Частные случаи уравнения Эйлера
Уравнение (2) представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка (вообще говоря, нелинейное), для которого нет универсального алгоритма построения решения в квадратурах. Но, как известно из курса обыкновенных дифференциальных уравнений, существуют целые классы дифференциальных уравнений, обладающих рядом специальных свойств: например, уравнение может допускать понижение порядка; может не содержать явно некоторых переменных; оказаться линейным или автономным и т.п. Эти свойства могут существенно упростить решение вариационной задачи, поэтому целесообразно находить, учитывать и классифицировать эти специальные случаи. Особенно полезна классификация, дающая возможность «предсказать» свойства уравнения Эйлера по виду функции 
.
1. 
. Уравнение Эйлера имеет вид: 
, т.е. является функциональным, а не дифференциальным.
2. 
, т.е. подынтегральная функция является линейной относительно производной. Уравнение Эйлера снова превращается в функциональное:
.
Функции, удовлетворяющие функциональным уравнениям, не образуют параметрического семейства и не обязаны удовлетворять граничным условиям.
Пример 2.Найти экстремали функционала
,
удовлетворяющие условиям: 
.
Решение. Подынтегральная функция не зависит от 
, значит, уравнение Эйлера имеет вид: 
, откуда находим единственную кривую, которая может быть экстремалью: 
. Но вариационная задача содержит еще граничные условия, которые для найденной кривой могут и не выполняться. В самом деле, для функции имеем: 
то есть первое условие выполняется; но 
значит, если 
, то кривая является экстремалью, если же 
, то задача не имеет решения.
Пример 3.Найти экстремали функционала
,
удовлетворяющие условиям: 
.
Решение. Подынтегральная функция относится ко второму типу при 
, 
, а уравнение Эйлера имеет вид: 1=1, т.е. обращается в тождество. Но если равенство выполняется тождественно, то, как известно из курса интегрального исчисления, это означает, что подынтегральная функция являет собой полный дифференциал. В данном случае его легко восстановить: 
, следовательно, 
, т.е. значение функционала остается неизменным при любой дифференцируемой на 
функции. Значит, все эти функции (их бесконечное множество) являются решениями данной вариационной задачи.
3. 
. Уравнение Эйлера имеет вид: 
или 
. Таким образом, уравнение допускает понижение порядка и становится дифференциальным уравнением первого порядка.
4. 
. Решениями уравнения Эйлера могут быть только прямые: 
.
5. 
. Уравнение Эйлера снова допускает понижение порядка и принимает вид:
.
6. Как известно, из всех дифференциальных уравнений наиболее простая структура решений у линейных. Поэтому представляет интерес указать класс функционалов, для которых уравнения Эйлера – линейные. Если
,
то уравнение Эйлера имеет вид:
.
Заметим, что мы получили (в самосопряженной форме) линейное дифференциальное уравнение общего вида. Следовательно, любому линейному дифференциальному уравнению второго порядка можно сопоставить функционал (и даже не один), для которого это уравнение будет уравнением Эйлера.
Обобщения уравнения Эйлера
Пользуясь теми же методами, несложно получать аналоги уравнений Эйлера для функционалов более общего вида. Остановимся на двух из них.
- Для функционалов вида
экстремали являются решениями уравнения Эйлера – Пуассона:
.
Понятно, что для однозначного выбора экстремали требуется дополнительно задать условия на границах:
- Для функционалов вида
экстремали являются решениями системы уравнений Эйлера:
.
Соответственно, граничные условия принимают вид:
Пример 4.Найти экстремали следующего функционала
,
удовлетворяющие условиям: 
.
Решение. Уравнение Эйлера – Пуассона имеет вид:
или 
. Решая это уравнение, получаем семейство экстремалей вида: 
. Учитывая граничные условия, находим единственную экстремаль 
.
Список рекомендуемой литературы
1. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные ураванения и вариационное исчисление / М.: Эдиториал УРСС, 2000. – 319 с.
2. Романко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления / М., СПб.: Физматлит, 2000. – 342 с.
3. Пантелеев А.В. Вариационное исчисление в примерах и задачах / М.: Изд-во МАИ, 2000. – 227 с.
Варианты заданий
Задание 1
Найти экстремали следующих функционалов, удовлетворяющих условиям жесткого закрепления.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
Задание 2
Исследовать на разрешимость следующие вариационные задачи (в зависимости от значений параметров) и дать полное описание класса экстремалей, когда задача имеет решение.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
Задание 3
Для функционалов, зависящих от производных высших порядков, найти экстремали, удовлетворяющие заданным граничным условиям.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
Задание 4
Для функционалов, зависящих от нескольких функций, найти экстремали, удовлетворяющие заданным граничным условиям.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
Составитель В.В. Малыгина
Редактор И.Н. Жеганина
Лицензия ЛР № 020370
___________________________________________
Подписано в печать 24.07.2006
Формат 60X90/16. Усл. печ. л.
Тираж экз. заказ
____________________________________________________________
Издательство Пермского государственного
технического университета