Дробный факторный эксперимент.

С увеличением числа факторов резко возрастает число точек плана, а следовательно число опытов, поэтому полный факторный план практически не применяется при к Дробный факторный эксперимент. - student2.ru 6, главная задача организация экспериментального исследования – это сокращение числа опытов для этого применяют дробные факторные планы вида ДФЭ2к-m (дробный факторный эксперимент).

Всякий факторный план, который содержит меньшее число факторов, чем полный план, называют дробным экспериментом или репликой.

Если число опытов в реплике кратно число уровней факторов, то реплика называется регулярной, иначе нерегулярной.

Пусть двухфакторный план и к=6, тогда полный факторный эксперимент 26=64, поэтому дробный факторный эксперимент 26-1=32, дробный факторный эксперимент 26-2=16.

Минимальная регулярная реплика.

В двухуровневом факторном плане число линейных эффектов равно l=к+1, поэтому минимальное число опытов в дробном факторном плане N=2к-m Дробный факторный эксперимент. - student2.ru l=к+1, пролагорифмируем и получим

к-m Дробный факторный эксперимент. - student2.ru

m Дробный факторный эксперимент. - student2.ru к- Дробный факторный эксперимент. - student2.ru ,

причем к и m – целые числа.

Генератор плана.

Возникает вопрос: «как формализовать выбор реплики?»

ПФЭ2k N=2k

ДФЭ2k-m N'=2k-m

Если k=3, то N=23=8

N X1 X2 X3 Yi
- - - Y1
+ - - Y2
- + - Y3
+ + - Y4
- - + Y5
+ - + Y6
- + + Y7
+ + + Y8

Дробный факторный эксперимент. - student2.ru

ДФЭ2k-m если k=3, то m=1 → N=4

Генератор плана: x3=x1∙x2 или x3= - x1∙x2

N X1 X2 X3
- - +
+ - -
- + -
+ + +
N X1 X2 X3
- - -
+ - +
- + +
+ + -

Смешивание эффектов.

Определяющий контраст.

Для построения первой реплики трехфакторного эксперимента мы воспользовались генератором плана вида x3=x1∙x2 , но квадрат фактора x3∙ x3=│ x3│= 1 = x1∙x2∙ x3, это значение принято называть определяющий контраст (I).

I = x1∙x2∙ x3 ≡ 1

С помощью определяющего контраста можно определить какие оценки полной факторной модели содержат смешивание эффектов.

Полный факторный план позволяет построить модель вида:

Y = b0+b1x1+b2x2+b3x3+b12x1x2+b13x1x3+b23x2x3+b123x1x2x3

A ДФЭ23-1 : Yʹ = b0+b1∙x1+ b2∙x2+ b3∙x3

Поэтому коэффициенты ДФЭ содержат в себе коэффициенты или оценки коэффициентов ПФЭ. Определить смешивание эффектов можно с помощью определяющего контраста плана.

b0 = b0x0+ b123x1x2x3

b0 = b0+ b123

b1= b1+ b23

b2= b2+ b13

b3= b3+ b12

К сожалению все значительно усложняется при увеличении количества факторов.

Построение ДФЭ для четырех факторов (k=4)(1/2 реплики)

K=4

в ПФЭ N=24=16

в ДФЭ Nʹ=24-1=16

  N b0 b1 b2 b3 b4
x0 x1 x2 x3 x4
- - - -
+ - + +
- + - +
+ + - -
- - + +
+ - + -
- + + -
+ + + +

x4 = x1x2x3

b0 = b0+ b1234

b1= b1+ b234

b2= b2+ b134

b3= b3+ b124

b3= b3+ b124

b4= b4+ b123

b12= b12+ b34

b13= b13+ b24

b23= b23+ b14

Составление ДФЭ для 5,6,и 7 факторного эксперимента.

Порядок минимальной регулярной реплики для этих планов можно записать в следующем виде:

k = 5, то m=2 → N= 25-2=8 (1/4 реплика)

k = 6, то m=3 → N= 26-3=8 (1/8 реплика)

k = 7, то m=4 → N= 27-4=8 (1/16 реплика)

Т.е. мы можем проведя всего восемь опытов построить дробный факторный план и получить оценки модели для числа факторов до 7. Причем чем больше число факторов, тем больше должно быть число генератора плана, т.е. для каждого фактора нужно придумать генератор плана.

Для k=5 нужно генератор плана для x4 и x5=x1x2

k=6 → x4, x5, x6= x1x3

k=7 → x4, x5, x6, x7= x2x3

Глава 6 Проведение эксперимента.

Основной уровень фактора.

Основной уровень фактора, т. е. его начальное значение, с которого начинается эксперимент для его выбора необходим анализ априорной информации.

Начальный уровень фактора должен был располагаться в области определения факторов, таким образом, чтобы сочетание факторов не приводили к появлению нежелательных эффектов или к нарушению технологических режимов. Нормированное значение уровня фактора принимается равное нулю, т.е.

Дробный факторный эксперимент. - student2.ru =0

Дробный факторный эксперимент. - student2.ru = Дробный факторный эксперимент. - student2.ru

Шаг изменения фактора.

Это величина, на которую изменяют фактор от опыта к опыту, т.е. интервал дискретности фактора.

Внутри шага фактор не может принимать значения, величина шага выбирается с учетом двух противоположных факторов (условий):

1. Увеличение шага, уменьшает содержательность и точность модели.

2. Уменьшение шага, увеличивает число опытов и стоимость эксперимента.

Шаг изменения фактора должен быть больше разрешающей способности измерительных приборов, и определяется возможностью изготовления образцов с заданной точностью. Т.е. желательно знать заранее, сколько образцов можно (изготовить) провести, каким временем располагаем: интервал варьирования равен половине рабочего диапазона.

Изменение фактора:

Јi = Дробный факторный эксперимент. - student2.ru ,

Интервал варьирования определяет возможные изменения фактора и диапазона, в которых происходит исследования.

Начальный уровень фактора, интервал варьирования и шаг на каждом этапе эксперимента неизменны, и только на завершающем этапе исследования (при построении нелинейной модели) можно изменить эти величины.

Если при движении в факторном пространстве, значения какого либо фактора достигают границу области определения, то этот фактор исключается из рассмотрения, фиксируя его на граничном уровне.

Рандомизация.

Рандомизация заключается в случайном расположении точек плана, т.е. последовательности выполнения опытов в соответствии с оптимальным планом.

В следующей системе все факторы можно разделить на две группы:

I группа: изучаемые факторы это x1x2x3

II группа: мешающие факторы (помехи) влияние, которых мы не учитываем в эксперименте.

Для исключения влияния факторов II группы и применятся рандомизация.

n x1 x2 x3 y
- - - y1
+ - - y2
- + - y3
+ + - y4
- - + y5
+ - + y6
- + + y7
+ + + y8

n число опытов

ε ошибка (не учитываем)

Допустим для 3 опыта

Дробный факторный эксперимент. - student2.ru 3= Дробный факторный эксперимент. - student2.ru (-4ε+ Дробный факторный эксперимент. - student2.ru )=b3- Дробный факторный эксперимент. - student2.ru ε.

Вычисление оценок.

Для ортогонального плана, вычисления соответствующих оценок производится по формуле

Дробный факторный эксперимент. - student2.ru j= Дробный факторный эксперимент. - student2.ru ,

т.е. равны суммам произведений откликов на элементы соответствующего столбца плана.

При вычислении оценок необходимо соблюдать высокую точность вычислений (не менее 4 знаков после запятой) округление допускается только конечного результата.

Для контроля правильности вычислений необходимо рассчитать следующие суммы:

Дробный факторный эксперимент. - student2.ru Дробный факторный эксперимент. - student2.ru 2

Теоретически должно выполняться соотношение

Дробный факторный эксперимент. - student2.ru =N Дробный факторный эксперимент. - student2.ru 2

Из-за округлений в процессе вычисления накапливаются ошибки и возможны отклонения от этой формулы

Дробный факторный эксперимент. - student2.ru 0,1 Дробный факторный эксперимент. - student2.ru

Если это выполняется, то считаем что вычисления выполнены верно и не содержат ошибок.

Глава 7.

Регрессионный анализ.

Цель регрессионного анализа – проверка адекватности полученной модели, проверка значимости оценок коэффициентов модели.

Поставленная цель достигается при следующих допущениях:

1. Параметр оптимизации Y является случайной величиной с нормальным законом распределения.

2. Дисперсия Y не зависит от величины Y, т.е. постулируется однородность дисперсий в различных точках факторного пространства.

3. Значение факторов не является случайными величинами, т.е. имеется возможность устанавливать каждый фактор на определенном уровне, точнее чем ошибка воспроизведения.

Наши рекомендации