Влияние параметров на качество

АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Цель работы– изучение влияния изменения параметров системы на показатели качества и на характер протекающих в системе процессов.

Основные сведения

Важнейшими показателями качества (ПК) переходной характеристики (ПХ) , или прямыми показателями качества системы являются:

· время регулирования – время, по истечении которого ПХ не выходит из области допустимых (обычно пятипроцентных) отклонений от установившегося значения (УЗ) : где ;

· время нарастания – время первого достижения УЗ;

· перерегулирование – превышение максимума ПХ над УЗ в процентах от УЗ: .

Среди косвенных ПК систем автоматического управления широко употребляются частотные и корневые.

Некоторые частотные ПК:

· частота среза – частота, при которой ЛАХ разомкнутой системы пересекает ось абсцисс: ; служит мерой быстродействия системы;

· запас устойчивости по фазе – превышение ЛФХ разомкнутой системы на частоте среза над уровнем – (в устойчивой системе): + + ; с уменьшением переходные процессы становятся более колебательными;

· полоса пропускания – частота, при которой значение АЧХ замкнутой системы в раз меньше ее значения на нулевой частоте: или ; является мерой быстродействия системы;

· показатель колебательности – отношение максимального значения АЧХ замкнутой системы к начальному значению: ; характеризует склонность системы к колебаниям.

Основные корневые ПК:

· степень устойчивости – расстояние от мнимой оси до ближайшего корня (или пары комплексно-сопряженных корней) характеристического полинома (ХП) замкнутой системы; является мерой быстродействия; если ПФ не имеет нулей, то при увеличении действительной и мнимой частей каждого полюса в раз длительность переходного процесса сократится также в раз;

· колебательность – отношение модулей мнимой и вещественной частей ближайшей к мнимой оси пары комплексных корней ХП; чем больше , тем меньше затухание колебаний за период.

Некоторые способы суждения об устойчивости системы:

· для асимптотической устойчивости необходимо и достаточно, чтобы все корни ХП располагались в левой полуплоскости; если один корень находится в начале координат или одна пара корней – на мнимой оси (остальные – в левой полуплоскости), то система находится на границе устойчивости – соответственно, апериодического или колебательного типа);

· в асимптотически устойчивой системе все коэффициенты ХП положительны; если хотя бы один из коэффициентов ХП отрицателен, система неустойчива;

· согласно критерию Гурвица, для асимптотической устойчивости системы третьего порядка с положительными коэффициентами ХП необходимо и достаточно, чтобы произведение двух средних коэффициентов было больше произведения двух крайних коэффициентов (для колебательной границы устойчивости имеет место равенство этих произведений);

· согласно критерию Найквиста, если ПФ разомкнутой системы имеет полюсы только в левой полуплоскости (кроме, возможно, одного нулевого), то для асимптотической устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты от нуля до бесконечности АФХ разомкнутой системы не охватывала точку с координатами (–1, j0), или, что то же самое, чтобы разность между числом положительных (сверху вниз) и отрицательных (снизу вверх) переходов АФХ через луч ( ] равнялась нулю; в терминах ЛЧХ это соответствует тому, что в диапазоне частот, где ЛАХ разомкнутой системы лежит выше оси, разность между числом положительных (снизу вверх) и отрицательных (сверху вниз) переходов ЛФХ через горизонтальную прямую с ординатой равняется нулю.

Программа работы

Работа рассчитана на два занятия: программа первого включает задания 2.2.1 и 2.2.2, второго – 2.2.3.

2.2.1. Исследование влияния контурного коэффициента
усиления системы на ее динамические свойства

1. Задать структурную схему системы третьего порядка, составленную из последовательно соединенных звеньев с ПФ и , охваченных единичной отрицательной обратной связью. Назначить в соответствии с нижеприведенными вариантами и задать :

Вариант
	1.0	0.1	2.0	0.2	2.5	0.25	0.8	0.5	0.4	4.0

2. Для значений , равных и , определить и занести в таблицу значения корней ХП, и . Описать изменение характера переходного процесса с увеличением .

3. Увеличить до значения . Ответить на вопросы: каким стал переходный процесс? какие изменения произошли с корнями ХП?

4. Разомкнуть обратную связь. Для значений , указанных в пп. 2 и 3, определить и занести в таблицу и (только для первых трех значений ) , а также исследовать с позиций критерия Найквиста изменения, происходящие в АФХ и ЛЧХ с ростом .

2.2.2. Исследование влияния относительной инерционности
звеньев системы на ее устойчивость

5. В предыдущей схеме, но с замкнутой обратной связью и со значением , назначенном в п. 3, уменьшить в 4 раза. Описать изменения, произошедшие в характере переходного процесса и в расположении корней ХП.

6. Задать структурную схему системы, состоящей из трех последовательно соединенных апериодических звеньев с постоянными времени и , охваченных единичной отрицательной обратной связью. Одно из звеньев имеет коэффициент передачи , остальные – единичный.

7. Назначить , где – произвольная константа. Подобрать такое значение контурного коэффициента , при котором система выйдет на колебательную границу устойчивости, т. е. ПХ примет вид незатухающих колебаний. Определить частоту , Гц, этих колебаний.

8. Назначить . Снова определить и , сравнить их с предыдущими значениями.

9. Оставив , задать новое соотношение постоянных времени: . Охарактеризовать изменения, произошедшие в свойствах системы. Увеличением определить новое значение .

10. По результатам исследований в пп. 5–9 ответить на вопрос: какие факторы – абсолютные значения постоянных времени или их соотношения – влияют на устойчивость, характер переходных процессов в системе и на ее критический коэффициент усиления ?

2.2.3. Изучение стандартных полиномов
и диаграммы Вышнеградского

11. Задать структурную схему системы третьего порядка в управляемой канонической форме (рисунок).

12. Задать систему с единичным коэффициентом передачи и ХП Баттерворта, для чего назначить Значение взять из приведенных ниже:

Вариант
						2,5

13. Определить корни ХП и установить закономерность их геометрического расположения на комплексной плоскости. Определить и

14. Повторить анализ, увеличив в 2 раза.

15. Задать систему с биномиальным ХП, назначив

(оставить первоначальное значение ) и повторить п. 13.

16. Задать звено с ПФ

Параметр	Номер опыта
A	0.5
B	0.5

17. Последовательно задавать комбинации значений параметров Вышнеградского и согласно таблице. Для каждого из сочетаний определить полюсы ПФ и описать характер ПХ.

Содержание отчета

1. Структурные схемы и численные значения их параметров.

2. Результаты по каждому пункту программы работы и комментарии к ним. Ответы на вопросы, содержащиеся в программе работы.

3. Вычисление критических значений контурного коэффициента в заданиях 2.2.1 и 2.2.2 исходя из условия нахождения системы на границе устойчивости (по критерию Гурвица).

4. Графики зависимости и от . При определении учесть, что (Прокомментировать графики, изобразив по ПФ (см. начало программы работы) асимптотические ЛАХ разомкнутой системы при различных и (эскизно) ЛФХ.)

5. Значения корней стандартных полиномов и значения с анализом влияния на них значения и пояснением связи характера ПХ с картиной расположения корней на плоскости.

6. Эскиз диаграммы Вышнеградского с нанесенными на нее точками, определяющими заданные в таблице на с. 11 сочетания параметров и ; вывод о связи характера ПХ с полюсами ПФ.

Для построения диаграммы необходимо:

· изобразить систему координатных осей для параметров (ось абсцисс) и (ось ординат); оцифровку осей задать в пределах от 0 до 6;

· изобразить границу устойчивости согласно уравнению (выше этой границы располагается область устойчивости);

· для значений 0 < A £ 3 изобразить кривую DC, описываемую уравнением ; правая граница этой кривой – точка C имеет координаты (3;3);

· изобразить кривые CE и CF (симметричные относительно биссектрисы квадранта), которые описываются одним и тем же параметрически заданным уравнением где – параметр; для построения кривой CE необходимо задавать (здесь ), а для построения кривой CF – 0 < a £ 1 (здесь );

· обозначить цифрами I, II, и III следующие области:

I – между границей устойчивости и линией DCF (в этой области ХП имеет один вещественный корень и пару комплексно-сопряженных корней, расположенных ближе к мнимой оси, чем вещественный);

II – выше кривой DCE (здесь ХП имеет те же типы корней, что и в области I, но ближайшим к мнимой оси является вещественный корень);

III – между кривыми CF и CE (здесь все корни ХП вещественны).

2.4. Контрольные вопросы

1. Дайте определения основных показателей качества динамики САУ.

2. Как уменьшение запаса устойчивости отражается на значениях других показателей качества ?

3. Какими мерами можно повысить критическое значение контурного коэффициента усиления системы?

4. В чем польза диаграммы Вышнеградского?

5. Почему граница устойчивости на диаграмме описывается уравнением ?

6. Каковы значения корней ХП в точке C ?

Лабораторная работа № 3