Основы вариационного исчисления - I
Основы вариационного исчисления - I
Методические указания
и варианты заданий
для самостоятельной работы студентов
III курса специальностей КМ и ДПМ
Пермь 2006
УДК 517 (075.8)
Основы вариационного исчисления, ч.I: методические указания и варианты заданий для самостоятельной работы студентов III курса / Сост. доц. В.В. Малыгина; Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2006. 32 с.
Методическое пособие предназначено для студентов III курса специальностей КМ и ДПМ, изучающих дисциплину «Основы вариационного исчисления». Кратко изложены необходимые теоретические сведения из курса вариационного исчисления, которые сопровождаются разбором типовых примеров. Даны варианты заданий для самостоятельной работы.
Рецензент – канд. техн. наук, доцент кафедры ВММ И.Н. Бояршинова.
©Пермский государственный технический университет, 2006
Введение
Как известно из курса дифференциального исчисления, вопрос отыскания экстремумов гладкой функции сводится к исследованию нулей ее производной; более того, введению самого понятия производнойкак раз и способствовали попытки решения задач на отыскание наибольшего и наименьшего значения функции.
Аппарат дифференцирования оказался простым, универсальным и эффективным методом, с помощью которого удается решать практически любые задачи на экстремум, если интересующая нас величина может быть задана как функция, то есть представляет собой отображение числового множества в числовое множество. А если область определения или множество значений – не числа? Получается, что тогда у нас нет ни функции, ни ее производной, ни, стало быть, метода решения задач на экстремум? Но ведь для объектов, не являющихся функциями, задачи на экстремум ничуть не утрачивают своей актуальности, и необходимо как-то научиться их решать.
Метод решения задач на экстремум для отображений более общей природы, чем функции, и составляет суть классического вариационного исчисления, основы которого были заложены в XVIII в. в работах двух выдающихся математиков того времени – Леонарда Эйлера и Жозефа Луи Лагранжа.
Рассмотрим – вслед за Эйлером и Лагранжем – задачу о нахождении наибольшего и наименьшего значения функционалов – отображений, областью определения которых являются произвольные пространства, а множеством значений – числа (вещественные или комплексные). Легко привести примеры функционалов. Возьмем в качестве области определения плоскость или трехмерное пространство – получим функционал, который мы называли раньше функцией двух или трех переменных. Пусть область определения – множество непрерывных на отрезке функций. Поставим в соответствие каждой функции число – значение определенного интеграла от функции по данному отрезку – и мы снова получим функционал, на этот раз интегрального вида.
Для функционалов удалось построить столь же простой и красивый метод решения задач на отыскание экстремумов, как и для функций. Это оказалось возможным как раз потому, что для функционалов нашелся аналог дифференциала. Им оказалось введенное в работах Лагранжа понятие вариации функционала, которое явилось основой нового раздела математики (и дало ему название).
Оказалось, что замена дифференцирования варьированием сохраняет практически без изменений теоремы классического анализа, на которых базируется решение задач на экстремум: в точке экстремума первая вариация необходимо равна нулю, а характер критической точки (максимум, минимум, отсутствие экстремума) определяется свойствами второй вариации.
Основываясь на этих результатах, можно, выстраивая подходящие функционалы, получать решения многих задач, связанных с нахождением экстремумов.
Из истории вариационного исчисления
Задачи с закрепленными границами
Уравнение Эйлера
Рассмотрим функционал вида
, (1)
где функции x предполагаются непрерывно дифференцируемыми на интервале (a,b). Функцию 
будем предполагать непрерывно дифференцируемой по всем своим аргументам столько раз, сколько потребуют содержащие ее уравнения.
Поставим задачу: найти в указанном классе функций такую, на которой функционал 
принимал бы наибольшее (наименьшее) из всех возможных значений.
Для функционалов вида (1) очень просто формулируется необходимое условие экстремума.
Теорема. Пустьфункция х0 – экстремаль (т.е. функция, на которой достигается экстремум функционала ). Тогда она является решением уравнения Эйлера:
. (2)
Уравнение (2) есть обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка. Его общее решение содержит две произвольные постоянные; значит, решив уравнение, мы найдем семейство экстремалей, зависящее от двух параметров. Чтобы определить экстремаль однозначно, требуется задать некоторые дополнительные условия. В классической постановке это –условия закрепленных границ:
. (3)
Добавляя к уравнению Эйлера условия (3), получаем для нахождения экстремалей обычную краевую задачу. В случае интегрируемости уравнения Эйлера в квадратурах, решение этой задачи может быть получено аналитическими методами; в прочих случаях используют приближенные и численные методы решения.
Пример 1.Найти экстремали функционала
,
удовлетворяющие условиям: 
.
Решение. В данном примере 
, следовательно, 
, а уравнение Эйлера имеет вид: 
. Это уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, решение которого легко записывается через элементарные функции: 
. Учитывая граничные условия, находим: 
Следовательно, искомая экстремаль имеет вид:
.
Обобщения уравнения Эйлера
Пользуясь теми же методами, несложно получать аналоги уравнений Эйлера для функционалов более общего вида. Остановимся на двух из них.
- Для функционалов вида
экстремали являются решениями уравнения Эйлера – Пуассона:
.
Понятно, что для однозначного выбора экстремали требуется дополнительно задать условия на границах:
- Для функционалов вида
экстремали являются решениями системы уравнений Эйлера:
.
Соответственно, граничные условия принимают вид:
Пример 4.Найти экстремали следующего функционала
,
удовлетворяющие условиям: 
.
Решение. Уравнение Эйлера – Пуассона имеет вид:
или 
. Решая это уравнение, получаем семейство экстремалей вида: 
. Учитывая граничные условия, находим единственную экстремаль 
.
Список рекомендуемой литературы
1. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные ураванения и вариационное исчисление / М.: Эдиториал УРСС, 2000. – 319 с.
2. Романко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления / М., СПб.: Физматлит, 2000. – 342 с.
3. Пантелеев А.В. Вариационное исчисление в примерах и задачах / М.: Изд-во МАИ, 2000. – 227 с.
Варианты заданий
Задание 1
Найти экстремали следующих функционалов, удовлетворяющих условиям жесткого закрепления.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
Задание 2
Исследовать на разрешимость следующие вариационные задачи (в зависимости от значений параметров) и дать полное описание класса экстремалей, когда задача имеет решение.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
Задание 3
Для функционалов, зависящих от производных высших порядков, найти экстремали, удовлетворяющие заданным граничным условиям.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
Задание 4
Для функционалов, зависящих от нескольких функций, найти экстремали, удовлетворяющие заданным граничным условиям.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
Составитель В.В. Малыгина
Редактор И.Н. Жеганина
Лицензия ЛР № 020370
___________________________________________
Подписано в печать 24.07.2006
Формат 60X90/16. Усл. печ. л.
Тираж экз. заказ
____________________________________________________________
Издательство Пермского государственного
технического университета
Основы вариационного исчисления - I
Методические указания
и варианты заданий
для самостоятельной работы студентов
III курса специальностей КМ и ДПМ
Пермь 2006
УДК 517 (075.8)
Основы вариационного исчисления, ч.I: методические указания и варианты заданий для самостоятельной работы студентов III курса / Сост. доц. В.В. Малыгина; Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2006. 32 с.
Методическое пособие предназначено для студентов III курса специальностей КМ и ДПМ, изучающих дисциплину «Основы вариационного исчисления». Кратко изложены необходимые теоретические сведения из курса вариационного исчисления, которые сопровождаются разбором типовых примеров. Даны варианты заданий для самостоятельной работы.
Рецензент – канд. техн. наук, доцент кафедры ВММ И.Н. Бояршинова.
©Пермский государственный технический университет, 2006
Введение
Как известно из курса дифференциального исчисления, вопрос отыскания экстремумов гладкой функции сводится к исследованию нулей ее производной; более того, введению самого понятия производнойкак раз и способствовали попытки решения задач на отыскание наибольшего и наименьшего значения функции.
Аппарат дифференцирования оказался простым, универсальным и эффективным методом, с помощью которого удается решать практически любые задачи на экстремум, если интересующая нас величина может быть задана как функция, то есть представляет собой отображение числового множества в числовое множество. А если область определения или множество значений – не числа? Получается, что тогда у нас нет ни функции, ни ее производной, ни, стало быть, метода решения задач на экстремум? Но ведь для объектов, не являющихся функциями, задачи на экстремум ничуть не утрачивают своей актуальности, и необходимо как-то научиться их решать.
Метод решения задач на экстремум для отображений более общей природы, чем функции, и составляет суть классического вариационного исчисления, основы которого были заложены в XVIII в. в работах двух выдающихся математиков того времени – Леонарда Эйлера и Жозефа Луи Лагранжа.
Рассмотрим – вслед за Эйлером и Лагранжем – задачу о нахождении наибольшего и наименьшего значения функционалов – отображений, областью определения которых являются произвольные пространства, а множеством значений – числа (вещественные или комплексные). Легко привести примеры функционалов. Возьмем в качестве области определения плоскость или трехмерное пространство – получим функционал, который мы называли раньше функцией двух или трех переменных. Пусть область определения – множество непрерывных на отрезке функций. Поставим в соответствие каждой функции число – значение определенного интеграла от функции по данному отрезку – и мы снова получим функционал, на этот раз интегрального вида.
Для функционалов удалось построить столь же простой и красивый метод решения задач на отыскание экстремумов, как и для функций. Это оказалось возможным как раз потому, что для функционалов нашелся аналог дифференциала. Им оказалось введенное в работах Лагранжа понятие вариации функционала, которое явилось основой нового раздела математики (и дало ему название).
Оказалось, что замена дифференцирования варьированием сохраняет практически без изменений теоремы классического анализа, на которых базируется решение задач на экстремум: в точке экстремума первая вариация необходимо равна нулю, а характер критической точки (максимум, минимум, отсутствие экстремума) определяется свойствами второй вариации.
Основываясь на этих результатах, можно, выстраивая подходящие функционалы, получать решения многих задач, связанных с нахождением экстремумов.