Корреляционная теория случайных процессов
При практических расчетах для описания случайных процессов, как и для описания случайных величин, часто пользуются их моментными характеристиками.
Простейшей моментной характеристикой случайного процесса x(t) является математическое ожидание mx(t), представляющее собой неслучайную функцию времени t. Если известна одномерная плотность вероятности р(х, t), то mx(t) можно рассчитать для каждого t с помощью формулы, аналогичной (1.12):
Математическое ожидание mx(t) характеризует лишь среднее течение случайного процесса x(t) по времени. Оно не содержит в себе информацию ни о том, каково рассеивание возможных реализаций процесса x(t) относительно его математического ожидания mx(t), ни о степени статистической взаимосвязи (корреляции) возможных реализаций процесса в различные моменты времени.
Для описания вероятностной зависимости между возможными реализациями случайного процесса x(t) в различные моменты времени используют его корреляционную функцию. Так называемые неслучайную функцию Rx(t1, t2) двух неслучайных аргументов t1 и t2, определяемую следующим образом:
где ;
- центрированные случайные величины, соответствующие x(t) при t=t1 и t=t2.
Таким образом, корреляционная функция Rx(t1, t2) случайного процесса x(t)—это взаимный корреляционный момент между случайными величинами
и
, зависящий от аргументов t1 и t2.
Если совместная двумерная плотность случайного процесса x(t) известна, то корреляционную функцию данного процесса можно определить с помощью соотношения, аналогичного (1.16):
По имеющимся реализациям оценку
корреляционной функции можно рассчитать с помощью формулы математической статистики
Если аргументы t1 и t2 в корреляционной функции совпадают, т. е. t1 и t2=t, то, учитывая предельное свойство (1.35), из соотношения (1.44) получаем
Корреляционная функция при совпадающих аргументах есть не что иное, как дисперсия случайной величины х, получаемой из случайного процесса x(t) путем фиксации аргумента t. Дисперсия Dx(t) характеризует рассеивание возможных реализаций процесса x(t) в окрестности его математического ожидания mx(t).
Корреляционную функцию , отнесенную к произведению
, называют нормированной корреляционной функцией
. При t1 и t2=t нормированная корреляционная функция rx(t) равна единице. Равенство нулю
или
указывает на отсутствие корреляции между возможными реализациями случайного процесса x(t) в моменты t1 и t2. Как правило, по мере увеличения интервала
корреляция между возможными реализациями случайного процесса x(t) убывает. Корреляционная функция
процесса при этом меняется от
до нуля, a
- от 1 до 0.
Результат усреднения в (1.43) не зависит от того, в какой последовательности рассматриваются и
, поэтому корреляционная функция не меняется при перемене аргументов местами:
.
Изучение свойств случайных процессов на уровне их первых двух моментов (математического ожидания mx(t) и корреляционной функции называют корреляционной теорией случайных процессов. В рамках корреляционной теории случайный процесс x(t) описывается полностью, если этот процесс — гауссовский.
Корреляционная теория распространяется и на векторные случайные процессы. Если x(t)—векторный процесс, объединяющий п компонент , то в рамках корреляционной теории этот процесс описывается вектором математических ожиданий
и матричной корреляционной функцией
где — центрированные случайные векторы. Диагональные элементы
, матричной корреляционной функции называют автокорреляционными функциями соответствующих компонент векторного случайного процесса x(t), а внедиагональные
- взаимными корреляционными функциями компонент
и
.
При t1 = t2=t матричная корреляционная функция векторного случайного процесса x(t) обращается в его корреляционную матрицу Kx(t), характеризующую вероятностную зависимость между компонентами вектора х в момент времени t.