Для одномерного волнового уравнения
При решении граничных задач следует убедиться в существовании решения и его единственности. Существование решения либо устанавливается в процессе изложения метода решения, либо доказывается теорема существования. Единственность устанавливается доказательством соответствующей теоремы единственности.
В настоящем параграфе приводится доказательство теоремы единственности для одномерного волнового уравнения достаточно общего вида при заданных начальных условиях и граничных условиях первого, второго и третьего рода. Эта теорема формулируется следующим образом.
Существует только одна функция u(x, t), определенная в области , которая удовлетворяет уравнению
, (
) (112)
а также начальным и граничным условиям
(113)
(114)
если выполнены следующие условия:
1) функция u(x, t) вместе со своими первыми и вторыми производными непрерывна на отрезке ,
2) коэффициенты ρ (x) и k (x) непрерывны на отрезке .
Допустим, что существует два решения рассматриваемой задачи:
и
Рассмотрим разность
Функция , очевидно, удовлетворяет однородному уравнению
(115)
и однородным начальным и граничным условиям
(116)
(117)
а также условию 1) теоремы.
Докажем что функция тождественно равна нулю. Для этого рассмотрим функцию
(118)
и покажем, что она не зависит от t. В задаче о колебании струны эта функция представляет собой полную энергию струны в момент времени t. Продифференцировав E(t) по t получим
Интегрируя первое слагаемое по частям, получим
(119)
В силу условий (116) и (117) первое слагаемое правой части равно нулю, следовательно
,
т.е. . Тогда учитывая начальные условия, получаем
(120)
а тогда и формула (118) принимает вид:
откуда, учитывая положительность ρ (x) и k (x), заключаем, что
(121)
Это, в свою очередь, означает, что
,
но, в соответствии с начальными условиями
,
А тем самым доказано, что . Следовательно, если существуют две функции
и
, удовлетворяющие всем условиям теоремы, то
(122)
Единственность решения задачи с граничными условиями второго рода доказывается аналогично. Введенная в рассмотрение функция в этой задаче будет удовлетворять граничным условиям
, (123)
выполнение которых также приведет к обращению в нуль первого слагаемого в формуле (119). Дальнейшее доказательство проводится также как и для первой краевой задачи.
Для третьей краевой задачи также рассматриваются два решения u1 и u2. Тогда для функции граничные условия будут однородными:
(124)
Теперь представим первое слагаемое в формуле в виде
и проинтегрируем в пределах от 0 до t. В результате получим
откуда в силу уравнения для v и граничных условий следует, что
, (125)
но в силу неотрицательности подынтегральной функции E(t) должно быть больше или равно нулю. Из чего следует, что , а следовательно и
(126)
Тем самым единственность третьей краевой задачи доказана.
Г л а в а III. Двумерные и трехмерные задачи для волнового уравнения
В двумерном и трехмерном случаях волновое уравнение можно записать следующим образом
, (1)
где М – точка на плоскости или в пространстве. Двумерное волновое уравнение обычно связывают с задачей о колебании мембраны. К трехмерному волновому уравнению приводятся задачи о течении жидкости, скорость которой имеет потенциал, о распространения звука в газе, о распространении электромагнитных полей в непроводящей среде и задачи теории упругости. Эти задачи мы рассмотрим в последующих главах.
Во всех этих задачах волновое уравнение описывает процесс распространения волн. В одномерном случае мы в этом убедились при рассмотрении формулы Даламбера. Такие волны называют плоскими волнами. Однако и в трехмерном пространстве в случае сферической симметрии мы будем иметь дело с распространением звуковых или электромагнитных волн, которые на большом расстоянии от источника можно считать плоскими. Двумерные волны называются цилиндрическими волнами, а трехмерные – сферическими волнами.
Выведенную нами ранее формулу Даламбера можно обобщить соответствующим образом на двухмерный и трехмерный случаи. Начнем с трехмерного случая.