Конечномерная аппроксимация задачи

Реализация метода последовательной линеаризации осуществляется с использованием конечномерной аппроксимации, которая позволяет процесс улучшения управления свести к последовательному решению стандартных задач линейного программирования. Хорошо разработанный и широко применяемый математический аппарат линейного программирования позволяет эффективно решать задачи с ограничениями. Рассмотрим способы редукции непрерывной задачи (6.6) - (6.8) к последовательности решений задач линейного программирования конечной размерности.

При выполнении итерации улучшения управления методом последовательной линеаризации исходная задача преобразуется в конечномерную вследствие замены дифференциальных уравнений движения (6.1) конечно-разностными при их численном интегрировании. В процессе численного интегрирования на отрезке времени , относящемся к исследуемому участку траектории, располагаются точки - узлы, которым соответствует вся необходимая информация для решения линейного приближения задачи (6.6) - (6.8).

После расположения узлов вычисляются значения в узловых точках фазовых координат , сопряженных переменных и функциональных производных , а также фиксируются значения управляющих зависимостей . В дальнейшем эти величины используются при аппроксимации зависимостей от времени фазовых координат, сопряженных переменных, функциональных производных и управляющих воздействий. Таким образом, непрерывная задача (6.6) - (6.8) преобразуется в конечномерную, пригодную для численного решения.

В результате конечномерной аппроксимации на каждой итерации улучшения управления условия (6.6) - (6.8) представляются в форме стандартной задачи линейного программирования. Для этого все используемые зависимости, представленные конечным набором значений в узлах, аппроксимируются по определенному правилу.

Процедура расчета итерации улучшения опорного управления при кусочно-линейной аппроксимации зависимостей формируется следующим образом.

Управление представляет собой вектор-функцию размерности . Пусть каждый компонент опорного управления аппроксимирован непрерывной кусочно-линейной функцией со значениями в узловых точках .В дальнейшем индекс « » не будет указываться, и под управлением будем понимать в зависимости от контекста или вектор-функцию размерности или ее -ый компонент.

Тогда -й компонент управления , представленный в классе кусочно-линейных функций, в каждый момент времени может быть рассчитан по формуле:

, .

Возмущение каждого -того компонента управления , представленное в том же классе функций, имеет вид:

, ,

где и - постоянные величины, представляющие собой вариации непрерывного кусочно-линейного управления в узловых точках.

При этих допущениях условия (6.6) - (6.8) приводятся к следующей задаче линейного программирования относительно неизвестных :

, (6.16)

, (6.17)

, (6.18)

где - значения функционалов, вычисленные для опорного закона движения ; , - малые заданные величины.

Коэффициенты вычисляются по интегральным соотношениям:

,

,

. (6.19)

Если известны значения функциональных производных в узлах , то, используя кусочно-линейную аппроксимацию зависимостей , получим следующие формулы для вычисления коэффициентов :

,

. (6.20)

В некоторых случаях при аппроксимации задачи более подходящими могут оказаться кусочно-постоянные аппроксимирующие зависимости, упрощающие вычислительную процедуру решения по сравнению с использованием кусочно-линейных зависимостей.

Наиболее просто задача расположения узлов решается, если узлы расположить равномерно по времени на отрезке . При изменении эффективности управления наибольшая концентрация узлов необходима в местах наиболее интенсивного изменения и наибольшей эффективности управления.

Метод плавающих узлов обеспечивает рациональное распределение узлов аппроксимации и учет изменения длины отрезка в процессе улучшения управления.

Для рассмотрения метода плавающих узлов удобно использовать функцию Гамильтона, которая для функционалов (6.9) и (6.15) имеет вид:

.

Для функционалов (6.10) гамильтониан записывается в виде:

.

Вектор-функция определяется из решения сопряженной системы вида:

. (6.21)

Для функционалов вида (6.9) , для функционалов вида (2.10) , а для функционалов вида (6.10) , причем при .

Можно показать, что условия (6.6) - (6.8) с помощью функции Гамильтона могут быть преобразованы и записаны в следующем виде:

при всех , (6.22)

, (6.23)

,

. (6.24)

Для функционалов вида (6.11) и (6.12) гамильтонианы записаны быть не могут, поэтому при численном решении эти функционалы заменяются на функционалы других видов в соответствии с выбранной процедурой.

Значения функций , соответствующих функциональным производным , определяются по формулам:

, (6.25)

для функционалов вида (6.10) . Таким образом, для определения зависимости необходимо проинтегрировать слева направо систему (1.9) и справа налево систему (6.21).

Метод плавающих узлов основан на замене независимой переменной путем отображения отрезка времени в отрезок . Для этого вводится функция , , , , которая должна удовлетворять условию монотонности , исключающему обратный ход времени. Функция является дополнительным управлением, связанным с расположением узлов аппроксимации.

Система уравнений (6.1), функционалы (6.9), (6.10) и (6.15) после замены переменной приобретают вид:

,

,

,

,

где - заданная точка на .

Вариации функционалов после замены независимой переменной зависят от малых локальных вариаций управления и функции замены времени следующим образом:

.

Выражение для вариации функциональной производной приводится к виду:

.

Последнее соотношение позволяет преобразовать условия (6.22) - (6.24) к виду:

, при всех , (6.26)

, (6.27)

,

,

(6.28)

где - малая окрестность функции .

При численном решении управление и функция задаются набором значений в узловых точках на отрезке . Условия (2.22) - (2.24) приводятся к задаче линейного программирования относительно неизвестных и :

, , (6.29)

, , (6.30)

, (6.31)

где , , , - малые заданные величины; , - коэффициенты, определяемые по интегральным зависимостям, например:

,

,

,

,

, . (6.32)

Поиск управления , функции , вариаций и , а также представление производных в классе кусочно-линейных функций позволяет получить конечные соотношения для производных , и коэффициентов и .

Кусочно-линейные зависимости управления , функции , вариаций и и производных имеют вид:

,

,

,

,

,

где , , , , - значения величин в узловых точках .

Значения производных и в узловых точках вычисляются по формулам:

,

,

Выполнение условия обеспечивается при

,

.

Возможность совпадения двух соседних узловых точек позволяет формировать не только непрерывное, но и разрывное кусочно-линейное управление. Малость допустимой окрестности обеспечивается заданием ограничений , где .

Коэффициенты и вычисляются по формулам:

,

,

,

,

,

. (6.33)

Использование метода плавающих узлов вместо других способов конечномерной аппроксимации задачи совместно с методом последовательной линеаризации приводит к повышению размерности задачи линейного программирования. Если размерность матрицы коэффициентов (6.20) без использования метода плавающих узлов равна , где - число функционалов задачи, - размерность вектора управлений, - число узловых точек аппроксимации, то при использовании метода плавающих узлов общая размерность матриц и (6.33) увеличивается до .