Необходимое условие экстремума функционала
Рассмотрим некоторый функционал и его приращение
, где
- вариация
.
Определение. Вариацией функции , принадлежащей определенному классу функций, называется разность между двумя функциями при одинаковом значении аргумента
:
.
Определение. Если можно представить в виде
, (2.4)
где при
, то линейная по отношению к
часть приращения функционала, т.е.
, называется вариацией функционала и обозначается
.
Функционал достигает экстремума при , если величина приращения функционала
сохраняет свой знак в некоторой окрестности
. Различают сильный и слабый экстремумы.
Если существует величина , что
сохраняет знак для всех
, входящих в пространство (класс)
, у которых норма
, то говорят, что при
достигается слабый экстремум функционала. Аналогично, экстремум называется сильным, если
сохраняет знак для всех
и удовлетворяет условию
. Всякий сильный экстремум будет одновременно и слабым, а слабый сильным быть не может, так как достигается на более узком множестве функций.
Теорема. Для того, чтобы функционал достигал экстремума при
, необходимо, чтобы при
.
Доказательство
Пусть функционал имеет минимум при , тогда
.
С другой стороны .
При достаточно малом знак
определяется знаком
, а в силу линейности
имеем:
. Следовательно,
может быть и меньше и больше 0 при сколь угодно малом
разного знака, т.е. экстремум невозможен. Противоречие устраняется, если
. Аналогично доказывается необходимое условие максимума функционала.
2.3. Простейшая задача вариационного исчисления
(задача с закрепленными концами). Основная лемма
Вариационного исчисления. Уравнение Эйлера
Простейшей задачей вариационного исчисления называется задача об экстремуме функционала вида (2.1) с граничными условиями ,
.
Лемма. Если для каждой непрерывной функции
,
где функция непрерывна на отрезке
, то
на том же отрезке.
Доказательство
Предположив, что в точке , лежащей на отрезке
,
, придем к противоречию. Действительно, из непрерывности функции
следует, что если
, то
сохраняет знак в некоторой окрестности
точки
; выбрав функцию
также сохраняющую знак в этой окрестности и равную нулю вне этой окрестности, получим
,
так как произведение сохраняет знак на интервале
и обращается в нуль вне этого отрезка. Итак, мы пришли к противоречию, следовательно,
.
Теорема. Для того, чтобы функционал
,
определенный на множестве непрерывных функций , имеющих непрерывную первую производную и удовлетворяющих граничным условиям
,
, достигал на
экстремума, необходимо, чтобы функция
удовлетворяла уравнению Эйлера
, (2.5)
или в развернутом виде
. (2.6)
Доказательство
Получим формулу для первой вариации функционала. Применяя операцию варьирования подынтегрального выражения при условии, что , получим
. (2.7)
Проинтегрируем второе слагаемое по частям и, принимая во внимание, что , получим
. (2.8)
Но поскольку концы экстремали закреплены, то ,
, и получаем необходимое условие экстремума в виде
. (2.9)
В силу основной леммы вариационного исчисления, поскольку , получаем результат (2.5).
Интегральные кривые уравнения Эйлера называются экстремалями, только на них достигается экстремум рассматриваемого функционала. Чтобы установить, реализуется ли на них в действительности экстремум, и притом максимум или минимум, надо воспользоваться достаточными условиями экстремума.
Краевая задача для уравнения (2.6) с граничными условиями ,
не всегда имеет решение, а если решение существует, то оно может быть не единственным.
Получим необходимые условия экстремума функционала , зависящего от
независимых функций
:
при заданных граничных условиях всех функций
,
,...,
,
,
,...,
.
Если варьировать одну из функций
, оставляя остальные неизменными, то рассматриваемый функционал превращается в функционал, зависящий лишь от одной функции, которая, следовательно, должна удовлетворять уравнению Эйлера
.
Так как это рассуждение применимо к любой функции
, то мы получим систему дифференциальных уравнений второго порядка
, (2.10)
определяющих -параметрическое семейство интегральных кривых (экстремалей).
Поле экстремалей
Если на плоскости через каждую точку некоторой области
проходит одна и только одна кривая семейства
, говорят, что это семейство кривых в области
образует собственное поле. Угловой коэффициент касательной
к кривой семейства
, проходящей через точку
, называется наклоном поляв точке
:
.
Поле называется центральным, если кривые покрывают всю область и нигде не пересекаются кроме одной точки (центра пучка кривых), принадлежащей области
.
Если собственное или центральное поле образовано семейством экстремалей некоторой вариационной задачи, то оно называется полем экстремалей.
Говорят, что экстремаль включена в поле экстремалей, если найдено семейство экстремалей
, образующее поле, содержащее при некотором значении
экстремаль
, причем последняя не лежит на границе области
.
Известно, что две бесконечно близкие кривые семейства пересекаются в точках
-дискриминантной кривой, определяемой уравнениями
,
.
Если дуга экстремали
не имеет отличных от точки
общих точек с
-дискриминантной кривой пучка экстремалей, включающего данную экстремаль, то достаточно близкие к дуге
экстремали пучка не пересекаются, т.е. образуют в окрестности дуги
центральное поле, включающее эту дугу.
Если дуга экстремали
имеет отличную от точки
общую точку
с
-дискриминантной кривой пучка экстремалей, то близкие кривые пучка могут пересекаться между собой вблизи точки
и, вообще говоря, поля не образуют. Точка
называется точкой, сопряженной с точкой
и является точкой пересечения двух бесконечно близких кривых семейства
.
Условие Якоби. Для построения центрального поля экстремалей с центром в точке , содержащего дугу
экстремали, достаточно, чтобы точка
, сопряженная с точкой
, не лежала на дуге
.