаковыми дифференциальными уравнениями. Это свидетельствует о том, что такие звенья имеют оди­наковые динамические свойства.

Так как процесс автоматического регулирования оп­ределяется только динамическими свойствами системы (а следовательно, и ее звеньев), то в основу классифи­кации звеньев положены их динамические свойства. Та­кая классификация звеньев по виду описывающих эти звенья дифференциальных уравнений дает возможность разработать стройную теорию АСР и единые методы их исследования и расчета, не зависящие от различий в физических процессах и конструктивных решениях, принятых в основу при проектировании АСР и ее элементов.

Простейшими типовыми звеньями АСР являются: усилительное, интегрирующее, апериодическое, колеба­тельное, дифференцирующее и запаздывающее звенья.

Усилительное звено

В усилительном звене выходная величина в каждый момент времени пропорциональна входной величине, т. е.

xвых = kxвх. (1)

[Здесь и в дальнейшем для сокращения записи выраже­ния xвых(t) и xвх(t) записываются как xвых и xвх. Пере­ходные процессы рассматриваются при нулевых началь­ных условиях.]

Коэффициент пропорциональности k называется ко­эффициентом усиления или коэффициентом передачи звена.

Уравнение усилительного звена (1) алгебраиче­ское. Это свидетельствует о том, что усилительное зве­но передает сигнал мгновенно, без динамических пере­ходных процессов и искажений.

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru

Рис. 1. Передаточная функция и переход­ный процесс усилительного звена.

На рис. 1 представлен характер изменения по вре­мени выходной величины усилительного звена при пода­че на его вход постоянной входной величины x0вх.

Передаточная функция звена имеет вид:

W(p) = k. (2)

Примерами усилительных звеньев могут служить ме­ханические передачи, потенциометрические датчики, безинерционные усилители (например, электронные) и т. п.

Интегрирующее звено

Выходная величина интегрирующего звена пропор­циональна интегралу входной величины, т. е.

xвых = k Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru .

Дифференциальное уравнение интегрирующего зве­на имеет вид:

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru . (3)

Коэффициент k называется коэффициентом усиления или передачи звена по скорости. Он численно равен ско­рости изменения выходной величины при единичном зна­чении входной величины.

Преобразовав дифференциальное уравнение звена (3) по Лапласу, получим:

pXвых(p) = kXвх(p),

откуда находим передаточную функцию звена:

W(p) = k/p. (4)

Если входная и выходная величины имеют одинако­вую размерность, то из выражения (3) следует, что коэффициент k имеет размерность сек-1. В этом случае дифференциальное уравнение (3) удобнее записывать в виде

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru ,

где T = 1/k.

При этом передаточная функция звена примет вид:

W(p)= Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru . (5)

Величина T называется постоянной времени интегри­рующего звена.

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru

Рис. 2. Передаточная функция и переходный процесс интегрирующего звена.

На рис. 2 представлен характер изменения выход­ной величины интегрирующего звена при подаче на его вход постоянной входной величины x0вх. Тогда из уравнения (4) получим:

Xвых = ζ-1[Xвых(p)] = ζ-1[kx0вх Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru ] = kx0вхt.

Примером интегрирующего звена может служить гидравлический исполнительный механизм (рис. 3,а), который находит широкое применение в Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru современных системах регулирования. Входной вели­чиной для него является перепад давлений ΔPвх = Р1 – P2, а выход­ной - перемещение ΔSвых поршня.

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru Сила давления на поршень равна fп = (P01 – P02)F, где F - эф­фективная площадь поршня.

Если пренебречь трением и инерцией поршня и связанных с ним масс, то можно считать, что это усиление целиком расходуется на преодоление внешней нагрузки, приложенной к поршню (сопротив­ление перемещению регулирую­щего органа, заслонки, шибера и т. п.):

fв.н = (P01 – P02)F. (6)

При небольших отклонениях от состояния равновесия расходы жидкости через вентили В1 и В2 пропорциональны перепадам дав­лений на вентилях

Q1 = K1(P1 – P01); Q2 = K2(P02-P2). (7)

Так как Q1 = Q2, то решив уравнения (6) и (7), получим:

P01 = Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru . (8)

Поступление жидкости за бесконечно малый отрезок времени в левую полость исполнительного механизма при расходе Q1 со­ставляет Q1dt. За счет этого поршень переместится на величину dΔSвых.

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru Так как объем поступившей жидкости равен приращению объема левой полости исполнительного механизма, то можно записать:

Qldt = FdΔSвых.

или

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru .

Подставив из (7) значение Q1, а из (8) значение Р01, по­лучим:

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru .

В случае, если можно пренебречь величиной внешней нагрузки fв.н, уравнение примет вид:

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru ,

где

k = Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru

- коэффициент передачи интегрирующего звена, величину которого можно изменять в широких пределах с помощью вентилей В1 и В2.

Таким образом, дифференциальное уравнение гидравлического исполнительного механизма имеет вид (3) и, следовательно, в ди­намическом отношении он является интегрирующим звеном.

Другим примером интегрирующего звена может служить элек­тродвигатель постоянного тока Д (рис. 3,б) с независимым воз­буждением и малой электромеханической инерцией, если входной величиной является напряжение Uвх, а выходной - угол поворота якоря βвых. В этом случае при изменении напряжения якоря на величину ΔUвх изменение числа оборотов двигателя Δn в единицу времени будет пропорционально ΔUвх:

Δn = K1 ΔUвх.

Увеличение угла поворота двигателя dΔβвых за бесконечно ма­лый отрезок времени dt пропорционально изменению числа оборотов за этот отрезок времени: dΔβвых = K2 Δn dt, или d(Δβвых)/dt = K2Δn.

Подставив значение Δn, получим дифференциальное уравнение интегрирующего звена:

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru .

Коэффициент передачи рассмотренного интегрирующего звена k = К1К2 может изменяться путем изменения величины напряжения Uо.в, подаваемого на обмотку возбуждения двигателя.

Апериодическое звено

Апериодическому звену соответствует дифференци­альное уравнение

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru . (9)

Перейдя к изображениям, получим:

ТрХвых(р) + Хвых(р) = kXвх(p).

Передаточная функция звена

W(p) = Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru . (10)

Определим характер изменения выходной величины при подаче на вход в виде скачка входной величины x0вх.

Дифференциальное уравнение (9) достаточно просто решается обычным методом. Однако в качестве примера найдем его решение через передаточную функ­цию звена.

По таблицам преобразования Лапласа находим изображение входной величины:

Хвх(p) = ζ [x0вх] = x0вх/p.

Изображение выходной ве­личины

Xвых(p) = W(p)Xвх(p) (11)

или

Xвых(p) = Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru .

Выразим оригинал функции xвых через ее изображе­ние, вынеся постоянную величину за знак преобразо­вания Лапласа:

xвых = ζ-1[Xвых(p)] = Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru .

Полагая 1/T = α, по таблицам преобразований Лапла­са находим:

xвых = kx0вх(1 - Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru ). (12)

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru

Рис. 4. Передаточная функция и переходные про­цессы апериодического звена при различных значе­ниях постоянной времени.

Переходный процесс апериодического звена пред­ставлен на рис. 4. Кривые переходных процессов име­ют вид экспонент, т. е. время, необходимое для того, чтобы выходная величина xвых достигла установившего­ся значения kx0вх, теоретически бесконечно велико.

В связи с этим апериодическое звено часто называют инерционным звеном первого порядка.

Величина Т имеет размерность времени и называется постоянной времени. На рис. 4 представлены переход­ные процессы апериодического звена при различных значениях постоянной времени.

Из кривых переходного процесса ясен физический смысл постоянной времени звена. Она может быть определена как время, в течение которого выходная величи­на достигла бы своего нового установившегося значения, если бы она изменялась с постоянной скоростью, равной скорости изменения ее в начальный момент времени.

Постоянная времени определяет динамические свой­ства звена. Чем она больше, тем медленнее протекает переходный процесс в звене, и наоборот. В частности, при T = 0 процесс протекает в звене мгновенно и инерци­онное звено превращается в безинерционное усили­тельное.

Следует отметить также, что при t = T значение выходной ве­личины составляет 63% нового установившегося значения.

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru

Рис. 5. Графическое определение по­стоянной времени апериодического звена.

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru Постоянная времени звена геометрически (рис. 5) опреде­ляется как проекция на ось вре­мени отрезка касательной к экс­поненте, заключенного между точкой касания и точкой пере­сечения касательной с линией установившегося значения выходной величины. Длина этой проекции одинакова для касательных, проведенных в любой точке экспоненты (точки O и O΄).

На рис. 6 приведены примеры апериодических звеньев. Вход­ной величиной этих звеньев является напряжение uвх, а выход­ной - напряжение uвых, снимаемое с конденсатора С.

Рис 6. Примеры апериодических звеньев.
Согласно второму закону Кирхгофа для электрической цепи по рис. 6,а можно записать:

uвх = iR1 + uвых; uвых = Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru ; uвых = Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru ,

откуда

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru ; Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru .

По первому закону Кирхгофа

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru .

Подставив значение i в выражение для uвх, получим:

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru .

Преобразовав дифференциальное уравнение по Лапласу, полу­чим:

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru ,

откуда находим передаточную функцию звена:

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru ,

где

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru ; Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru .

Таким образом, электрическая цепь, изображенная на рис. 6,а, является апериодическим звеном.

Коэффициент передачи звена регулируется величинами сопро­тивлений R1 и R2. При этом пропорционально коэффициенту пере­дачи изменяется и постоянная времени.

При R2=∞ получаем электрическую цепь по рис. 6,б. Коэффи­циент передачи, постоянная времени и передаточная функция в этом случае будут равны:

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru ; Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru ; Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru .

Постоянная времени изменяется путем изменения величины со­противления R.

Электрическая цепь, представленная на рис. 6,б, является апе­риодическим звеном с коэффициентом передачи, равным единице.

Колебательное звено

Колебательное звено имеет дифференциальное урав­нение

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru . (13)

Передаточная функция звена

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru . (14)

Характер переходного процесса звена или соедине­ния, определяемого дифференциальным уравнением (13), зависит от расположения корней его характери­стического уравнения

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru (15)

на комплексной плоскости.

Корни характеристического уравнения (15)

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru (16)

С учетом (14), (11) и таблицы преобразований Лапласа, находим изображе­ние выходной величины:

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru . (17)

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru В зависимости от знака подкоренного выражения (16) при нахождении оригинала по его изображению (17) могут возникнуть три случая:

1. При T1/T2 > 2 оба корня характеристического урав­нения вещественные отрицательные: р1 = - α1, р2 = - α2. С учетом этого запишем выражение (17) в виде

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru .

По этому изображению согласно таблицы преобра­зований Лапласа находим оригинал:

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru . (18)

Таким образом, при T1/T2 > 2 переходный процесс оп­ределяется двумя экспонентами и в этом случае диф­ференциальное уравнение (13) характеризует переход­ные процессы соединения, состоящего из двух соединен­ных последовательно апериодических звеньев. Это видно также непосредственно из передаточной функции соеди­нения, если ее записать в виде

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru

или

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru ,

где T3=1/α1 и T4=1/ α2.

Следовательно, при T1/T2 > 2 нет необходимости вво­дить понятия нового типового звена, хотя на практике часто такое соединение называют инерционным звеном второго порядка.

2. При T1/T2 = 2 характеристическое уравнение имеет два одинаковых вещественных отрицательных корня

p1 = p2 = - α = - 1/T2.

С учетом этого запишем выражение (17) в виде

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru .

По таблице преобразования Лапласа находим:

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru . (19)

Переходный процесс периодический. Так как при этом передаточная функция (14) может быть представлена в виде

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru ,

где T = 1/α, то при T1/T2 = 2, так же как и при T1/T2 > 2, нет необходимости вводить понятия нового типового звена.

3. При T1/T2 < 2 характеристическое уравнение имеет два сопряженных комплексных корня

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru ,

где

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru ; Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru . (20)

С учетом этого запишем выражение (17) в виде

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru . (21)

Обозначив в (21)

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru и Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru ,

найдем оригиналы:

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru и Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru .

Находим характер из­менения выходной величины звена:

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru ,

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru или Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru . (22)

Таким образом, переходный процесс звена при T1/T2 < 2, характеризуемый уравнением (22), периоди­чен и представляет собой затухающую синусоиду, ам­плитуда которой убывает от полупериода к полупериоду по экспонен­циальному закону Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru . В этом случае звено нель­зя представить в виде соединения из других звеньев. В связи с этим элементарное звено, дина­мические качества кото­рого определяются диф­ференциальным уравне­нием (13), при T1/T2 < 2 относится к типовым звеньям и называется колебательным звеном.

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru Переходные процессы колебательного звена в зависимости от отношения T1/T2 представлены на рис. 7.

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru Как следует из выражения (22), мнимая составляю­щая ω корней характеристического уравнения является круговой частотой колебательного звена. Период коле­баний Т = 2π/ω. Оценкой переходного процесса колеба­тельного звена служит степень затухания колебаний. Степенью затухания ψ называется отношение разности двух соседних амплитуд одного знака (взятых относи­тельно среднего положения kx0вх) к первой из них (рис. 8,а):

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru . (23)

Как следует из рис. 8,а,

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru , Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru .

Так как t2 – t1 = T, то подставив значения A1 и A2 в (23), получим:

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru . (24)

Чем ближе к единице величина ψ, тем быстрее зату­хают колебания переходного процесса.

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru Степень затухания зависит от отношения веществен­ной составляющей комплексных корней характеристиче­ского уравнения α к их мнимой составляющей ω. В свою очередь это отношение определяется отношением посто­янных времени T1/T2:

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru .

4. При T1 = 0 T1/T2 = 0 вещественная и мнимая со­ставляющие корней характеристического уравнения бу­дут равны:

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru ; Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru .

Подставив эти зна­чения в выражение (22) для переходного процесса колебательно­го звена, получим

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru . (25)

Такое колебатель­ное звено называется консервативным.

Переходный процесс будет в этом случае не­затухающим колеба­тельным (так как ψ = 0) с частотой ω0 = 1/T2, периодом T = 2πT2 и амплитудой A=kx0вх (рис.8,б).

Чем больше T1 и меньше Т2, тем больше степень затухания колебательного звена.

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru Следовательно, для уменьшения колебательности си­стем регулирования в колебательных звеньях необходи­мо увеличивать постоянную времени T1 и уменьшать T2. Однако это целесообразно делать лишь и определенных пределах, так как при чрезмерном увеличении отноше­ния T1/T2 переходный процесс затягивается (см. рис. 7) и время регулирования увеличивается.

На рис. 9 даны примеры колебательных звеньев.

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru Входной величиной мембранного пневматического клапана (рис. 9,а) является давление ΔРвх, а выходной – перемещение ΔSвых штока клапана (отсчет ве­дется в малых приращениях от равновесного состояния).

Если нельзя пренебречь инер­цией подвижной системы клапана и силами трения, то условие равнове­сия сил, действующих на клапан, за­пишется как

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru .

Входное усилие при площади F мембраны равно:

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru .

Сила инерции fи равна произве­дению массы m подвижной системы на ускорение a = d2(ΔSвых)/dt2:

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru .

Учитывая только силу вязкого трения, которая пропорциональна скорости перемещения подвижной системы, получим:

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru .

Сила противодействия пружины пропорциональна ее сжатию

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru ,

где с - жесткость пружины.

Подставив значения сил в уравнение равновесия, получим:

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru .

В настоящее время принято составлять дифференциальные урав­нения звеньев в безразмерных (относительных) единицах.

Безразмерной единицей давления будем считать отношение ΔРвх к максимальной величине давления Рмакс на мембрану, при котором клапан полностью закрывается; безразмерной единицей перемещения штока клапана примем отношение ΔSвых к полному ходу Sмакс

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru ; Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru ,

откуда

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru ; Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru ;

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru .

Подставив эти значения в дифференциальное уравнение, полу­чим выражение его в безразмерных единицах:

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru .

С учетом того, что сSмакс = РмаксF, можно записать:

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru .

Таким образом, при учете инерции подвижной системы и вяз­кого трения мембранный пневматический клапан при b/ Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru <2 яв­ляется колебательным звеном.

Постоянные времени и коэффициент передачи его равны:

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru ; Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru ; Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru .

Из этого примера следует, что в элементах систем регулирования вязкое трение не всегда является нежелательным. В данном случае достаточно высокое вязкое трение обеспечивает устойчивую работу клапана, так как постоянная времени T1 пропорциональна коэффи­циенту вязкого сопротивления b.

Практически, когда силы вязкого трения в механических элемен­тах недостаточны, применяют дополнительное демпфирование под­вижной системы, т. е. вводят дополнительную силу, противодействую­щую перемещению подвижной системы и пропорциональную скорости этого перемещения.

Если пневматический клапан применяется в системе с инерцион­ным объектом, в котором переходные процессы протекают медленно, т. е. скорости изменения рвх и sвых небольшие, то величина ускоре­ния d2Sвых/dt2 с точностью, достаточной для практических расче­тов, может быть принята равной нулю. Тогда дифференциальное уравнение клапана примет вид:

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru .

Следовательно, в этом случае можно пренебречь инерционностью подвижных частей пневматического клапана и представлять его в ди­намическом отношении как апериодическое звено с передаточной функцией; определяемой формулой (10).

Па рис. 9,б приведена электрическая схема, переходный про­цесс которой также описывается дифференциальным уравнением вто­рого порядка.

Постоянные времени и коэффициент передачи в этом случае равны:

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru ;

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru ;

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru .

При T1/T2 < 2 схема представляется колебательным звеном. Все три параметра схемы выражаются через одни и те же величины че­тырех сопротивлений и двух емкостей. Это является ее недостатком, так как параметры настройки, определяющие динамические свойства звена, взаимозависимы. Поэтому установка оптимальной величины одного из трех параметров настройки в большинстве случаев не дает возможности получить оптимальные значения также для двух осталь­ных параметров. Кроме этого, такая настройка трудоемка и требует высокой квалификации наладчика.

Дифференцирующее звено

Выходная величина дифференцирующего звена про­порциональна производной по времени от входной вели­чины

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru . (26)

Передаточная функция

W(p)=kp. (27)

Из выражения (26) следует, что выходная величина дифференцирующего звена пропорциональна скорости изменения входной величины.

Если входная и выходная величины имеют одинако­вую размерность, то коэффициент k измеряется в секун­дах. В этом случае его принято обозначать через Т и называть постоянной времени дифференцирующего звена.

Примером дифференцирующего звена может служить тахогенератор, если за его входную величину принять угол поворота его вала βвх, а за выходную величину - напряжение uвых тахогенератора, так как последнее пропорционально угловой скорости вращения ωвх, кото­рая в свою очередь равна производной от угла поворота:

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru .

Запаздывающее звено

Выходная величина в запаздывающем звене точно повторяет входную величину, но с некоторым запаздыва­нием по времени τ:

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru .

Для определения передаточной функции звена най­дем изображение выходной величины по Лапласу:

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru .

Введя новую переменную λ = t - τ, запишем:

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru .

Вынеся постоянную величину е- за знак интеграла и учитывая, что дифференциал dτ постоянной величины равен нулю, получим:

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru .

Так как интеграл в этом вы­ражении является изображением Хвх(р) функции xвx(λ) = xвх(t - τ), получим:

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru .

Таким образом, запаздывающее звено имеет переда­точную функцию

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru . (28)

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru Переходный процесс запаздывающего звена при скачкообразном изменении входной величины на х0вх представлен на рис. 10.

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru Типичными примерами запаздывающих звеньев явля­ются поточно-транспортные устройства, если за входную величину принято поступление сырья, продукции и т. д. на транспортер, а за выходную - съем их с транспортера.

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru На рис. 11 пред­ставлено устройство подачи продукта в объ­ект регулирования. Продукт из загрузоч­ного бункера 1 посту­пает на транспортер 3, который ссыпает его в приемный бункер 4 регулируемого объекта. Количество поступающего продукта на транспортер регули­руется шибером 2.

При рабочей длине транспортера l и ско­рости его перемещения v время запаздывания звена

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru .

Передаточная функция

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru .

Методическое пособие

«Элементарные звенья»

Содержание

1. Понятие звена. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Усилительное звено. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3. Интегрирующее звено. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4. Апериодическое звено. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5. Колебательное звено. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

6. Дифференцирующее звено. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

7. Запаздывающее звено. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

8. Частотные характеристики типовых звеньев. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

8.1. Частотные характеристики усилительного звена. . . . . . . . . . . . . . . . 22

8.2. Частотные характеристики интегрирующего звена. . . . . . . . . . . . . . 23

8.3. Частотные характеристики апериодического звена. . . . . . . . . . . . . . 25

8.4. Частотные характеристики колебательного звена. . . . . . . . . . . . . . . . 28

8.5. Частотные характеристики дифференцирующего звена. . . . . . . . . . . 35

8.6. Частотные характеристики запаздывающего звена. . . . . . . . . . . . . . . 36

9. Характеристики элементарных звеньев в табличной форме. . . . . . . . . . .38

10. Использованная литература. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Понятие звена

Звеном системы называется ее элемент (часть), об­ладающий определенными свойствами в динамическом отношении. Звенья систем регулирования могут иметь самую разнообразную физическую основу (электриче­ские, гидравлические, механические и т. п.) и конструк­тивное выполнение, но при этом относиться к одной функциональной группе. Соотношение входного и выход­ного сигналов в звеньях одной и той же группы описы­вается одинаковыми дифференциальными уравнениями. Это свидетельствует о том, что такие звенья имеют оди­наковые динамические свойства.

Так как процесс автоматического регулирования оп­ределяется только динамическими свойствами системы (а следовательно, и ее звеньев), то в основу классифи­кации звеньев положены их динамические свойства. Та­кая классификация звеньев по виду описывающих эти звенья дифференциальных уравнений дает возможность разработать стройную теорию АСР и единые методы их исследования и расчета, не зависящие от различий в физических процессах и конструктивных решениях, принятых в основу при проектировании АСР и ее элементов.

Простейшими типовыми звеньями АСР являются: усилительное, интегрирующее, апериодическое, колеба­тельное, дифференцирующее и запаздывающее звенья.

Усилительное звено

В усилительном звене выходная величина в каждый момент времени пропорциональна входной величине, т. е.

xвых = kxвх. (1)

[Здесь и в дальнейшем для сокращения записи выраже­ния xвых(t) и xвх(t) записываются как xвых и xвх. Пере­ходные процессы рассматриваются при нулевых началь­ных условиях.]

Коэффициент пропорциональности k называется ко­эффициентом усиления или коэффициентом передачи звена.

Уравнение усилительного звена (1) алгебраиче­ское. Это свидетельствует о том, что усилительное зве­но передает сигнал мгновенно, без динамических пере­ходных процессов и искажений.

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru

Рис. 1. Передаточная функция и переход­ный процесс усилительного звена.

На рис. 1 представлен характер изменения по вре­мени выходной величины усилительного звена при пода­че на его вход постоянной входной величины x0вх.

Передаточная функция звена имеет вид:

W(p) = k. (2)

Примерами усилительных звеньев могут служить ме­ханические передачи, потенциометрические датчики, безинерционные усилители (например, электронные) и т. п.

Интегрирующее звено

Выходная величина интегрирующего звена пропор­циональна интегралу входной величины, т. е.

xвых = k Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru .

Дифференциальное уравнение интегрирующего зве­на имеет вид:

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru . (3)

Коэффициент k называется коэффициентом усиления или передачи звена по скорости. Он численно равен ско­рости изменения выходной величины при единичном зна­чении входной величины.

Преобразовав дифференциальное уравнение звена (3) по Лапласу, получим:

pXвых(p) = kXвх(p),

откуда находим передаточную функцию звена:

W(p) = k/p. (4)

Если входная и выходная величины имеют одинако­вую размерность, то из выражения (3) следует, что коэффициент k имеет размерность сек-1. В этом случае дифференциальное уравнение (3) удобнее записывать в виде

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru ,

где T = 1/k.

При этом передаточная функция звена примет вид:

W(p)= Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru . (5)

Величина T называется постоянной времени интегри­рующего звена.

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru

Рис. 2. Передаточная функция и переходный процесс интегрирующего звена.

На рис. 2 представлен характер изменения выход­ной величины интегрирующего звена при подаче на его вход постоянной входной величины x0вх. Тогда из уравнения (4) получим:

Xвых = ζ-1[Xвых(p)] = ζ-1[kx0вх Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru ] = kx0вхt.

Примером интегрирующего звена может служить гидравлический исполнительный механизм (рис. 3,а), который находит широкое применение в Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru современных системах регулирования. Входной вели­чиной для него является перепад давлений ΔPвх = Р1 – P2, а выход­ной - перемещение ΔSвых поршня.

Частотные характеристики типовых звеньев - student2.ru Сила давления на поршень равна fп = (P01 – P02)F, где F - эф­фективная площадь поршня.

Если пренебречь трением и инерцией поршня и связанных с ним масс, то можно считать, что это усиление целиком расходуется на преодоление внешней нагрузки, приложенной к поршню (сопротив­ление перемещению регулирую­щего органа, заслонки, шибера и т. п.):

fв.н = (P01 – P02)F. (6)

При небол

Наши рекомендации