Отношение рода и вида между понятиями

Математические понятия могут находиться в разных отноше­ниях.

Понятия находятся в отношении рода и вида, если объем одного понятия включает объем другого понятия, но не совпадает с ним.

Примеры:

1)Квадрат и прямоугольник находятся в отношении рода и вида, где прямоугольник - родовое понятие, а квадрат - видовое поня­тие, так как все квадраты являются прямоугольниками, но не все прямоугольники являются квадратами.

2) Отрезок и прямая не находятся в отношении рода и вида, так как отрезок - это часть прямой, а не ее разновидность. Они нахо­дятся в отношении части и целого.

Уже в дошкольном возрасте дети рано начинают понимать ро­довидовые отношения, не называя их явно. Например, выполняя задание: «Назови одним словом» (рис. 4), они подразумевают, что понятия «квадрат», «прямоугольник», «трапеция», «ромб»,

«параллелограмм» являются видовыми по отношению к понятию «четырехугольника.

Если объемы понятий совпадают, то эти понятия тождественны.

Например, понятия «равносторонний треугольник» и «равно­угольный треугольник» тождественны. В школе на уроках русского языка дети изучают понятие «синонимы» — слова, различные по звучанию, но тождественные по смыслу.

Некоторые особенности родовидовых отношений между понятиями

1) Понятия рода и вида относительны. Одно и то же понятие мо­жет быть родовым по отношению к одному понятию и видовым по отношению к другому. Например: понятие «прямоугольник» - ро­довое к понятию «квадрат», но видовое к понятию «четырехуголь­ник».

2) Для данного понятия часто можно указать несколько родовых понятий. Например, для понятия «квадрате родовыми являются по­нятия «прямоугольник», «ромб», «четырехугольник», «многоуголь­ник», «геометрическая фигура».

3) Видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия. Например: квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника.

4) Если два понятия находятся в отношении рода и вида, то между их объемами и содержаниями существует взаимосвязь: если объем больше, то содержание меньше, и наоборот. Например, объем понятия «прямоугольник» больше, чем объем понятия «квадрат», так как все объекты второго понятия являются и объектами первого понятия. Содержание понятия «прямоугольник» меньше, чем содер­жание понятия «квадрат», так как квадрат обладает всеми свойства­ми прямоугольника и еще другими свойствами, присущими только ему.

Задание 2

Назовите, какие из перечисленных понятий находятся в отношении рода и вида: круг, ломаная, треугольник, отрезок, многоугольник, радиус, окружность.

Определение понятий

Для распознавания объекта необязательно проверять у него существенные свойства, достаточно лишь некоторых. Этим полются, когда понятию дают определение.

Определение понятия - это логическая операция, которая укрывает содержание понятия либо устанавливает значение терм

Определение понятия позволяет отличать определяемые проекты от других объектов. Так, например, определение понятий «прямоугольный треугольник» позволяет отличить его от др: треугольников.

Существуют различные виды определений. Различают явные и неявные определения (рис. 5).

Явные определения имеют форму равенства двух понятий. С из них называют определяемым, другое — определяющим.

Например: «Прямоугольный треугольник — это треугольна которого есть прямой угол». Здесь определяемое понятие — «примоугольный треугольник», а определяющее - «треугольник, у кого есть прямой угол».

Самый распространенный вид явных определений — это о деление через род и видовое отличие. Приведенное выше определение прямоугольного треугольника относится к таким определяем. Понятие «треугольник», содержащееся в определяющем птиц, является ближайшим родовым понятием по отношению понятию «прямоугольный треугольник», а свойство «иметь пругол» позволяет из всех треугольников выделить один из вид прямоугольный треугольник.

Видовое отличие — существенное свойство, которое отличае видовое понятие от всего рода.

Структура определения через род и видовое отличие изобра; схематично на рисунке 6. По данной схеме можно строить ощления понятий не только в математике, но и в других науках.

Основные правила определения через род и видовое отличие

1) Определение должно быть соразмерным.

Это означает, что объемы определяемого и определяющего по­нятий должны совпадать. Например, в определении «Квадрат — это четырехугольник с равными сторонами» допущена ошибка. Здесь объем определяемого понятия меньше объема определяющего поня­тия (в объеме определяющего понятия содержатся ромбы, которые необязательно являются квадратами).

2) В определении (или их системе) не должно быть порочного кру­га.

Круг возникает, когда определяемое понятие определяется через само себя. Круг в системе определений означает, что определяемое понятие определяется через определяющее, а определяющее через определяемое. Например: «Перпендикулярные прямые — это пря­мые, которые при пересечении образуют прямые углы. Прямые углы - это углы, которые образуются при пересечении перпендикулярных прямых».

3) Определение должно быть ясным.

Смысл всех терминов, входящих в определяющую часть, должен быть ясен и четко определен. Например, если дети не знакомы с прямым углом, им нельзя давать такое определение: «Прямоуголь­ник — это четырехугольник, у которого все углы прямые».

4) Определяемый объект должен существовать.

Иногда, давая определения по аналогии, допускают ошибки. Например: «Прямоугольный треугольник - это треугольник, у кото­рого все углы прямые». Для испрачения оплошности можно пред­ложить им нарисовать этот объект.

5) Принято называть ближайшее родовое понятие.

Для распознавания объекта необязательно проверять у него все существенные свойства, достаточно лишь некоторых. Этим пользу­ются, когда понятию дают определение.

Определение понятия — это логическая операция, которая рас­крывает содержание понятия либо устанавливает значение термина.

Определение понятия позволяет отличать определяемые объ­екты от других объектов. Так, например, определение понятия «прямоугольный треугольник» позволяет отличить его от других треугольников.

Существуют различные виды определений. Различают явные и неявные определения (рис. 5). Явные определения имеют форму равенства двух понятий. Одно из них называют определяемым, другое — определяющим.

Например: «Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого есть прямой угол». Здесь определяемое понятие — «прямо­угольный треугольник», а определяющее — «треугольник, у которого есть прямой угол».

Самый распространенный вид явных определений - это опре­деление через род и видовое отличие. Приведенное выше опреде­ление прямоугольного треугольника относится к таким определени­ям. Понятие «треугольник», содержащееся в определяющем поня­тии, является ближайшим родовым понятием по отношению к понятию «прямоугольный треугольник», а свойство «иметь прямой угол» позволяет из всех треугольников выделить один из видов — прямоугольный треугольник.

Видовое отличие - существенное свойство, которое отличает ви­довое понятие от всего рода.

Структура определения через род и видовое отличие изображена схематично на рисунке 6. По данной схеме можно строить опреде­ления понятий не только в математике, но и в других науках.

Для понятия часто существует несколько родовых понятий, так, например, для понятия «квадрат» можно сформулировать разные определения:

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны;

- это ромб, у которого все углы прямые;

- это четырехугольник, у которого все стороны равны и все углы прямые;

- это многоугольник, у которого 4 равные стороны и 4 пря­мых угла.

Удобным считается первое определение, так как «прямоуголь­ник» — ближайшее родовое понятие по отношению к понятию «квадрат».

6) Желательно, чтобы определяющее не содержало избыточных свойств.

Удобно перечислить многие существенные свойства, но опреде­ление становится громоздким. При работе с детьми иногда это пра­вило нарушают. Например, ребенок спешит сообщить все сущест­венные свойства квадрата и дает такое определение: «Квадрат — это четырехугольник, у которого 4 прямых угла и 4 равные стороны».

Задание 4

Имеются пи логические ошибки в следующих определениях:

• параллельные прямые — прямые, не имеющие общих точек или совпадающие;

• смежные углы — это углы, которые в сумме составляют 180 гра­дусов;

• прямоугольник - это четырехугольник, у которого все углы пря­мые, а противоположные стороны равны;

• тупоугольный треугольник — это треугольник, у которого все углы тупые;

• перпендикулярные прямые — это прямые, которые перпен­дикулярны.

При формировании у детей начальных математических пред­ставлений чаще всего применяют неявные определения, которые не имеют формы равенства двух понятий, например остенсивные и контекстуальные определения.

Остенсивное определение— это неявное определение, при кото­ром называют и показывают объект, термин для которого вводят.

Например:

- это круг (рис. 7).

Определения посредством показа отличаются неза­вершенностью, неокончательностью, но именно они связывают слова с вещами.

При ознакомлении дошкольников и младших школьников с математическими понятиями, особенно Рис 7 в начале обучения, в основном используются остенсивные определения. Однако в дальнейшем это требу­ет изучения существенных свойств объектов, то есть формирования у детей представлений об объеме и содержании понятий, первоначально определенных остенсивно.

Контекстуальное определение — неявное определение, в котором содержание нового понятия раскрывается в контексте — отрывке текста.

Например, при формировании у дошкольников счетной дея­тельности детей учат правильно использовать количественные и по­рядковые числительные: «Чтобы ответить на вопрос «сколько?», надо считать так: один, два, три, — это количественный счет, а что­бы ответить на вопрос «который?», надо считать так: первый, вто­рой, третий, — это порядковый счет».

Контекстуальные определения остаются в значительной мере неполными, нечеткими, поэтому необходимо выявление существен­ных свойств таким образом определенного понятия.

Математические предложения

Взаимосвязи между объектами и свойствами выражаются с по­мощью предложений. Предложения могут быть сформулированы при помощи слов и записаны при помощи математических символов:

Составные предложения образуются из элементарных с по­мощью союзов «и», «или», частицы «не» и др. Эти слова называются логическими связками.

Примеры составных предложений различных по структуре при­ведены на рисунке 8:

Задание 5

Определите структуру предложений и выявите в них элементар­ные предложения:

- «Параллельные прямые не пересекаются»;

- «Противоположные стороны прямоугольника параллельны и равны»;

- «Число оканчивается нулем или пятерной».