Уравнения малых поперечных колебаний мембраны.

Теперь мы покажем, что малые поперечные колебания мембраны описываются двумерным волновым уравнением (1). Мембраной называют тонкую пленку, которая находится в состоянии натяжения и не оказывает сопротивление изгибу и сдвигу. Покажем, что малые колебания мембраны описываются двумерным волновым уравнением.

Пусть бесконечная мембрана в положении равновесия расположена в плоскости (x,y) и находится под действием равномерного натяжения T, т.е. силы, приходящейся на единицу длины произвольного контура и направленной перпендикулярно этому контуру в каждой его точке. Будем также предполагать, что на мембрану параллельно оси 0u действует внешняя сила p( x, y, t), рассчитанная на единицу площади.

Будем рассматривать только поперечные смещения мембраны, при которых каждая её точка движется перпендикулярно плоскости (x,y). Смещения u каждой точки мембраны будут функцией координат этой точки x,y и времени t. Будем предполагать, что они настолько малы, что квадратами производных u_x и u_y можно пренебречь.

n

Выделим произвольный участок мембраны σ, ограниченный кривой l (Рис.3.1). В результате смещения этот участок деформируется и перейдет в некоторый участок σ ', ограниченный контуром l'. На этот участок в каждой его точке, в том числе и по контуру l' будет действовать равномерно распределенное натяжение Т, лежащее в плоскости касательной к поверхности мембраны. Сила этого натяжения равна Тdl', где dl' – элемент дуги кривой l'. Проекция силы Тdl' на ось 0u будет равна абсолютной величине Тdl', умноженной на косинус угла вектора Т с осью 0u, который в силу нашего предположения о малости величины смещения будет равен , где n – внешняя нормаль к контуру l.

В результате равнодействующая сил, приложенных к контуру l' будет равна

Поскольку при малых перемещениях мембраны можно считать , то мы можем в записанном интеграле путь интегрирования dl'заменить на dl. Тогда применяя формулу Грина, получим

(46)

Суммарная внешняя сила, действующая на участок σ ', будет равна

(47)

По второму закону Ньютона сумма сил (1) и (2) должна равняться интегралу

(48)

В результате получим

,

Откуда в силу произвольности участка σ следует, что

(49)

Это и есть уравнение малых поперечных колебаний мембраны. В случае, если мембрана однородная, полученное уравнение после некоторых переобозначений можно переписать следующим образом:

, (50)

где

и

В более компактной форме уравнение (50) можно записать также в следующем виде:

(51)

В качестве начальных условий для уравнения (50) или (51) задаются смещение и скорость любой её точки в начальный момент времени

(52)

Граничные условия

В случае ограниченной мембраны наряду с начальными условиями (52) для уравнения (49) формулируются и граничные условия трех видов. В отличие от струны или стержня, границами являлись два противоположных конца, у мембраны границей является ограничивающий её плоский в исходном положении контур l.

В граничном условии первого рода задаются перемещения точек границы мембраны в любой момент времени, а именно

(53)

Если граница мембраны покоится, т.е. имеет место закрепление граница мембраны, то граничное условие (52) становится однородным

(54))

В граничном условии второго рода задаётся нормальная производная от перемещения границы мембраны в любой момент времени, а именно

(55)

Как мы помним, производная по нормали с точностью до постоянного множителя T соответствует напряжению, поэтому говорят, что условие (55) задает напряжение на границе мембраны. По третьему закону Ньютона это напряжение равно вертикальной составляющей внешней силы, приходящейся на единицу длины граничного контура. В случае, если на границу не действует никаких сил, условие (55) становится однородным.

Граничное условие третьего рода задает в любой момент времени сумму перемещения границы и напряжения с некоторым постоянным множителем h:

(56)

Если γ(t) равно нулю, условие (56) становится однородным и в этом случае имеет простую физическую интерпретацию. Для этого нужно представить, что граница мембраны скреплена упругим образом с плоскостью (x, y), как это показано на Рис.3.2.

Тогда вертикальная составляющая напряжения на границе мембраны будет равна внешней упругой силе, приходящейся на единицу длины граничного контура, которая в каждой точке по закону Гука пропорциональна смещению в этой точке и направлена в сторону противоположную смещению (как и проекция T на ось u), т.е. равна . Следовательно, можно записать, что

или

, (57)

где .

Теперь можно представить, что основание упругого закрепления границы перемещается параллельно оси u по закону ξ(t). Тогда сила, развиваемая упругим закреплением, будет равна – k[u – ξ(t)], и мы можем записать

Разделив все члены этого равенства на k и обозначив через γ(t), мы и получим формулу (56).