Статистические оценки параметров распределения

Статистические оценки параметров распределения

Оценка параметров распределения случайной величины Х по данным выборки является одной из задач статистики.

Для вычисления параметра (обозначим его через Θ) изучить все элементы генеральной совокупности (которую теоретически считают бесконечной) не представляется возможным. Обычно в распоряжении исследователя имеются лишь данные выборки генеральной совокупности, например, значения количественного признака х₁, х₂, …, х_n, полученные в результате n наблюдений (здесь и далее наблюдения предполагаются независимыми). Через эти данные и выражают оцениваемый параметр.

Определение 6.1.18. Оценкой параметра Θ называют всякую функцию результатов наблюдений над случайной величиной Х (иначе – статистику), с помощью которой судят о значении оцениваемого параметра:

.

Определение 6.1.19. Несмещенной называется такая оценка , математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру Θ, т.е.

,

в противном случае оценка называется смещенной.

Определение 6.1.20. Состоятельной называется такая оценка параметра Θ, что для любого наперед заданного числа ε > 0 вероятность Р(| –Θ|< ε)®1 при n®¥ .[1]

Это значит, что при достаточно больших n можно с вероятностью, близкой к 1 утверждать, что оценка отличается от оцениваемого параметра Θ меньше, чем на ε. Поэтому на практике имеет смысл использовать только состоятельные оценки.

Чем меньше дисперсия оценки, тем меньше вероятность грубой ошибки при определении приближенного значения параметра. Поэтому необходимо, чтобы дисперсия оценки была минимальной. Оценка, обладающая таким свойством, называется эффективной.

Проверка статистических гипотез

Критерий Вилкоксона и проверка гипотезы об однородности двух выборок

Критерий Вилкоксона служит для проверки однородности двух независимых выборок Х и Y: x₁, x₂,… , x_n и y₁, y₂,… , y_n. Достоинство этого критерия состоит в том, что он применим к случайным величинам, распределения которых неизвестны; требуется лишь, чтобы величины были непрерывными.

Если выборки однородны, то считают, что они извлечены из одной и той же генеральной совокупности и, следовательно, имеют одинаковые, причем неизвестные, непрерывные функции распределения F₁(x) и F₂(x).

Таким образом, нулевая гипотеза состоит в том, что при всех значениях аргумента функции распределения равны между собой: F₁(x)=F₂(x).

Конкурирующими являются следующие гипотезы: F₁(x)¹F₂(x), F₁(x)<F₂(x), F₁(x)>F₂(x).

Заметим, что принятие конкурирующей гипотезы Н₁: F₁(x)<F₂(x) означает, что Х>Y. Аналогично, если справедлива конкурирующая гипотеза Н₁: F₁(x)>F₂(x), то Х<Y.

Далее предполагается, что объем первой выборки меньше (не больше) объема второй: ; если это не так, то выборки можно перенумеровать (поменять местами).

Глава 7. Элементы корреляционного, регрессионного и дисперсионного анализа

Ранговая корреляция.

Статистические оценки параметров распределения

Оценка параметров распределения случайной величины Х по данным выборки является одной из задач статистики.

Для вычисления параметра (обозначим его через Θ) изучить все элементы генеральной совокупности (которую теоретически считают бесконечной) не представляется возможным. Обычно в распоряжении исследователя имеются лишь данные выборки генеральной совокупности, например, значения количественного признака х₁, х₂, …, х_n, полученные в результате n наблюдений (здесь и далее наблюдения предполагаются независимыми). Через эти данные и выражают оцениваемый параметр.

Определение 6.1.18. Оценкой параметра Θ называют всякую функцию результатов наблюдений над случайной величиной Х (иначе – статистику), с помощью которой судят о значении оцениваемого параметра:

.

Определение 6.1.19. Несмещенной называется такая оценка , математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру Θ, т.е.

,

в противном случае оценка называется смещенной.

Определение 6.1.20. Состоятельной называется такая оценка параметра Θ, что для любого наперед заданного числа ε > 0 вероятность Р(| –Θ|< ε)®1 при n®¥ .[1]

Это значит, что при достаточно больших n можно с вероятностью, близкой к 1 утверждать, что оценка отличается от оцениваемого параметра Θ меньше, чем на ε. Поэтому на практике имеет смысл использовать только состоятельные оценки.

Чем меньше дисперсия оценки, тем меньше вероятность грубой ошибки при определении приближенного значения параметра. Поэтому необходимо, чтобы дисперсия оценки была минимальной. Оценка, обладающая таким свойством, называется эффективной.