Схема исследования функции на экстремум
1. Найти производную .
2. Найти критические точки, т.е. точки, в которых или производная не существует.
3. Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки и сделать вывод о наличии экстремумов.
4. Найти экстремальные значения функции.
Пример. Исследовать на экстремум функцию .
Решение:
1) ;
2) ,
,
;
3) применяя метод интервалов, находим, что на
и на
, а неравенство
выполняется на
.
![]() |
Следовательно, в точке имеется максимум, а в точке
– минимум;
4) находим ,
.
Исследование функции с помощью
второй производной
Будем рассматривать дважды дифференцируемую функцию, т.е. функцию , которая имеет производные
и
.
Второе достаточное условие экстремума. Если в точке первая производная равна нулю:
, а вторая положительна:
, то
есть точка минимума функции
; если же
,
, то
– точка максимума.
Доказательство. Пусть ,
. Тогда, так как
, первая производная возрастает в окрестности точки
. Значит, слева от
она отрицательна:
, а справа – положительна:
. Итак, при переходе через
производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, в этой точке минимум. Аналогично рассматривается случай
,
.
Пример. .
.
Имеем:
,
,
;
.
Следовательно, в точке имеется минимум.
Функция и ее график характеризуются также направлением выпуклости и наличием асимптот. Говорят, что на данном интервале выпуклость графика направлена вверх (вниз), если все его точки находятся ниже (соответственно выше) любой касательной на этом интервале.
На рис. 2 показан график функции, у которого на интервале выпуклость направлена вверх, а на интервале
– вниз.
Точка, в которой меняется направление выпуклости, называется точкой перегиба.
![]() |
Рис. 2 |
Можно доказать, что если на данном интервале , то выпуклость графика направлена вниз, если же
, то выпуклость направлена вверх.
Если – точка перегиба, то
.
Асимптоты
Определение. Асимптотой графика функции называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от переменной точки М графика до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки М от начала координат.
Различают вертикальные и наклонные асимптоты. Прямая называется вертикальной асимптотой, если
или
. Вертикальные асимптоты сопутствуют обычно точкам разрыва второго рода.
Из школьного курса известно, в частности, что ось Oy (т.е. прямая ) есть вертикальная асимптота графика функции
.
Прямая есть наклонная асимптота графика функции
при
, если
,
где при
.
Коэффициенты k и b в уравнении наклонной асимптоты находят по формулам:
,
.
Пример. Найти наклонную асимптоту графика функции .
Решение.
1) ;
2)
.
Уравнение асимптоты: .
Заметим, что наличие у функции наклонной асимптоты
означает, что при больших значениях аргумента функция мало отличается от линейной функции.
Общая схема исследования функций
и построения их графиков
Для исследования функции и построения графика следует найти:
1) область определения функции;
2) точки разрыва функции;
3) интервалы возрастания и убывания функции;
4) максимумы и минимумы;
5) направление выпуклости графика функции, точки перегиба;
6) асимптоты.
Кроме того, учитываются четность (или нечетность) функции, периодичность, точки пересечения графика с осями координат.
На основании проведенного исследования строится график функции, при этом полезно намечать элементы графика параллельно с исследованием.
Пример 1. Исследовать функцию и построить ее график.
1. Область определения – вся числовая прямая за исключением точки , т.е. множество
.
2. – точка разрыва 2-го рода, так как
,
.
3. Вычислим производную:
.
Определим области возрастания и убывания функции:
при имеем
– функция возрастает;
при и
имеем
– функция убывает;
при имеем
– функция возрастает.
4. Из равенства находим критические точки
,
. В точке
производная меняет знак с плюса на минус
при
;
при
). Следовательно, в точке
имеется максимум:
.
В точке производная меняет знак с минуса на плюс (
при
,
при
). Следовательно, в точке
имеется максимум:
.
5. Вычислим вторую производную:
Определим направление выпуклости:
при имеем
– выпуклость направлена вверх,
при имеем
– выпуклость направлена вниз.
Точек перегиба нет.
Определим асимптоты графика.
Очевидно, – вертикальная асимптота.
Определим наклонную асимптоту.
,
.
Итак, – наклонная асимптота.
График исследуемой функции изображен на рис. 3.
![]() |
Рис. 3 |
Пример 2. В теории вероятностей и в статистике весьма важную роль играет функция
– дифференциальная функция нормального распределения. Исследуем эту функцию методами дифференциального исчисления по приведенной выше схеме и построим ее график. Заметим, что этот график называют нормальной кривой (кривой Гаусса).
Решение. 1. Область определения функции – вся ось Ox.
2. Функция непрерывна на всей оси Ox.
3. Вычислим первую производную:
.
Легко видеть, что при
,
при
. Следовательно, на интервале
функция возрастает, а на интервале
– убывает.
4. Приравнивая производную к нулю, находим критическую точку . В точке
производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, в ней имеется максимум:
.
5. Вычисляем вторую производную:
Легко видеть, что вторая производная равна нулю, когда
, т.е. при
и
.
Имеем
выпуклость направлена вниз
выпуклость направлена вверх
выпуклость направлена вниз.
При переходе через точки ,
вторая производная меняет знак. Значение функции в обеих этих точках одно и то же:
.
Таким образом, точками перегиба графика являются точки
и
.
6. Вертикальных асимптот, очевидно, нет. Предел функции при равен нулю:
.
Следовательно, ось Ox есть горизонтальная асимптота графика (очевидно, , и наклонных асимптот нет).
При построении графика учтем дополнительно, что при всех значениях аргумента , т.е. кривая расположена выше оси Ox, а также тот факт, что кривая симметрична относительно прямой
(так как разность
содержится в аналитическом выражении функции в квадрате).
Возьмем для определенности ,
.
Рис. 4