Метод наименьших квадратов для однофакторной модели.

Допустимое значение y связано с координатами x уравнением вида:

Метод наименьших квадратов для однофакторной модели. - student2.ru

Имеем ряд значений:

N x y
-2
-1

Необходимый расчет коэффициентов в однофакторной модели.

Система нормальный уравнений для однофакторного случая будет иметь вид:

Метод наименьших квадратов для однофакторной модели. - student2.ru

Метод наименьших квадратов для однофакторной модели. - student2.ru

Если все подсчитать, то получится: b0=2, b1=1 → получаем уравнение:

Метод наименьших квадратов для однофакторной модели. - student2.ru

Запишем в матричной форме. Имеем 3 упорядоченных множества:

Первое – множество условного опыта

Второе – результат опыта

Третье – коэффициенты

Метод наименьших квадратов для однофакторной модели. - student2.ru ; Метод наименьших квадратов для однофакторной модели. - student2.ru ; Метод наименьших квадратов для однофакторной модели. - student2.ru

Все элементы приведенных матриц упорядоченные: X и Y - по номерам опытов, B - по номерам коэффициентов, которые соответствуют номерам элементов, на основании исходных данных систему из пяти уравнений можно записать в матричном виде:

Метод наименьших квадратов для однофакторной модели. - student2.ru

Метод наименьших квадратов для однофакторной модели. - student2.ru

Размеры должны быть согласованные.

Система квадратных уравнений методом наименьших квадратов имеет вид:

Метод наименьших квадратов для однофакторной модели. - student2.ru

Метод наименьших квадратов для однофакторной модели. - student2.ru

В матричном виде она будет как:

Метод наименьших квадратов для однофакторной модели. - student2.ru

Умножим обе части на XT:

Метод наименьших квадратов для однофакторной модели. - student2.ru

Метод наименьших квадратов для однофакторной модели. - student2.ru

Метод наименьших квадратов для однофакторной модели. - student2.ru

Для полученной системы нормальных уравнений нужно произведение матриц умножить на Метод наименьших квадратов для однофакторной модели. - student2.ru , которая представляет собой матрицу условий опыта, в которой поменяли местами столбцы и строки.

Метод наименьших квадратов для однофакторной модели. - student2.ru

Метод наименьших квадратов для однофакторной модели. - student2.ru

Метод наименьших квадратов для однофакторной модели. - student2.ru

Метод наименьших квадратов для однофакторной модели. - student2.ru

Метод наименьших квадратов для однофакторной модели. - student2.ru

Не все матрицы имеют обратную.

Взвешенный метод наименьших квадратов

Статистический анализ

Дублирование опытов повышает точность эксперимента данных и надежность полученных моделей.

Различают равномерное и неравномерное дублирование.

Равномерное дублирование – это когда в каждой точке плана производится одинаковое число опытов, то есть каждой строчке плана соответствует одинаковое число значение уi.

Если не делать различия между этими значениями, то это эквивалентно увеличению числа строк в матрице «весов»

P=En

Е- единичная матрица

n- число измерений в каждой точке

P= Метод наименьших квадратов для однофакторной модели. - student2.ru

С учетом матрицы весов решение системы нормальных уравнений имеет вид

Метод наименьших квадратов для однофакторной модели. - student2.ru

Для дисперсии адекватности

Метод наименьших квадратов для однофакторной модели. - student2.ru

Метод наименьших квадратов для однофакторной модели. - student2.ru дисперсия воспроизводимости.

Проверяется значимость коэффициентов Метод наименьших квадратов для однофакторной модели. - student2.ru

Таким образом, для случая статического анализа коэффициентов с равнопеременным дублированием опыта применяется та же схема обработки результатов, но учитывающая усреднение значения У.

Определим дисперсию адекватности и дисперсии коэффициентов, значимость коэффициентов уравнения регрессии.

Глава 9. Принятие решений после построения моделей.

Интерпретация результатов

Получено уравнение регрессии у=f(xi)

Y=b0+b1x1+b2x2+…+bkxk+bk+1x1x2+…+bk+m(xk-1xk)

1.Учет знаков при коэффициенте max

Интерпретация моде зависит от того, что мы определяем max или min функции y

2. Учитывается величина коэффициентов.

Их надо учитывать по силе воздействия на функцию отклика b2>b

Статистически не значимые факторы не рассматриваются. Следует учесть, что изменение интервалов варьируется, приводит к изменению коэффициентов регрессии, так как величина коэффициента пропорциональна соответствующему интервалу варьирования |bi|~|Ii|

Но коэффициенты могут изменять знак на обратный, если в ходе эксперимента случайно прошли max.

3. Построение уравнения регрессии для натуральных значений факторов. При этом изменяется величина всех коэффициентов и исчезает возможность их сравнения по величине.

Интерпретация взаимодействий неоднозначна, так как необходимо учитывать знаки основных эффектов. Причем если они различны, то следует исключить самый сложный эффект

y=b0+b1x1+...

Наши рекомендации