Теорема единственности для двумерного волнового уравнения
Докажем единственность решения волнового уравнения при заданных начальных условиях. Для простоты записи будем считать , чего можно всегда достигнуть, меняя масштаб времени заменой t на t/a. Для большей наглядности рассмотрим двумерное волновое уравнение, т.е. для u (x,y,t)
(23)
c начальными условиями
(24)
Докажем единственность решения задачи Коши (23) – (24), предполагая, что решение u(x,y,t) имеет непрерывные производные до второго порядка включительно.
Пусть u1(x,y,t)и u2(x,y,t) – два решения уравнения (23), удовлетворяющие одним и тем же начальным условиям (24). Тогда разность
будет удовлетворять уравнению (23) и нулевым начальным условиям
(25)
Для доказательства теоремы единственности нам надо теперь показать, что при любых x,y и при всех t >0.
Рассмотрим для этого трехмерное пространство (x,y,t) и возьмем в нем произвольную точку М(x0,y0,t0), причем t0 >0. Из этой точки как из вершины проведем круговой конус
до его пересечения с плоскостью (Рис.22). Далее проведем еще одну плоскость
, где
, и пусть D – область, ограниченная боковой поверхностью конуса S и частями поверхностей
и
, находящихся внутри конуса. Иначе говоря, D – усеченный круговой конус. Обозначим через σ0и σ1 – соответственно нижнее и верхнее основания этого конуса.
Теперь в приведенном ниже выражении произведем указанные в нем операции дифференцирования и приведем подобные члены
В результате получим тождество
Проинтегрируем это тождество по объему, занимаемому областью D. Интеграл от левой части равен нулю, так как u является решением уравнения (23). Интеграл в правой части преобразуем, пользуясь формулой Гаусса-Остроградского, в интеграл по поверхности этой области, составленной из поверхностей S, σ0и σ1. В результате получим сумму трех поверхностных интегралов от одного и того же выражения, при записи которого нужно учесть, что производные
, стоящие перед скобками, являются производными по направлениям t, x, y и направляющие косинусы будут соответственно равны
.
В результате получим
, (26)
где
(27)
На нижнем основании σ0 усеченного конуса D, в силу начальных условий (25), функция u и все её частные производные первого порядка равны нулю и, следовательно, второй интеграл в (26) равен нулю. На верхнем основании σ1 имеем
На боковой поверхности конуса S направляющие косинусы нормали удовлетворяют соотношению
(28)
В результате равенство (26) с учетом (27) можно переписать следующим образом
(29)
Первый интеграл с учетом (28) можно преобразовать следующим образом
На боковой поверхности S и, следовательно, этот интеграл неотрицателен, из чего приходится заключить, что второй интеграл в формуле (29) равен нулю, а именно
Отсюда следует, что во всех точках внутри полного конуса с вершиной в точке М(x0,y0,t0) частные производные первого порядка функции u равны нулю и, следовательно сама u равна константе, а поскольку на нижнем основании эта константа в силу (25) равна нулю, то и в точке М(x0,y0,t0) она равна нулю. Поскольку точка М(x0,y0,t0) была нами выбрана произвольно в полупространстве t >0, то составленная нами функция u тождественно равна нулю в этом полупространстве, что и доказывает теорему единственности.