Математика и ее роль в жизни общества

МАТЕМАТИКА

Для педагогических училищ

Допущено Министерством образования Российской Федерации

в качестве учебного пособия для студентов учреждений среднего

профессионального образования

Москва

ИД «ФОРУМ» - ИНФРА-М 2011

УДК 51(072.32) ББК 22.1я723 Ф86

Рецензенты:

кандидат педагогических наук, заведующая кафедрой математики и методи­ки ее преподавания в начальной школе МГПУ, профессор Л.П. Стойдова; кандидат экономических наук, преподаватель математики ПК №16 г. Москвы, доцент кафедры высшей математики МИРЭА А.С.Ходос

Фрейдах Н.И.

Ф86 Математика для педагогических училищ. — М.: ИД «ФОРУМ»; ИНФРА-М, 2011. — 144 с. — (Профессиональное образование).

ISBN 978-5-8199-0341-4 (ИД «ФОРУМ») ISBN 978-5-16-003I92-7 (ИНФРА-М)

Учебно-методическое пособие написано в соответствии с государст­венным образовательным стандартом и предназначено для студентов педа­гогических колледжей, обучающихся по специальностям 050704 (дошколь­ное образование), 050705 (специальное дошкольное образование), 0507018 (специальная педагогика в специальных (коррекционных) образователь­ных учреждениях).

Пособие включает материал для лекиионно-практических занятий, ма­териал для контроля за самостоятельной работой студентов.

Книга предназначена для студентов, имеющих математическую подго­товку средней школы и изучающих математику как предмет цикла «Мате­матические и общие естественнонаучные дисциплины» (ЕН.01.). Здесь представлен краткий теоретический курс но математике для будущих вос­питателей детей дошкольного и школьного возраста, и том числе с про­блемами я развитии. В пособии изложены некоторые вопросы логики, теории множеств, теории величин, теории чисел, геометрический матери­ал, понятие текстовой задачи и ее решения. Курс снабжен опорными кон­спектами, вопросами для самоконтроля, заданиями для самостоятельной работы, вариантом рабочей программы с вопросами для итогого контроля.

Пособие может быть полезно воспитателям детских садов, групп про­дленного дня и родителям, желаюшим грамотно осуществлять математи­ческое развитие детей и помощь в изучении математики.

УДК 51(072.32)

ББК 22.1я723

ISBN978-5-8199-0341-4 (ИД«ФОРУМ») ©Н.И. Фрейлах, 2008

ISBN978-5-I6-003192-7 (ИНФРА-М) ©ИД «ФОРУМ*, 2008

Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ.. 6

ВВЕДЕНИЕ.. 6

ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ.. 9

1.1.Объем и содержание понятия. 9

1.2. Отношение рода и вида между понятиями. 10

1.3. Определение понятий. 11

1.4. Математические предложения. 15

1.5. Высказывания и высказывательные формы.. 20

1.6. Высказывания с кванторами. 21

1.7. Отношения следования и равносильности. 24

1.8. Умозаключения и их виды.. 24

1.9. Математическое доказательство. 29

ТЕМА 2. 35

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ.. 35

2.1. Понятие множества и элемента множества. 35

2.2. Способы задания множеств. 37

2.3. Отношения между множествами. 38

2.4. Операции над множествами. 41

2.5. Разбиение множества на классы.. 46

2.6. Соответствия между двумя множествами. 46

2.7. Равномощные множества. 48

2.8. Отношения между элементами одного множества. 49

2.9. Свойства отношений на множестве. 51

ТЕМА 3 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ... 57

3.1. Из истории развития геометрии. 57

3.2. Понятие геометрической фигуры.. 59

3.3. Геометрические фигуры на плоскости. 60

3.4. Многоугольники. 64

3.5. Геометрические фигуры в пространстве. 67

3.6. Многогранники. 67

3.7. Тела вращения. 70

ТЕМА 4. 74

ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ИЗМЕРЕНИЕ.. 74

4.1. Понятие величины.. 74

4.2. Свойства однородных величин. 74

4.3. Измерение величин. 75

4.4. Длина отрезка. 78

4.5. Площадь фигуры.. 80

4.6. Масса тела. 83

4.7. Промежутки времени. 84

4.8.Зависимостимежду величинами. 85

4.9. Из истории развития систем единых измерений. 85

ТЕМА 5. 91

НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И НУЛЬ.. 91

5.1. Этапы развития понятия натурального числа. 92

5.2. Натуральный ряд и его свойства. 93

5.3. Теоретико-множественный смысл натурального числа и нуля. 94

5.4. Натуральное число как результат измерения величины.. 97

5.5.Способы записи чисел. 98

5.6. Особенности десятичной системы счисления. 100

ТЕМА 6. 104

ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ.. 104

6.1. Понятие текстовой задачи и ее структура. 104

6.2. Методы решения задач. 106

6.3. Основные этапы решения задач. 108

6.4. Моделирование в процессе решения задач. 112

ПРИЛОЖЕНИЕ №1. 117

ПРЕДИСЛОВИЕ

Умение пользоваться математическими методами познания, к владение математическим языком, сформированное математиче­ских представлений, знание основных математических понятий и их взаимосвязей необходимо воспитателю для осуществления не только образовательных, но и общеразвивающих и коррекционных за­дач в процессе воспитания детей.

Данное пособие поможет не только студентам в изучении пред­мета, но и преподавателям в организации учебного процесса. В силу небольшого количества часов, предусмотренного учебным планом для изучения данного курса (40 часов), теоретический материал из­лагается в сжатой форме. При проведении лекций необходимо осу­ществлять деятельностный подход в обучении, студенты должны ак­тивно участвовать в обсуждении материала, применять свои знания в практической работе, использовать имеющиеся знания школьной программы по математике. Лекционный материал снабжен задания­ми, в процессе которых студенты используют знания предыдущих лекций и охватывают вопросы, которые будут изучаться в будущем. Таким образом осуществляется взаимосвязь теоретического и прак­тического материала. В приложении приведено содержание государ­ственного образовательного стандарта по предмету и вариант рабо­чей программы курса.

Для обеспечения мотивации в обучении на семинарских заняти­ях предлагаются для обсуждения вопросы («Вопросы для самостоя­тельной работы»), связанные с профессиональной деятельностью, раскрывающие необходимость научных знаний предмета, задания для повышения общей эрудированности. Опорные конспекты по­могут систематизировать и обобщить полученные знания, упростят процесс запоминания изученного. Вопросы для самоконтроля (в конце каждой темы) и итогового контроля (в приложении) могут использоваться для текущих зачетов и экзамена. Студенты имеют возможность самостоятельно подготовиться и проконтролировать себя, что активизирует их познавательную деятельность и стимули­рует к самообразованию. Изучение данного курса может быть базой для дальнейшего математического образования. Желающие расши­рить свои знания могут воспользоваться литературой, указанной в конце пособия.

При разработке пособия автор опирался на современные про­граммы школьных и дошкольных образовательных учреждений (в том числе специальных), учебники математики, методики матема­тического развития, методики преподавания математики в началь­ных классах. Автор благодарен Л.П. Стойловой за помощь, замеча­ния и полезные советы, которые сыграли большую роль при напи­сании данного пособия.

ВВЕДЕНИЕ

ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ

1.1.Объем и содержание понятия

— Чем фигуры отличаются? (Цветом.)

— Что есть у треугольника? (3 стороны, 3 угла.)

Таким образом, дети выясняют существенные и несуществен­ные свойства понятия «треугольник». Существенные свойства: «иметь три стороны», «иметь три угла»; несущественное свойство — цвет.

Содержание понятия- совокупность всех существенных свойств объекта.

Когда говорят о математическом объекте, имеют в виду всю со­вокупность объектов, обозначаемых одним термином.

Объем понятия — совокупность всех объектов, обозначаемая одним термином.

Например, содержание понятия «квадрат» — это совокупность всех существенных свойств, которыми обладают квадраты, а в объ­ем этого понятия входят все квадраты, которые только можно пред­ставить.

Итак, любое понятие характеризуется:

— термином (название);

— объемом;

— содержанием.

Задание 2

Назовите, какие из перечисленных понятий находятся в отношении рода и вида: круг, ломаная, треугольник, отрезок, многоугольник, радиус, окружность.

Определение понятий

Для распознавания объекта необязательно проверять у него существенные свойства, достаточно лишь некоторых. Этим полются, когда понятию дают определение.

Определение понятия - это логическая операция, которая укрывает содержание понятия либо устанавливает значение терм

Определение понятия позволяет отличать определяемые проекты от других объектов. Так, например, определение понятий «прямоугольный треугольник» позволяет отличить его от др: треугольников.

Существуют различные виды определений. Различают явные и неявные определения (рис. 5).

Явные определения имеют форму равенства двух понятий. С из них называют определяемым, другое — определяющим.

Например: «Прямоугольный треугольник — это треугольна которого есть прямой угол». Здесь определяемое понятие — «примоугольный треугольник», а определяющее - «треугольник, у кого есть прямой угол».

Самый распространенный вид явных определений — это о деление через род и видовое отличие. Приведенное выше определение прямоугольного треугольника относится к таким определяем. Понятие «треугольник», содержащееся в определяющем птиц, является ближайшим родовым понятием по отношению понятию «прямоугольный треугольник», а свойство «иметь пругол» позволяет из всех треугольников выделить один из вид прямоугольный треугольник.

Видовое отличие — существенное свойство, которое отличае видовое понятие от всего рода.

Структура определения через род и видовое отличие изобра; схематично на рисунке 6. По данной схеме можно строить ощления понятий не только в математике, но и в других науках.

Основные правила определения через род и видовое отличие

1) Определение должно быть соразмерным.

Это означает, что объемы определяемого и определяющего по­нятий должны совпадать. Например, в определении «Квадрат — это четырехугольник с равными сторонами» допущена ошибка. Здесь объем определяемого понятия меньше объема определяющего поня­тия (в объеме определяющего понятия содержатся ромбы, которые необязательно являются квадратами).

2) В определении (или их системе) не должно быть порочного кру­га.

Круг возникает, когда определяемое понятие определяется через само себя. Круг в системе определений означает, что определяемое понятие определяется через определяющее, а определяющее через определяемое. Например: «Перпендикулярные прямые — это пря­мые, которые при пересечении образуют прямые углы. Прямые углы - это углы, которые образуются при пересечении перпендикулярных прямых».

3) Определение должно быть ясным.

Смысл всех терминов, входящих в определяющую часть, должен быть ясен и четко определен. Например, если дети не знакомы с прямым углом, им нельзя давать такое определение: «Прямоуголь­ник — это четырехугольник, у которого все углы прямые».

4) Определяемый объект должен существовать.

Иногда, давая определения по аналогии, допускают ошибки. Например: «Прямоугольный треугольник - это треугольник, у кото­рого все углы прямые». Для испрачения оплошности можно пред­ложить им нарисовать этот объект.

5) Принято называть ближайшее родовое понятие.

Для распознавания объекта необязательно проверять у него все существенные свойства, достаточно лишь некоторых. Этим пользу­ются, когда понятию дают определение.

Определение понятия — это логическая операция, которая рас­крывает содержание понятия либо устанавливает значение термина.

Определение понятия позволяет отличать определяемые объ­екты от других объектов. Так, например, определение понятия «прямоугольный треугольник» позволяет отличить его от других треугольников.

Существуют различные виды определений. Различают явные и неявные определения (рис. 5). Явные определения имеют форму равенства двух понятий. Одно из них называют определяемым, другое — определяющим.

Например: «Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого есть прямой угол». Здесь определяемое понятие — «прямо­угольный треугольник», а определяющее — «треугольник, у которого есть прямой угол».

Самый распространенный вид явных определений - это опре­деление через род и видовое отличие. Приведенное выше опреде­ление прямоугольного треугольника относится к таким определени­ям. Понятие «треугольник», содержащееся в определяющем поня­тии, является ближайшим родовым понятием по отношению к понятию «прямоугольный треугольник», а свойство «иметь прямой угол» позволяет из всех треугольников выделить один из видов — прямоугольный треугольник.

Видовое отличие - существенное свойство, которое отличает ви­довое понятие от всего рода.

Структура определения через род и видовое отличие изображена схематично на рисунке 6. По данной схеме можно строить опреде­ления понятий не только в математике, но и в других науках.

Для понятия часто существует несколько родовых понятий, так, например, для понятия «квадрат» можно сформулировать разные определения:

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны;

- это ромб, у которого все углы прямые;

- это четырехугольник, у которого все стороны равны и все углы прямые;

- это многоугольник, у которого 4 равные стороны и 4 пря­мых угла.

Удобным считается первое определение, так как «прямоуголь­ник» — ближайшее родовое понятие по отношению к понятию «квадрат».

6) Желательно, чтобы определяющее не содержало избыточных свойств.

Удобно перечислить многие существенные свойства, но опреде­ление становится громоздким. При работе с детьми иногда это пра­вило нарушают. Например, ребенок спешит сообщить все сущест­венные свойства квадрата и дает такое определение: «Квадрат — это четырехугольник, у которого 4 прямых угла и 4 равные стороны».

Задание 4

Имеются пи логические ошибки в следующих определениях:

• параллельные прямые — прямые, не имеющие общих точек или совпадающие;

• смежные углы — это углы, которые в сумме составляют 180 гра­дусов;

• прямоугольник - это четырехугольник, у которого все углы пря­мые, а противоположные стороны равны;

• тупоугольный треугольник — это треугольник, у которого все углы тупые;

• перпендикулярные прямые — это прямые, которые перпен­дикулярны.

При формировании у детей начальных математических пред­ставлений чаще всего применяют неявные определения, которые не имеют формы равенства двух понятий, например остенсивные и контекстуальные определения.

Остенсивное определение— это неявное определение, при кото­ром называют и показывают объект, термин для которого вводят.

Например:

- это круг (рис. 7).

Определения посредством показа отличаются неза­вершенностью, неокончательностью, но именно они связывают слова с вещами.

При ознакомлении дошкольников и младших школьников с математическими понятиями, особенно Рис 7 в начале обучения, в основном используются остенсивные определения. Однако в дальнейшем это требу­ет изучения существенных свойств объектов, то есть формирования у детей представлений об объеме и содержании понятий, первоначально определенных остенсивно.

Контекстуальное определение — неявное определение, в котором содержание нового понятия раскрывается в контексте — отрывке текста.

Например, при формировании у дошкольников счетной дея­тельности детей учат правильно использовать количественные и по­рядковые числительные: «Чтобы ответить на вопрос «сколько?», надо считать так: один, два, три, — это количественный счет, а что­бы ответить на вопрос «который?», надо считать так: первый, вто­рой, третий, — это порядковый счет».

Контекстуальные определения остаются в значительной мере неполными, нечеткими, поэтому необходимо выявление существен­ных свойств таким образом определенного понятия.

Математические предложения

Взаимосвязи между объектами и свойствами выражаются с по­мощью предложений. Предложения могут быть сформулированы при помощи слов и записаны при помощи математических символов:

Составные предложения образуются из элементарных с по­мощью союзов «и», «или», частицы «не» и др. Эти слова называются логическими связками.

Примеры составных предложений различных по структуре при­ведены на рисунке 8:

Задание 5

Определите структуру предложений и выявите в них элементар­ные предложения:

- «Параллельные прямые не пересекаются»;

- «Противоположные стороны прямоугольника параллельны и равны»;

- «Число оканчивается нулем или пятерной».

Задание 6

Выберите предложения, к которым можно задать вопрос, истинно

Очевидно, что не ко всем предложениям можно задать вопрос о его истинности. Среди предложений выделяют высказывания и высказывательные формы.

Задание ребенку: «Возьми черный треугольник». Выбрав фигу­ру, ребенок формулирует вслух или подразумевает предложение: «Вот черный треугольник», что другими словами значит: «Данная фигура черного цвета и является треугольником». Выявим логичес­кую структуру этого высказывания и содержание элементарных ма­тематических предложений, входящих в состав этого высказывания.

Структура: «А и В»; элементарные предложения: А - «Данная фигура черного цвета», В - «Данная фигура - треугольнике.

Выбор ребенка оценивается воспитателем, исходя из правил ло­гики, что отображено на рисунке II.

2) Наглядный материал изображен на рисунке J2.

Задание ребенку: «Возьми фигуру, похожую на яблоко по цвету или по форме». Свой выбор ребенок сопровождает словами (или их подразумевает): «Вот фигура, похожая на яблоко по цвету или по форме». Выявим логическую структуру этого высказывания и содер­жание элементарных математических предложений, входящих в со­став этого высказывания.

Структура: «А или В»; элементарные предложения: А — «Фигура имеет цвет как у яблока», В - «Фигура имеет форму как у яблока».

Высказывания с кванторами

Высказывательные формы можно обратить в высказывание, не только подставив значения переменных. Иногда используют другие способы.

Задание 9

Запишите натуральные числе от 1 до 9. Определите значение ис­тинности предложений:

«Числа однозначные»; «Числа отрицательные»;

«Числа четные».

Нельзя ответить на вопрос, истинны или ложны эти предложе­ния, так как они являются высказывательными формами. Для обра­щения их в высказывания необходимо уточнение, о каких числах идет речь. Для этого можно, например, в начале данных предложе­ний поставить слова «все» или «некоторые».

Слова, которые превращают высказывательную форму в выска­зывание, называются кванторами. Кванторы бывают двух видов: кванторы общности («все», «любой», «всякий», «каждый?) и кванто­ры существования («некоторые», «существуют», «имеются», «найдет­ся», «есть», «хотя бы один»).

При изменении вида квантора значение истинности высказыва­ния может поменяться, а может сохраниться. Например, для чисел из задания 9 предложения: «Все числа однозначные», «Имеются од­нозначные числа», «Некоторые из данных чисел четные» — истин­ные высказывания; а предложения: «Некоторые числа отрицатель­ные», «Все числа отрицательные», «Все числа четные» — ложные высказывания.

Обычно мы определяем значение истинности интуитивно вер­но. При затруднении, чтобы установить значение истинности вы­сказываний с кванторами, надо знать некоторые правила.

Истинность высказываний с квантором общности устанавлива­ется путем доказательства. Чтобы убедиться в ложности, доста­точно привести контрпример.

Истинность высказывании с квантором существования устанав­ливается при помощи конкретного примера. Чтобы убедиться в его ложности, необходимо провести доказательство.

Например, рассмотрим предложения для чисел из задания 9:

«Все числа однозначные» - истинное высказывание, так как, проверив каждое число (способ доказательства - полная индукция), мы убеждаемся в справедливости высказывания.

«Все числа четные» — ложное высказывание, так как, например, число 5 не является отрицательным (контрпример).

«Некоторые из данных чисел четные» — истинное высказыва­ние, так как, например, число 4 — четное (пример).

«Некоторые числа отрицательные» — ложное высказывание, так как, проверив каждое число (способ доказательства — полная ин­дукция), можно в этом убедиться.

В предложенных примерах использовался такой способ доказа­тельства, как полная индукция (рассматривался каждый частный слу­чай), возможны и другие способы доказательств (см. п. 1.9).

Часто в математических предложениях кванторы общности опускаются, но подразумеваются. Например, в предложении «Сум­ма углов треугольника равна 180°» квантор общности явно не зву­чит, но подразумевается: «Сумма углов любого треугольника равна 180°».

Задание 10

Установите значение истинности денных предложений. Свои отве­ты обоснуйте:

• «Любой прямоугольник является квадратом».

• «У всех выпуклых четырехугольников сумма углов рана 360°».

• «Существуют треугольники, у которых все углы тупые».

• «Существуют равносторонние треугольники».

Уже в дошкольном возрасте детей учат правильно рассуждать. Например.

Имея математическое предложение: «Хотя бы один из

предметов - мяч», рассуждаем в соответствии с правилами логики (рис. 18).

Задание 11

Определите, в каком отношении находятся предложения А и В:

• А — «Данные углы вертикальны»; В — «Данные углы равны».

• А — «Фигура F — прямоугольник»; В — «Фигура F — квадрат».

• А — «Запись числа х оканчивается цифрой 5 или 0»; 8 — я Число х делится на 5».

Умозаключения и их виды

Знания об окружающем нас мире мы получаем не только путем наблюдений, но и посредством рассуждений. Не только в математи­ке, но и в жизни важно научиться рассуждать правильно, то есть ло­гично, а значит, по правилам логики. В логике вместо слова «рассуж­дение» используют термин «умозаключение».

Умозаключение — это способ получения нового знания на осно­ве некоторых имеющихся. Умозаключение состоит из посылок и за­ключения.

Посылки— это высказывания, содержащие исходные знания.

Заключение- это высказывание, содержащее новое знание, по­лученное из исходных.

Задание 12

Ответьте на вопросы и проведите рассуждения, выявив посыпки и заключение,-

• какой день недели будет завтра?

• какие из чисел: 576, 80, 401, 3200 не делятся на 10?

• любой ли квадрат можно назвать ромбом?

Умозаключения бывают разные, одни приводят к истине, другие могут быть ошибочными. В логике выделяют дедуктивные умозак­лючения (всегда истинные при истинных посылках) и недедуктив­ные (которые не всегда приводят к истинным выводам и требуют доказательства или опровержения).

Дедуктивное умозаключение — умозаключение, в котором посыл­ки и заключение находятся в отношении логического следования.

Если А1 A2 ..., An — посылки, В - заключение, то схема дедуктивного умозаключения:

ТЕМА 2

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

Задание 19.

Отношения между множествами

Два множества могут пересекаться и не пересекаться.

Задание 20

Назовите множества, которые можно выделить на рисунке 30. По­кажите их элементы. Сколько элементов в каждом множестве?

Берлине). Множества, независимо от количества элементов в них, изображают при помощи кругов (рис. 31).

Итак, можно выделить разные отношения между множествами:

1) множества не пересекаются;

2) множества пересекаются:

— множества имеют общие элементы, но ни одно не является подмножеством другого;

— одно множество является подмножеством другого, но мно­жества неравны;

— множества равны.

Задание 22

1. Изобразите при помощи кругов Эйлера отношения между мно­жествами, выделенными вами на рисунке 30.

2. Установите, какой из чертежей на рисунке 32 отражает отноше­ний между следующими множествами:

а) множество натуральных чисел, множество целых чисел, множе­ство рациональных чисел;

б) объем понятия я четырех угольник», объем понятия «прямоуголь­ник», объем понятия «ромб»;

в) множество пальцев на правой руке, множество пальцев на левой ноге, множество пальцев у человека;

г) объем понятия «женское имя», объем понятия «мужское имя», объем понятия «кличка животного».

Операции над множествами

Из элементов двух множеств можно образовывать новые мно­жества, которые являются результатом определенных операций над множествами.

Задание 23

Начертите два треугольника так, чтобы их пересечением были:

— точка;

— отрезок;

— треугольник;

— четырехугольник;

— пятиугольник;

— шестиугольник.

Задан

Задание 24

Задание 26

1. Перечислите элементы дополнения множества летних месяцев до множестве месяцев года.

2. Назовите характеристическое свойство дополнения множества А до N — множества натуральных чисел, если:

А — множество четных натуральных чисел; А - множество чисел, кратных 5; А - множество чисел, больших 10.

Задание 27

1. Определите необходимые условия для правильной классифика­ции в приведенном выше примере с кубиками.

2. Определите, является ли классификацией распределение треу­гольников на виды:

а) I - равносторонние, 6) I — остроугольные,

II — равнобедренные, II — тупоугольные,

III — разносторонние; III — прямоугольные.

Задание 29

Постройте графы четырех различных соответствий между множе­ствами X = {а, Ь, с, d} и У = {1, 2, 3, 4} тан, чтобы одно из них было взаимно однозначным.

Равномощные множества

Еще не умея считать, дети могут определять: поровну ли пред­метов в группах, каких предметов больше, каких меньше. Напри­мер, в процессе установления соответствий между множеством блю­дец и множеством чашек дети рассуждают так: «Если на каждом блюдце есть чашка, значит, чашек и блюдец поровну. Если на од­ном блюдце нет чашки, значит, блюдец больше, чем чашек, а чашек меньше, чем блюдец».

Пусть даны два множества: А = {а, Ъ, с, d } и В = {к, I, т, п. } Не пересчитывая число их элементов, а лишь установив взаимно одно­значное соответствие, можно сказать, что множество А содержит элементов столько же, сколько и множество В. Говорят, что эти множества имеют одинаковую мощность, или они равномощны. Пи­шут А -В.

Множества называются равномощными, если между их элемента­ми можно установить взаимно однозначное соответствие.

Задание 30

Постройте графы взаимно однозначных соответствий, если это возможно, между множествами:

— дней недели и цветов спектра;

— времен года и цветов спектра.

Нетрудно убедиться в том, что если равномощные множества конечны, то они содержат поровну элементов.

Конечные равномощные множества называются равночисленными.

Бесконечные множества могут быть равномощными, например, множество действительных чисел и множество точек прямой, и не равномощными, например, множество натуральных чисел и мно­жество точек прямой.

При сравнении двух групп предметов по количеству приемами наложения или приложения дети по существу устанавливают взаим­но однозначное соответствие между данными множествами (или между одним множеством и подмножеством другого). При этом ис­пользуются термины: «столько же, сколько», «меньше», «больше». Здесь, еще на дочисловом этапе, дети определяют, равномощны множества или нет.

Задание 31

Приведите примеры множеств, равномощных множеству:

— времен года;

— углов у пятиугольника;

— ног у человека.

2.8. Отношения между элементами одного множества

Связи между элементами одного множества в математике назы­вают отношениями.

Отношения очень многообразны, например:

• на множестве людей: «старше», «родиться в одном месяце», «выше», «жить в одном доме», «быть сестрой»;

• на множестве предметов: «быть одной формы», «быть одного цвета», «тяжелее»;

• на множестве понятий: «быть видом», «быть частью»;

• на множестве предложений: «следовать», «быть равносильны­ми»;

• на множестве чисел: «больше», «меньше на I», «быть равны­ми», «следовать за»;

• на множестве прямых: «быть параллельными», «пересекать­ся»;

• на множестве отрезков: «длиннее», «короче».

Отношения могут быть заданы и на символическом языке, на­пример, как в задании 32.

2. Перечисляют все пары элементов, взятых из множества и связанных этим отношением.

Например, элементы множества X = {1, 2, 3, 4, 5} связаны от­ношением «быть больше на 1». В этом случае отношение задано с помощью предложения «число х больше числа у на h. Это же отно­шение можно задать, перечислив все пары чисел, связанных дан­ным отношением: (2,1), (3,2), (4,3), (5,4).

Полезно предлагать детям упражнения, выполняя которые они переходят от одного способа задания отношений на множестве к другому. Например.

1.Вставьте пропущенное число: (1;6), (8;13), (5;10), (7; 12), (3; .,.)-Здесь необходимо сначала выяснить характеристическое свой­ство всех пар чисел, а затем найти пропущенный элемент.

2, «Оля, Катя, Сережа, Валера — дети одних родителей. Назови­те, кто кому является братом».

Выполняя данное упражнение, дети должны перейти от задания отношения с помощью характеристического свойства к перечисле­нию пар элементов.

Данное отношение «быть братом» можно изобразить при помо­щи графа. Все элементы множества изображаются точками, а отно­шения — стрелками (рис. 40).

Задание 33

Придумайте различные отношения на множестве одной семьи (мама, папа, их дети — Оля, Катя, Сережа, Валера) и изобразите эти отношения с помощью графов.

В процессе игры или обучения детям постоянно приходится рассматривать элементы одного множества и устанавливать отноше­ния между ними:

• сравнивать по величине;

• подбирать одинаковые по цвету или форме;

• упорядочивать;

• делить на группы.

Очень важным считается умение ребенка определять взаимно об­ратные отношения. Например: «больше — меньше», «длиннее — ко­роче», «старше — младше» и др.

В математике изучают разнообразные отношения. Чтобы облег­чить решение этой задачи, отношения классифицируют по свой­ствам.

Примечание

Лекция может сопровождаться сообщениями на тему «История возникновения и развития геометрии», предварительно подготовленны­ми студентами.

Геометрия, которую изучают в школе, строится на аксиомати­ческой основе.

Правила построения геометрии

1. Некоторые понятия вводятся без определения, их называют основными. Например: точка, прямая, плоскость.

2. Часть свойств основных понятий раскрывается через аксио­мы. Например, через две точки можно провести единственную пря­мую.

3. Другие понятия определяются, как правило, через род и видо­вое отличие, через основные понятия или уже определенные поня­тия. Например, окружность — это множество точек плоскости, рав­ноудаленных от заданной точки.

4. Другие свойства понятий формулируются в виде теорем и до­казываются с использованием аксиом и ранее доказанных теорем.

Задание 36

Постройте цепочку определений через род и видовое отличие: отрезок —> ломаная —>многоугольник —> четырехугольник —> прямоугольник —>квадрат.

Геометрия — наука, изучающая геометрические фигуры и их свойства.

Планиметрия - часть геометрии, изучающая фигуры на плос­кости.

Стереометрия — часть геометрии, изучающая фигуры в пространстве.

Дети уже в дошкольном возрасте знакомятся с фигурами на плоскости (плоскими фигурами) и в пространстве (геометрически­ми телами). При обучении дошкольников не дают явные определе­ния фигурам, а знакомят с их моделями, названием, свойствами, отношением равенства и другими связями между фигурами.

Многоугольники

Многоугольник — часть плоскости, ограниченная простой за­мкнутой ломаной. Звенья ломаной называются сторонами много­угольника, а вершины — вершинами многоугольника. Границу много­угольника (простую замкнутую ломаную) также называют многоу­гольником.

В работе с дошкольниками обычно рассматриваются модели фигур из картона, пластмассы или дерева, предлагаются задания по рисованию многоугольников при помощи трафаретов и обводок, за­крашиванию фигур. В процессе этой деятельности дети знакомятся с названиями фигур, их структурой и некоторыми свойствами, ис­пользуют такие термины, как: граница фигуры, внутренняя область фигуры и др.

Выпуклый многоугольник лежит в одной полуплоскости от­носительно любой прямой, содержащей его сторону (рис. 65).

Задание 40

1. Какой геометрической фигурой является:

— вершине многоугольнике,

— сторона многоугольника,

— вершина угла,

— сторона угле.

2. Назовите известные вам виды многоугольников, изображенных на рисунках 65, 66, 67.

Дошкольники, знакомясь с треугольником, квадратом и други­ми многоугольниками, учатся показывать и считать их углы и сто­роны.

Например, при знакомстве с треугольником может происходить такая беседа:

- Как называется эта фигура? — Треугольник.

- Почему она так называется? — У нее 3 угла.

-