Модель системы в пространстве состояний

Для случая линейной системы с p входами, q выходами и n переменными состояния описание имеет вид:

Модель системы в пространстве состояний - student2.ru

Модель системы в пространстве состояний - student2.ru

Где x— вектор состояния, элементы которого называются состояниями системы, y— вектор выхода, u— вектор управления, A — матрица системы, B— матрица управления, C— матрица выхода и D— матрица прямой связи.

Как известно, любой передаточной функции можно поставить в соответствие дифференциальное уравнение вида:

Модель системы в пространстве состояний - student2.ru

Выбор переменных состояния в принципе произволен и определяется зачастую исключительно удобством вычислений, поэтому введем следующие обозначения:

Модель системы в пространстве состояний - student2.ru

где i изменяется до n-1, тогда получим следующие уравнения

Модель системы в пространстве состояний - student2.ru

Из этой системы получим матрицы для описания системы в пространстве состояний.

В Matlab для получения матриц пространства состояния используется функция tf2ss, которая записывается в виде: [A,B,C,D]=tf2ss(num,den)

Получаем матрицы следующего вида:

A =

-0.0001 -0.0033 -0.1733 -3.9403 -9.6332 -6.6908 0

1 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 1 0

B =

C =

1.0e+007 *

0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0625 5.7901 5.7901

D =

Исследование системы на управляемость и наблюдаемость.

Любая САУ должна обладать свойствами управляемости и наблюдаемости.

Говорят, что система, описываемая матрицами A и B, является управляемой, если существует такое неограниченное управление u, которое может перевести систему из произвольного начального состояния x(0) в любое другое заданное состояние x(t).

Для системы с одним входом и одним выходом вводится понятие матрицы управляемости, которая имеет вид

Модель системы в пространстве состояний - student2.ru

и имеет размерность n×n. Если определитель матрицы не равен нулю, то матрица является управляемой.

Калман предложил ранговые критерии. По Калману система называется вполне управляемой, если ранг матрицы управляемости равен n

Модель системы в пространстве состояний - student2.ru

Получим матрицу управляемости и найдем ее определитель и ранг с помощью следующих вычислений в Matlab:

F1=A*B

F2=(A^2)*B

F3=(A^3)*B

F4=(A^4)*B

F5=(A^5)*B

F6=(A^6)*B

PC=[B F1 F2 F3 F4 F5 F6]

dp=det(PC)

rp=rank(PC)

Получаем, что определитель матрицы управления не равен 0, а ранг

матрицы равен 4. Следовательно, система не является вполне управляемой. Матрицу управляемости также можно получить при помощи функции ctrb(A,B).

Система является наблюдаемой тогда и только тогда, если существует конечное время T такое, что начальное состояние x(0) может быть определено в результате наблюдения выходной переменной y(t), t Модель системы в пространстве состояний - student2.ru T, при заданном управлении u(t).

Система является наблюдаемой, если определитель матрицы Q размерностью n×n, называемой матрицей наблюдаемости, не равен нулю, где

Модель системы в пространстве состояний - student2.ru

По Калману, система является вполне наблюдаемой, если ранг матрицы наблюдаемости равен n.

Находим матрицу наблюдаемости в Matlab:

F1=A'*C'

F2=((A')^2)*C'

F3=((A')^3)*C'

F4=((A')^4)*C'

F5=((A')^5)*C'

F6=((A')^6)*C'

Q=[C' F1 F2 F3 F4 F5 F6]

dq=det(Q)

rq=rank(Q)

Получаем, что определитель матрицы наблюдаемости не равен 0, ранг матрицы – 7. Следовательно, система является вполне наблюдаемой.

Цифровая модель САУ

Для получения цифровой модели САУ используем функцию c2d(sys,Ts,method). Эта функция имеет следующие параметры:

Sys – система, дискретизацию которой необходимо провести;

Ts- время квантования;

method –строковая константа, обозначающая метод дискретизации. Например, 'tustin' –преобразование Тастина с использованием квантования по уровню.

Рассмотрим преобразование Тастина более подробно на примере корректирующего устройства системы, передаточная функция которого имеет вид:

Модель системы в пространстве состояний - student2.ru

Формула Тастина для перехода ПФ к z-преобразованию:

Модель системы в пространстве состояний - student2.ru

С учетом формулы Тастина проведем z-преобразование корректирующего устройства для стандартного времени квантования T0=0,025

Модель системы в пространстве состояний - student2.ru

Вычисления в Matlab с помощью функции c2d дают тот же результат:

Transfer function:

0.001496 z^2 + 0.002991 z + 0.001496

------------------------------------

z^2 - 1.564 z + 0.5745

Sampling time: 0.025

Как известно изображения входной и выходной величины блока связаны передаточной функцией:

Модель системы в пространстве состояний - student2.ru

Отсюда имеем

Модель системы в пространстве состояний - student2.ru

Разностное уравнение:

Модель системы в пространстве состояний - student2.ru

Эквивалентная схема САУ представлена на рис. 8.

Модель системы в пространстве состояний - student2.ru

Рисунок 8 - Эквивалентная схема САУ

По разностному уравнению можно построить не только эквивалентную схему корректирующего устройства, но и подставляя конкретные k получить систему реккурентных соотношений, по которой определить значения выходного сигнала в зависимости от входного для каждого периода квантования и построить переходную функцию. Для построения переходной функции в нашем случае используем Matlab. Результат сравнения переходных функций изображен на рис. 9.

Модель системы в пространстве состояний - student2.ru

Модель системы в пространстве состояний - student2.ru

Рисунок 9 - Сравнение переходных функций систем для цифрового (вверху) и аналогового (внизу) входных сигналов

Характеристики переходной функции для цифрового сигнала: время нарастания – 0.77с, перерегулирование –0.83%, длительность переходного процесса – 5.13с. Эти характеристики отличаются от таковых, полученных в п. 2, следовательно, дискретизация системы вносит неточность в сигнал.

Наши рекомендации