Математического анализа; геометрия»
Вологодской области
«Череповецкий химико-технологический колледж»
Сборник информационных
материалов к программе по дисциплине
«Математика: алгебра и начала
Математического анализа; геометрия»
для студентов колледжа
Г. Череповец
Сборник информационных материалов к программе по дисциплине «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия» для студентов колледжа: Пособие по математике для студентов 1 и 2 курсов /Составитель: Дедюкова М.Н. преподаватель высшей квалификационной категории, Ракова А.В. преподаватель первой квалификационной категории/ – Череповец: Череповецкий химико-технологический колледж, 2017. – 33с.
Содержание
| стр | ||
| Аннотация ………………………………………………………... | ||
| Пояснительная записка ………………………………………….. | ||
| 1. | Тригонометрия …………………………………………………... | |
| 1.1. Числовая окружность ………………………………………. | ||
| 1.2. Основные тождества ……………………………………….. | ||
| 1.3. Таблица тригонометрических значений …………………... | ||
| 1.4. Формулы приведения ………………………………………. | ||
| 1.5. Макеты числовых окружностей …………………………… | ||
| 1.6. Знаки тригонометрических функций ……………………. | ||
| 1.7. Четность и нечетность тригонометрических функций …... | ||
| 1.8. Обратные тригонометрические функции …………………. | ||
| 1.9. Свойства обратных тригонометрических функций …...…. | ||
| 1.10. Формулы сложения аргументов ………………………… | ||
| 1.11. Простейшие тригонометрические уравнения и частные случаи ………………………………………………………... | ||
| 1.12. Формулы двойного угла ………………………………… | ||
| 1.13. Формулы сложения одноименных функций …………... | ||
| 1.14. Формулы половинного угла …………………………….. | ||
| 1.15. Преобразование произведения тригонометрических функций в алгебраическую сумму ………………………… | ||
| 2. | Производная. Применение производной ………………………. | |
| 2.1. Таблица производных ……………………………………… | ||
| 2.2. Алгоритм составления уравнения касательной ………… | ||
| 2.3. Геометрический смысл производной …………………… | ||
| 2.4. Схема исследования функции …………………………… | ||
2.5. Наибольшее и наименьшее значение функции  на отрезке  ……………………………………………………………………... | ||
| 3. | Степени и корни …………………………………………………. | |
| 3.1. Свойства степеней и корней ……………………………….. | ||
| 3.2. Таблица степеней …………………………………………… | ||
| 3.3. Алгоритм решения показательных неравенств …………... | ||
| 4. | Логарифмы ……………………………………………………….. | |
| 4.1. Свойства логарифмов ………………………………………. | ||
| 5. | Функции и графики функций …………………………………… | |
5.1. Преобразование графиков функции  …………... | ||
| 6. | Первообразная и интеграл ………………………………………. | |
| 6.1. Таблица первообразных ………………………………….. | ||
| 6.2. Свойства неопределенных интегралов ………………….. | ||
| 6.3. Вычисление площади криволинейной трапеции ……….. | ||
| 7. | Теория вероятностей и математическая статистика …………... | |
| 7.1. Треугольник Паскаля ……………………………………….. | ||
| 8. | Уравнения и неравенства ……………………………………….. | |
| 9. | Геометрия ………………………………………………………… | |
| 9.1. Многогранники …………………………………………… | ||
| 9.2. Тела вращения …………………………………………….. | ||
| 10. | Решение квадратного уравнения ……………………………….. | |
| 11. | Четность и нечетность функций ………………………………... | |
| 12. | Формулы сокращенного умножения …………………………… | |
| 13. | Теорема Пифагора. Соотношение сторон и углов прямоугольного треугольника ………………………………….. | |
| 14. | Таблица натуральных чисел от 10 до 99 ……………………….. | |
| 15. | Список литературы ……………………………………………… |
Аннотация
Сборник информационных материалов предназначен для студентов всех профессий и специальностей, подготавливаемых в колледже. Сборник поможет студентам быстро найти, восстановить в памяти и использовать на практике полученные сведения о том или ином понятии, алгоритме и свойстве, той или иной формуле, что позволит без затруднения решить любой пример или задачу.
Разработчик: Дедюкова Марина Николаевна преподаватель высшей квалификационной категории, Ракова Анна Викторовна преподаватель первой квалификационной категории.
| РАССМОТРЕНО На заседании ЦМК по ООД Протокол №_______ от «_____»______________2017 г. Председатель ЦМК по ООД ______________/ О.С. Гежина / |
Пояснительная записка
Сборник информационных материалов содержит основной материал по дисциплине «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия»: математические понятия, формулы, свойства, алгоритмы. В сборнике материал, относящийся к какому-либо понятию, помещен компактно, в одном разделе. Это поможет студентам быстро получить все необходимые сведения об интересующем понятии, таким образом, сборник поможет:
1. Быстро найти нужную информацию о том или ином понятии, свойстве, алгоритме, о той или иной формуле;
2. Повторить соответствующий материал при подготовке к уроку, зачету, практической работе, контрольной работе, экзамену.
Тригонометрия
Числовая окружность
Если М(t) = М (х;у), то 
.
Основные тождества
 (основное тригонометрическое тождество) |  |
 |  |
 |  |
Макет №1 Макет №2
Sin t cos t tg t ctg t
| Четность и нечетность тригонометрических функций | |
 |  |
 |  |
Формулы сложения аргументов
 |  |
 |  |
  |  |
  |  |
Формулы двойного угла
sin2α = 2sinα  cosα | cos2α = cos2 α – sin2 α |
| cos2α = 2cos2 α – 1 = 1 – 2sin2 α | |
 |  |
Формулы половинного угла
 |  |
sinα = 2sin  cos  | cosα = cos2  – sin2  |
| cosα =2cos2 – 1 = 1 – 2sin2 | |
 |  |
 |  |
Преобразование произведения тригонометрических функций
В алгебраическую сумму
 |
 |
 |
Таблица производных
 |  | |
 |  | |
 |  | |
 |  | |
 |  | |
 |  | |
 |  | |
 (производная сложной функции) | ||
| Правила дифференцирования | ||
 |  | |
 |  | |
Схема исследования функции
1. Область определения функции 
. Обозн. 
2. Исследование функции на чётность и нечётность:
· если 
, то функция чётная (симметрия относительно оси ОУ)
· если 
, то функция нечётная (симметрия относительно начала координат)
· если оба условия не выполняются, то функция – ни чётная и ни нечётная (функция общего вида)
3. Определение точек пересечения с осью х: 
4. Определение точек пересечения с осью y: 
, 
5. Промежутки возрастания и убывания функции:
· находим производную функции 
· находим критические точки 
· если 
на промежутке, то функция возрастает на этом промежутке
· если 
на промежутке, то функция убывает на этом промежутке
6. Точки экстремума: 
, 
, экстремумы функций 
, 
.
7. Контрольные точки.
8. Построение графика функции .
Наибольшее и наименьшее значения функции y = f(x)
на отрезке [а; в]
1. Область определения функции . Обозн. .
2. Находим производную функции .
3. Находим критические точки .
4. Находим 
, 
, если 
, то находим и 
.
5. Выбираем из полученных значений наибольшее и наименьшее.
6. Ответ: 
; 
.
Степени и корни
| Свойства степеней | Свойства корней |
 |  |
 |  |
 |  |
 |  |
 |  |
Замечание: 1.  2.  |
 |  |  |
 |  |
Уравнение вида 
имеет решения:
1. 
2. 
, то 
3. 
корней нет
Таблица степеней 
| Основаниеа | Показатель степениn | ||||||||
| 2 | |||||||||
| 3 | |||||||||
| 4 | |||||||||
| 5 | |||||||||
| 6 | |||||||||
| 7 | |||||||||
| 8 | |||||||||
| 9 | |||||||||
| 10 |
Логарифмы
Определение логарифма
, где 
Основное логарифмическое тождество 
Свойства логарифмов
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
Функции и графики функций
Степенные функции 
с целым показателем
 |  |  |
График  | График  | n-положительное, чётное, натуральное число |
| n=0 | n=1 | |
 |  |  |
График  | График  | График  |
| n-положительное, нечётное, натуральное число | n-отрицательное, нечётное, целое число | n-отрицательное, чётное, целое число |
Степенные функции 
с дробным показателем
 |  |  |
 |  |  |
Функции вида 
 |  |
 n-чётное | n-нечётное |
Показательная функция 
 |  |
 основание а>1, функция возрастающая | основание 0<а<1, функция убывающая |
Логарифмическая функция 
 |  |
 основание а>1, функция возрастающая | основание 0<а<1, функция убывающая |
Преобразование графика функции y = f(x)
| f(x)+A | Параллельный перенос графика по оси у на А единиц : вверх, если А > 0, вниз, если А < 0. |
| f(x-B) | Параллельный перенос графика вдоль оси х на В единиц : вправо, если В > 0, влево, если В < 0. (подсказка: решить уравнение х - В = 0, где х = В, затем определять знак числа В и направление перенос) |
| C ∙ f(x) | Умножение каждой ординаты у графика функции на число С |
| f(D∙x) | Деление каждой абсциссы х графика функции на число D |
| - f(x) | «Зеркальное» отображение графика функции относительно оси х (подсказка: смотри пункт 3 ) |
Первообразная и интеграл
Таблица первообразных
 – функция |  – общий вид первообразных функции |
 |  |
 |  |
 |  |
 |  |
 |  |
 |  |
 |  |
 |  |
| |  |
 |  |
 |  |
 |  |
 |  |
Неопределенный интеграл 
.
Теория вероятностей и
Математическая статистика
Факториал 
.
Перестановки – комбинация из n элементов по n элементов, где отличается только порядок их следования (состав не важен).
.
Размещения– из n элементов выбирается k элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом или порядком их следования (важен порядок следования и состав).
– с повторениями; 
– без повторений.
Сочетания – число комбинаций из n элементов по k элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом, порядок не важен, важен состав.
 | |||
 |  |  |  |
Бином Ньютона
член разложения бинома Ньютона
Треугольник Паскаля
 | |
Вероятность случайного события 
, где m – количество благоприятных исходов события А, n – количество всевозможных исходов события А.
Теорема Бернулли
Пусть 
– вероятность наступления ровно k «успехов» в n независимых повторениях одного и того же испытания. Тогда,
,
где p – вероятность «успеха», а 
– вероятность «неудачи» в отдельном испытании.
Уравнения и неравенства
1. Показательное уравнение 
где 
равносильно уравнению 
2. Логарифмическое уравнение 
,где равносильно системе 
.
3. Показательное неравенство вида 
равносильно:
а) если 
то 
б) 
то 
4. Логарифмическое неравенство вида 
равносильно системе неравенств:
а) если то 
;
б) то 
.
5. Иррациональное неравенство вида:
а) 
равносильно системе неравенств 
;
б) 
равносильно совокупности систем неравенств 
Геометрия
Многогранники
| Боковая поверхность | Полная поверхность | Объём | |
Прямая призма  |  где  периметр основания, Н – высота призмы |  |  где  площадь основания, Н – высота призмы |
Параллелепипед прямоугольный  |  |  |  |
Куб  |  |  |  |
Правильная пирамида  |  где периметр основания, l – апофема |  |  где площадь основания, Н – высота пирамиды |
| Тела вращения | |||
| Боковая поверхность | Полная поверхность | Объём | |
| Цилиндр R H |  где R – радиус основания, Н – высота цилиндра |  где  |  |
 Конус |  где R – радиус основания, l – образующая конуса |  где |  где H – высота конуса |
Шар  | ------ |  |  |
Решение квадратного уравнения  |  D>0 – два корня:  D<0 – нет корней D=0 – один корень:  |
| Разложение квадратного трехчлена на множители |  |
| Четность, нечетность функций | 1. 2. f(–x)=f(x) – четная функция, симметрия относительно оси OY 3. f(– x)= – f(x) – нечетная функция, симметрия относительно начала координат |
| Формулы сокращенного умножения | |
 | разность квадратов |
 | квадрат разности |
 | квадрат суммы |
 | куб суммы |
 | куб разности |
 | разность кубов |
 | сумма кубов |
 | |
 |
| Теорема Пифагора B а с C A b c2=a2+b2 | Соотношение сторон и углов прямоугольного треугольника    |
Таблица квадратов натуральных чисел от 10 до 99
| десятки | единицы | |||||||||
Список литературы
1. Башмаков М.И. Математика (базовый уровень): учебник для 10 класса: среднее общее образование / М.И.Башмаков. – М.: Издательский центр «Академия», 2014. – 304 с.
2. Башмаков М.И. Математика (базовый уровень): учебник для 11 класса: среднее общее образование / М.И.Башмаков. – М.: Издательский центр «Академия», 2014. – 320 с.
3. Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И.Башмаков. – 5-е изд., испр. – М.: Издательский центр «Академия», 2012. – 256 с.
4. Пехлецкий И.Д. Математика: учебник для студентов образовательных учреждений среднего профессионального образования – М.: Академия, 2012. – 304 с.
Вологодской области
«Череповецкий химико-технологический колледж»
Сборник информационных
материалов к программе по дисциплине
«Математика: алгебра и начала
математического анализа; геометрия»
для студентов колледжа
Г. Череповец
Сборник информационных материалов к программе по дисциплине «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия» для студентов колледжа: Пособие по математике для студентов 1 и 2 курсов /Составитель: Дедюкова М.Н. преподаватель высшей квалификационной категории, Ракова А.В. преподаватель первой квалификационной категории/ – Череповец: Череповецкий химико-технологический колледж, 2017. – 33с.
Содержание
| стр | ||
| Аннотация ………………………………………………………... | ||
| Пояснительная записка ………………………………………….. | ||
| 1. | Тригонометрия …………………………………………………... | |
| 1.1. Числовая окружность ………………………………………. | ||
| 1.2. Основные тождества ……………………………………….. | ||
| 1.3. Таблица тригонометрических значений …………………... | ||
| 1.4. Формулы приведения ………………………………………. | ||
| 1.5. Макеты числовых окружностей …………………………… | ||
| 1.6. Знаки тригонометрических функций ……………………. | ||
| 1.7. Четность и нечетность тригонометрических функций …... | ||
| 1.8. Обратные тригонометрические функции …………………. | ||
| 1.9. Свойства обратных тригонометрических функций …...…. | ||
| 1.10. Формулы сложения аргументов ………………………… | ||
| 1.11. Простейшие тригонометрические уравнения и частные случаи ………………………………………………………... | ||
| 1.12. Формулы двойного угла ………………………………… | ||
| 1.13. Формулы сложения одноименных функций …………... | ||
| 1.14. Формулы половинного угла …………………………….. | ||
| 1.15. Преобразование произведения тригонометрических функций в алгебраическую сумму ………………………… | ||
| 2. | Производная. Применение производной ………………………. | |
| 2.1. Таблица производных ……………………………………… | ||
| 2.2. Алгоритм составления уравнения касательной |