Решение задач 1-3 контрольной работы № 1

Задача 1. Решить задачу, пользуясь диаграммой Эйлера-Венна.

Группа туристов из 100 человек пробыла в городе N три дня. За это время драматический театр посетили 28 туристов, оперный – 42, кукольный – 30. И в драматическом, и в оперном побывало 10 человек; в драматическом и кукольном – 8; в оперном и кукольном – 5. Все три театра посетили три человека. Сколько туристов не были ни в одном театре?

Решение. В задаче идет речь о трех множествах Д, О, К – зрителей драмы, оперы и кукольного спектакля соответственно. Универсальное множество U – это множество туристов группы. Используя обозначение – количество элементов множества Х, запишем кратко условие задачи:

U

В задаче требуется найти .

Перенесем эти данные на диаграмму Эйлера-Венна. Разметку диаграммы начинаем с множества – здесь три элемента. В множестве - 10 элементов, но три из них уже учтены. Оставшиеся 7 элементов проставляем на диаграмме и т.д.

Теперь на диаграмме (рис. 1.6) все элементы учтены ровно по одному разу, следовательно, количество туристов, которые побывали хотя бы в одном театре, равно

Количество туристов, не побывавших ни в одном театре

U

Ответ: не были ни в одном театре 20 человек.

Задача 2. Задано универсальное множество U и множества . Перечислить элементы множества . Записать булеан множества Х, какое-либо разбиение множества Y, покрытие множества Z.

Решение. Для нахождения множества W выполним операции над множествами в следующем порядке:

1) - по определению операции дополнения;

2) - по определению операции пере-сечения множеств;

3) .

Итак,

Для построения булеана множества X воспользуемся двоичной записью числа. Если множество X содержит n элементов, его булеан содержит подмножеств – в нашем случае 8 подмножеств. Будем записывать номер подмножества трехразрядным двоичным числом от 0 до 7, включая в подмножество только те элементы, которым соответствует единица в двоичном разряде (табл. 1.2).

Таблица 1.2

Булеан множества X

Номер подмножества	Двоичная запись номера	Подмножества множества
		{} = Æ
		{ 7}
		{ 4 }
		{ 4,7}
		{2 }
		{2, 7}
		{2,4 }
		{2,4,7}

Итак, в булеан множества Х включаем пустое множество, само множество Х, все одноэлементные подмножества, все двухэлементные подмножества множества Х:

B Æ, .

Для множества Y построим разбиение, состоящее из трех блоков R , например, таким образом:

Определение разбиения выполняется: множества не пусты, не пересекаются ( Æ, Æ, Æ), их объединение равно множеству Y:

Для построения покрытия выберем подмножества и . Полученная система множеств P состоит из двух блоков, объединение которых равно множеству Z:

.

Задача 3. Упростить выражение, пользуясь законами алгебры множеств:

.

Решение. Договоримся считать, что операция пересечения множеств имеет более высокий приоритет, чем объединение множеств, т.е., если нет скобок, изменяющих приоритет, вначале выполняется пересечение, а затем объединение. Пользуясь этим правилом и законом ассоциативности, определим порядок действий:

.

Выполним преобразования, указывая номер закона (табл. 1.1) над знаком равенства:

1) ;

2) ;

3)

Ответ: .

Задача 4 контрольной работы 1 выполняется аналогично доказательству закона дистрибутивности (1.1) в подразделе 1.1.7.

1.1.9. Контрольные вопросы и упражнения

1. Вставьте обозначения числовых множеств:

____ - множество натуральных чисел;

____ - множество целых чисел;

____ - множество рациональных чисел;

____ - множество действительных чисел.

2. Вставьте пропущенный знак Î или Ï :

117 ____ N; 22,4 ____ Z; 4/3 ____ Q;

____ Q; ____R; p ____ Z.

3. Принадлежит ли множеству корней уравнения число ?

4. Какими способами можно задать множество?

5. Запишите множество действительных корней уравнения . Как записать ответ, если требуется найти множество целых корней этого уравнения?

6. Что такое подмножество данного множества? Какой символ используется для записи “множество А является подмножеством множества В”? Запишите его: А ____ В.

7. Вставьте пропущенный символ Î или Í:

1 ____ {1,2,3}; {1}____ {1,2,3};

Æ ____ {1,2,3}; {2,3}____ {1,2,3}.

8. Обведите кружком номер правильного ответа:

Множество всех элементов, принадлежащих как множеству А, так и множеству В, называется:

1) объединением множеств А и В;

2) пересечением множеств А и В;

3) разностью множеств А и В.

9. Вставьте пропущенные знаки операций над множествами:

___ ;

___ ;

___ .

10. Что такое булеан множества Х?

11. Является ли булеаном множества система подмножеств ?

12. Является ли разбиением множества система подмножеств ? Является ли она покрытием данного множества?

13. Нарисуйте диаграмму Эйлера – Венна для множества . Нарисуйте диаграмму для . Сравните заштрихованную часть на обеих диаграммах. Как называется закон, который Вы проиллюстрировали?

14. Нарисуйте диаграммы Эйлера – Венна для левой и правой частей закона де Моргана. Сравните их.

15. Запишите законы алгебры множеств. Запомните их названия.

Бинарные отношения