Стационарные случайные процессы (слабая стационарность).
Случайный процесс x(t) (скалярный или векторный), у которого математическое ожидание mx(t) постоянно, а корреляционная функция зависит не от самих значений аргументов t1 и t2, а от их разности
, т. е.
, называют слабо стационарным случайным процессом, или стационарным в широком смысле.
Дисперсия стационарного случайного процесса Dx = Rx(0) постоянна. Интервал , за пределами которого корреляционная функция
не превосходит некоторую установленную малую величину, называют временем корреляции процесса x(t). Величина
является простейшей количественной мерой степени коррелирования значений случайного процесса по времени.
Эргодическое свойство. Для определения математического ожидания и корреляционной функции стационарного случайного процесса по экспериментальным данным следует пользоваться формулами математической статистики, подставляя в них значения различных реализаций процесса в соответствующие моменты времени. Однако в некоторых случаях результаты расчетов не изменятся, если в эти формулы подставлять значения
одной достаточно длинной реализации
случайного процесса x(t) в различные моменты времени. Про стационарные случайные процессы, для которых такая замена справедлива, говорят, что они обладают эргодическим свойством.
Необходимым и достаточным условием эргодичности стационарного случайного процесса является выполнение равенства [32]
а достаточным — выполнение более простого условия
Для расчета математического ожидания тх и корреляционной функции стационарного случайного процесса x(t), обладающего свойством эргодичности, можно пользоваться соотношениями
где - одна длинная реализация процесса.
При проведении расчетов на ЦВМ эти интегралы заменяют конечными суммами
Белый шум.Так, в рамках корреляционной теории определяют случайный процесс x(t), значения которого x(t1) и x(t2) некоррели-рованы при сколь угодно малом . Можно показать [32], что некоррелированность значений случайного процесса x(t) в моменты t1 и t2 при сколь угодно малом
может быть обеспечена лишь в том случае, когда его корреляционная функция
имеет вид
где - дельта-функция в точке t = t1.
Множитель N(t1) называют интенсивностью белого шума, которая определяется как предел
У стационарного белого шума интенсивность N постоянна во времени. Если N=1, то стационарный белый шум называют стандартным. Из определения дельта-функции следует, что дисперсия белого шума Dx(t) =Rx(t, t) равна бесконечности. Это означает, что физически белый шум не может быть реализован точно и может рассматриваться лишь как абстракция — результат предельного перехода коррелированного случайного процесса при .
Векторный белый шум x(t), состоящий из п компонент, характеризуется матрице» интенсивностей N(t) = [Nij(t)]n×n. Диагональные элементы , этой матрицы суть интенсивности отдельных составляющих векторного белого шума, а внедиагональные
- взаимные интенсивности, характеризующие корреляцию между различными составляющими векторного белого шума в один и тот же момент времени. Наиболее часто рассматривают случай, когда все составляющие векторного белого шума некоррелированные. В этом случае матрица N(t) диагональная.
Понятие белого шума находит широкое применение при решении многих задач статистического анализа и оптимизации управления движением летательных аппаратов.