Лекция 1.Число. Переменная. Функция
Лекция 1.Число. Переменная. Функция
Действительные числа. Числовая прямая
Напомним основные понятия, связанные с понятием действительного числа.
Натуральные числа – это целые положительные числа.
N – множество всех натуральных чисел:
N = {1, 2, 3, ...}.
Z – множество всех целыхчисел:
Z = {0, ±1, ±2, ±3, ...}.
Рациональными числами называются числа вида , где m – целое, n – натуральное.
Q – множество всех рациональных чисел: , если
,
. Очевидно, что N Ì Z Ì Q.
Числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными. Таковы, например, ,
, число p. Обычно множество всех иррациональных чисел обозначают через I. Очевидно, множества I и Q не имеют общих элементов.
Множество Q всех рациональных чисел и множество I всех иррациональных чисел образуют множество R всех действительных чисел:
R = Q È I.
Геометрически множество всех действительных чисел изображается в виде числовой прямой (или числовой оси). Числовая прямая – это прямая, на которой выбраны: начало отсчета, положительное направление и масштаб (единичный отрезок).
Между множеством всех действительных чисел и множеством всех точек числовой прямой существует взаимно однозначное соответствие, т.е.
Каждому действительному числу соответствует одна определенная точка числовой прямой и, наоборот, каждой точке числовой прямой – одно определенное число. Поэтому понятия «число x» и «точка x» равнозначны.
Перечислим простейшие числовые множества на прямой. Пусть a и b – два числа, причем .
Множество всех чисел, удовлетворяющих неравенству , называется отрезком или сегментом [a, b].
Множество всех чисел, удовлетворяющих строгому неравенству , называется интервалом(a, b).
Полуинтервалы [a, b) и (a, b] определяются как множества чисел, удовлетворяющих соответственно неравенствам и
.
Аналогично определяются бесконечные интервалы и полуинтервалы ,
,
,
. При этом вся числовая прямая есть
.
В дальнейшем для всех перечисленных множеств мы будем также применять общий термин «промежуток».
Модуль действительного числа
Модулем, или абсолютной величиной действительного числа x называется само число x, если x неотрицательно, и противоположное число, т.е. –x, если x отрицательно:
Очевидно, по определению, .
Известны следующие свойства абсолютных величин:
.
Модуль разности двух чисел есть расстояние между точками x и a на числовой прямой (при любых x и a).
Из этого следует, что, в частности, решениями неравенства (где
) являются все точки x интервала
, т.е. числа, удовлетворяющие неравенству
.
Такой интервал называется e-окрестностью точки
. Заметим, что вообще окрестностью точки a называется всякий интервал, содержащий точку a.
Предел функции
Функция представляет собой переменную величину, и поэтому к ней применимо понятия предела, следует лишь указать предел, к которому стремится ее аргумент.
Сформулируем строгое определение предела функции. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки a, кроме, может быть, точки a.
Определение 1. Число b называется пределом функции при x, стремящемся к a, если для любого (сколь угодно малого) числа
существует такое
, что для всех x, отличных от a и удовлетворяющих неравенству
,
выполняется неравенство
.
Если b есть предел при
, то пишут
,
или при
.
Дадим геометрическую иллюстрацию определения предела:
для всех точек точки графика функции
лежат внутри полосы, ограниченной прямыми
и
(рис. 11).
![]() |
Рис. 11 |
Замечание. Если при
и при этом
, то говорим, что
стремится к b слева, и пишем
. Аналогично определяется предел справа:
, если
стремится к b, когда x стремится к a, оставаясь больше a. В частности, если
стремится к b при
справа (соответственно слева), то пишем
(соответственно
).
Данное выше определение предела относилось к случаю, когда x стремится к конечному пределу а. Рассмотрим теперь случай .
Определение 2. Число b есть предел функции при
, если для любого (сколь угодно малого) числа
существует такое
, что для всех x, удовлетворяющих неравенству
, выполняется неравенство
.
В этом случае пишем .
Если переменная величина является последовательностью, т.е. все ее значения можно занумеровать натуральными числами
,
, ...,
, ...,
то ее можно рассматривать как функцию натурального аргумента:
,
.
Определение 2 можно рассматривать, в частности, и как определение предела последовательности (если считать, что аргумент x принимает лишь целые положительные значения).
2.2. Бесконечно малые величины. Связь переменной
величины с ее пределом. Свойства бесконечно малых
Определение.Переменная величина называется бесконечно малой, если она стремится к нулю.
В частности, функция есть бесконечно малая при
(или при
), если
(соответственно,
).
Теорема. Число b есть предел переменной y тогда и только тогда, когда
(1) ,
где a – бесконечно малая.
Доказательство. 1. Необходимость. Пусть . Пусть задано
. Тогда для всех значений y, начиная с некоторого, будет
. Обозначим
. Очевидно, для всех значений a, начиная с некоторого, будет
, следовательно, a – бесконечно малая. Итак,
,
где a – бесконечно малая.
2. Достаточность. Из равенства (1) следует . Пусть задано
. Так как a – бесконечно малая, то для всех значений a, начиная с некоторого, будет
, следовательно, для всех значений y, начиная с некоторого, будет
. А это значит, что
.
Теорема доказана.
Перечислим свойства бесконечно малых величин.
1. Если a – бесконечно малая и не обращается в нуль, то стремится к бесконечности.
Заметим, что переменная величина, стремящаяся к бесконечности, называется бесконечно большой. Поэтому сформулированное выше свойство можно переформулировать так: величина, обратная бесконечно малой, есть бесконечно большая величина.
2. Алгебраическая сумма двух (трех и вообще конечного числа) бесконечно малых величин есть бесконечно малая.
Иначе говоря, если , где a, b – бесконечно малые, то и u – бесконечно малая.
3. Произведение бесконечно малой величины на величину ограниченную есть величина бесконечно малая.
(Т. е. если a – бесконечно малая, z – ограниченная, то есть бесконечно малая.)
Следствие 1.Произведение двух бесконечно малых есть величина бесконечно малая.
Следствие 2. Если a – бесконечно малая, , то
– бесконечно малая.
4. Если a– бесконечно малая, а переменная величина z имеет предел, отличный от нуля, то есть величина бесконечно малая.
Следует заметить, что сформулированные свойства 1–4 являются, по существу, теоремами и в более подробном курсе математики излагаются с доказательствами. Здесь мы докажем одно из них, например свойство 3.
Пусть a– бесконечно малая, z – ограниченная величина, . Надо доказать, что
– бесконечно малая. Пусть задано
. Возьмем
. Так как a– бесконечно малая, то для всех значений a, начиная с некоторого, будет
, т.е.
. Тогда
, т.е.
. Доказательство закончено.
2.3. Предел суммы, произведения, частного.
Предельный переход в неравенствах
Мы будем рассматривать предел функций ,
при
или при
.
1. Предел алгебраической суммы конечного числа переменных равен алгебраической сумме пределов:
.
(Вообще .)
2. Предел произведения конечного числа переменных равен произведению пределов этих переменных:
.
(Вообще .)
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела: .
3. Предел частного двух переменных равен частному пределов этих переменных, если предел знаменателя отличен от нуля:
(если
).
Утверждения 1–3 также являются теоремами. Их доказательства основаны на теореме о связи переменной величины с ее пределом.
Приведем в качестве примера доказательство утверждения 2.
Пусть ,
. Надо доказать, что
. Имеем:
,
, где
,
– бесконечно малые.
.
Обозначим . В соответствии со свойствами бесконечно малых a есть бесконечно малая. Так как
, где a – бесконечно малая, то
. Доказательство закончено.
Можно доказать также следующие утверждения.
4. Если переменная y неотрицательна, то ее предел неотрицателен: если , то
.
5. Если для переменных u и v выполняется неравенство , то
.
6. Если для переменных u, z и v выполняются неравенства и при этом u и v стремятся к одному пределу b (
), то переменная z стремится к тому же пределу:
.
7. Достаточный признак существования предела:если переменная величина v возрастает и ограничена, т.е. , то эта переменная величина имеет предел:
, где
.
Аналогичное утверждение справедливо и для убывающей ограниченной величины.
Замечательные пределы
1. Предел функции при
равен 1:
. (1)
Рассмотрим примеры применения формулы (1).
Пример 1.
.
Пример 2.
.
2. Предел переменной величины при
.
Теорема. Переменная величина при
имеет предел, заключенный между 2 и 3.
Доказательство этой теоремы основано на достаточном признаке существования предела, сформулированном выше.
Определение.Предел переменной величины при
называется числом е:
.
Заметим, что число e – иррациональное число
е = 2,7182818284...
(Обычно в вычислениях полагают .)
Можно доказать, что
. (3)
(В формуле (2) переменная является последовательностью, в формуле (3) переменная
является функцией.)
Сделав в формуле (3) замену , получаем
. (4)
Примеры:
1)
;
2) ;
3)
;
4)
.
Число е играет очень важную роль в математике и ее приложениях.
Показательная функция с основанием е:
называется экспонентной.
Логарифмы с основанием е называют натуральными логарифмами и обозначают , т.е. вместо
пишут
. Очевидно, если
, то
.
Непрерывность функций
Определение 1. Функция называется непрерывной в точке
, если она определена в этой точке и в некоторой окрестности этой точки и если
.
С геометрической точки зрения непрерывная функция – это функция, график которой есть непрерывная кривая. Существует несколько эквивалентных определений непрерывности.
Обозначим разность через
. Будем говорить, что при переходе от значения
к значению x аргумент получает приращение
*. При этом функция y получает соответствующее приращение
. С учетом сказанного, равенство (1) принимает вид:
.
Определение. Функция называется непрерывной в точке
, если она определена в этой точке и некоторой ее окрестности и если
. (2)
(Это определение легко запоминается в следующей форме: «функция непрерывна, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции».)
Пример. Покажем, что функция непрерывна в произвольной точке
. Действительно, придадим аргументу приращение
. Тогда функция получит приращение
.
Если , то
(так как
); при этом
– ограничена. Поэтому
.
Следовательно, функция непрерывна.
Аналогично можно доказать, что любая основная элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.
Справедливы следующие теоремы:
1. Если функции и
непрерывны в точке
, то их сумма
также непрерывна в этой точке.
2. Произведение двух непрерывных функций есть непрерывная функция.
3. Частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная, если знаменатель в рассматриваемой точке не обращается в нуль (т.е. если и
непрерывны в точке
и
, то
непрерывна в точке
).
4. Если непрерывна при
и
непрерывна в точке
, то сложная функция
непрерывна в точке
.
Доказательства этих утверждений основаны на свойствах пределов.
На этих утверждениях* основана следующая теорема.
Теорема. Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.
Если функция не является непрерывной в точке
, то точка
называется точкой разрыва функции
. Различают точки разрыва первого рода, когда существуют конечные пределы
и
, но
¹
, и второго рода, когда хотя бы один из пределов слева и справа бесконечен или не существует. Среди точек разрыва первого рода следует отметить также точки устранимого разрыва, когда предел функции
при
существует, но не равен
.
Примеры:
1) . Здесь
– точка разрыва первого рода, так как предел при
слева равен
, а предел при
справа равен
;
2) . Здесь
– точка разрыва второго рода;
3) Здесь
– точка устранимого разрыва, так как существует
.
Определение 3.Если функция непрерывна в каждой точке некоторого промежутка, то говорят, что функция непрерывна на этом промежутке.
Решение задач
1)
;
2) ;
3) ;
4) ;
здесь теорема о пределе частного неприменима: и числитель, и знаменатель стремятся к нулю. Предел находят путем разложения числителя и знаменателя на множители:
.
(Здесь мы сократили дробь на множитель , который хотя и является бесконечно малой величиной при
, но все же отличен от нуля:
, но
.)
5) ;
делим числитель и знаменатель на и учитываем, что
:
;
6) ;
7) ;
умножим числитель и знаменатель на :
;
8)
;
9)
;
10)
;
11) ;
12)
;
13)
;
Можно иначе:
.
Лекция 3. Основы дифференциального
исчисления
Производная
Пусть функция определена на некотором промежутке X. Придадим значению аргумента
произвольное приращение
так, чтобы точка
также принадлежала X. Тогда функция
получит соответствующее приращение
.
Определение. Производнойфункции в точке
называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при
(если этот предел существует):
.
Производная имеет несколько обозначений: ,
,
. Иногда в обозначении производной используется индекс, указывающий по какой переменной взята производная, например,
.
Если функция в точке имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке. Нахождение производной называется дифференцированием.
Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка X, называется дифференцируемой на этом промежутке. В этом случае также является функцией от аргумента x, определенной на этом промежутке.
Мгновенная скорость
Пусть функция описывает закон движения материальной точки по прямой (как зависимость пути s от времени t). Тогда за промежуток времени
пройденный путь равен
. Отношение
есть средняя скорость за время
. А тогда
есть мгновенная скорость в момент времени t. Итак, мгновенная скорость есть производная пути по времени.
Пример. Пусть x – количество вещества, образовавшегося при химической реакции к моменту времени t. Очевидно, x есть функция времени: . Если t получает приращение
, то x получает соответствующее приращение
. Тогда отношение
представляет собой среднюю скорость химической реакции за время с момента t до момента
, а предел этого отношения при
, т.е.
– скорость химической реакции в момент t.
Связь между дифференцируемостью
и непрерывностью
Теорема. Если функция дифференцируема в точке , то она и непрерывна в этой точке.
Доказательство. Пусть дифференцируема в данной точке, т.е. существует предел
.
Тогда , где a – бесконечно малая. Отсюда
.
Пусть . Тогда
.
Итак, бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е. функция непрерывна.
Теорема доказана.
Обратное утверждение неверно: функция, непрерывная в точке, может не иметь производной в этой точке.
Правила дифференцирования
Пусть ,
– дифференцируемые функции, c – константа. Тогда:
I. (постоянный множитель выносится за знак производной).
II. (производная алгебраической суммы равна алгебраической сумме производных).
III. .
IV. .
V. Если ,
, то
.
Докажем в качестве примера правило III.
1. Дадим x приращение . Тогда функции u и v получают значения
,
, а функция
– значение
.
2. Найдем приращение функции
3. Состав отношение :
.
4. Вычислим предел при :
.
Итак, .
Таблица производных
1. .
2. .
3. .
.
4. .
.
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10. .
11. .
12. .
Схему доказательства формулы 2 мы рассмотрели ранее. Докажем еще в качестве примера формулы 5 и 7.
Пусть . Придадим x приращение
. Получаем
=
.
Составим отношение
.
Перейдем к пределу при :
Пусть . Применим правило дифференцирования дроби:
Приведем теперь примеры вычисления производных с применением формул и правил дифференцирования.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
5)
;
6)
Дифференциал
Пусть функция имеет в некоторой точке x производную
.
В соответствии с определением производной
Отсюда
,
где a – бесконечно малая при . Выразим
:
.
Если , то в правой части этого равенства первое слагаемое при малых
более важно, чем второе*. Это первое слагаемое (уже независимо от того, будет ли
) называют дифференциалом. Сформулируем понятие дифференциала более точно.
Определение.Дифференциалом функции