Решение плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений
I. ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Приобретение навыков решения плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений.
II. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений.
где А — квадратная матрица размерностью ;
—вектор свободных членов;
![]() | ![]() |
— искомый вектор
![решение плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений решение плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений - student2.ru](/images/matematika/reshenie-plokho-obuslovlennykh-sistem-lineynykh-algebraicheskikh-uravneniy-549431-7.gif)
Если , то система (1) называется плохо обусловленной. В этом случае погрешности коэффициентов матрицы и правых частей или погрешности округления при расчетах могут сильно исказить решение.
При решении многих задач правая часть системы (1) и коэффициенты матрицы А известны приближенно. При этом вместо точной системы (1) имеем некоторую другую систему
такую, что
Полагаем, что величины и d известны.
Так как вместо системы (1) имеем систему (2), то можем найти лишь приближенное решение системы (1). Метод построения приближенного решения системы (1) должен быть устойчивым к малым изменениям исходных данных.
Псевдорешением системы (1) называется вектор , минимизирующий невязку
на всем пространстве
.
Пусть х1 –некоторый фиксированный вектор из , определяемый обычно постановкой задачи.
Нормальным относительно вектора х1 решением системы (1) называется псевдорешение х0 с минимальной нормой , то есть
где F—совокупность всех псевдорешений системы (1).
Причем
где ¾компоненты вектора х.
Для любой системы вида (1) нормальное решение существует и единственно. Задача нахождения нормального решения плохо обусловленной системы (1) является некорректно поставленной.
Для нахождения приближенного нормального решения системы (1) воспользуемся методом регуляризации.
Согласно указанному методу построим сглаживающий функционал вида
и найдем вектор , минимизирующий на
этот функционал. Причем параметр регуляризации a однозначно определен из условия
где .
Вырожденные и плохо обусловленные системы могут быть неразличимы в рамках заданной точности. Но если имеется информация о разрешимости системы (1), то вместо условия (5) следует использовать следующее условие:
Компоненты вектора
являются решениями системы линейных алгебраических уравнений, которая получается из условия минимума функционала (4)
и имеет вид
где Е—единичная матрица,
¾эрмитово сопряженная матрица.
На практике для выбора вектора нужны дополнительные соображения. Если их нет, то полагают
=0.
Для =0 систему (7) запишем в виде
где
Найденный вектор будет являться приближенным нормальным решением системы (1).
Остановимся на выборе параметра a. Если a=0, то система (7) переходит в плохо обусловленную систему. Если a велико, то система (7) будет хорошо обусловлена, но регуляризованное решение не будет близким к искомому решению системы (1). Поэтому слишком большое или слишком малое a не пригодны.
Обычно на практике проводят расчеты с рядом значений параметра a. Например,
Для каждого значения a находят элемент , минимизирующий функционал (4). В качестве искомого значения параметра регуляризации берется такое число a, для которого с требуемой точностью выполняется равенство (5) или (6).
III. ЗАДАНИЕ
1. Построить систему линейных алгебраических уравнений, состоящую из трех уравнений с тремя неизвестными, с определителем, величина которого имеет порядок 10-6.
2. Построить вторую систему, аналогичную первой, но имеющую другие свободные члены, отличающиеся от свободных членов первой системы на величину 0,00006.
3. Решить построенные системы методом регуляризации (полагая =0 и d=10-4) и каким-либо другим методом (например, методом Гаусса).
4. Сравнить полученные результаты и сделать выводы о применимости использованных методов.
IV. ОФОРМЛЕНИЕ ОТЧЕТА
В отчете должны быть представлены:
1. Название работы.
2. Постановка задачи.
3. Описание алгоритма (метода) решения.
4. Текст программы с описанием.
5. Результаты работы программы.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. — М.: Наука, 1979. 286 с.
2. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. — М.: БИНОМ. Лаборатория Знаний, 2007 636с.
Лабораторная работа № 23