Классификация показательных уравнений.

1. Уравнения, решаемые переходом к одному основанию.

Пример 18. Решить уравнение .

Решение: Воспользуемся тем, что все основания степеней являются степенями числа 5: .

2. Уравнения, решаемые переходом к одному показателю степени.

Эти уравнения решаются преобразованием исходного уравнения к виду , которое использованием свойства пропорции приводится к простейшему.

Пример 19. Решить уравнение:

Решение:

.

3. Уравнения, решаемые вынесением общего множителя за скобки.

Если в уравнении каждый показатель степени отличается от другого на некоторое число, то уравнения решаются вынесением за скобки степени с наименьшим показателем.

Пример 20. Решить уравнение .

Решение: Вынесем в левой части уравнения степень с наименьшим показателем за скобки:

.

Пример 21. Решить уравнение

Решение: Сгруппируем отдельно в левой части уравнения слагаемые, содержащие степени с основанием 4, в правой части – с основанием 3, затем вынесем степени с наименьшим показателем за скобки:

.

4. Уравнения, сводящиеся к квадратным (или кубическим) уравнениям.

К квадратному уравнению относительно новой переменной y сводятся уравнения:

а) вида подстановкой , при этом ;

б) вида подстановкой , при этом .

Пример 22. Решить уравнение .

Решение: Сделаем замену переменной и решим квадратное уравнение:

.

Ответ: 0; 1.

5. Однородные относительно показательных функций уравнения.

Уравнение вида является однородным уравнением второй степени относительно неизвестных a^x и b^x . Такие уравнения сводятся предварительным делением обеих частей на и последующей подстановкой к квадратным уравнениям.

Пример 23. Решить уравнение .

Решение: Разделим обе части уравнения на :

.

Положив , получим квадратное уравнение с корнями .

Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений . Из первого уравнения находим, что . Второе уравнение не имеет корней, так как при любых значения x.

Ответ: -1/2.

6. Рациональные относительно показательных функций уравнения.

Пример 24. Решить уравнение .

Решение: Разделим числитель и знаменатель дроби на 3^x и получим вместо двух – одну показательную функцию:

7. Уравнения вида .

Такие уравнения с множеством допустимых значений (ОДЗ), определяемым условием , логарифмированием обеих частей уравнения приводятся к равносильному уравнению , которые в свою очередь равносильны совокупности двух уравнений или .

Пример 25. Решить уравнение: .

Решение:

.

Дидактический материал.

Решите уравнения:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ; 11. ;

12. ; 13. ;

14. ; 15. ;

16. ; 17. ;

18. ; 19. ;

20. ; 21. ;

22. ; 23. ;

24. ; 25. .

26. Найдите произведение корней уравнения .

27. Найдите сумму корней уравнения .

Найдите значение выражения:

28. , где x₀ – корень уравнения ;

29. , где x₀ – целый корень уравнения .

Решите уравнение:

30. ;

31. ; 32. .

Ответы: 1. 0; 2. -2/9; 3. 1/36; 4. 0, 0.5; 5. 0; 6. 0; 7. -2; 8. 2; 9. 1, 3; 10. 8; 11. 5; 12. 1; 13. ¼; 14. 2; 15. -2, -1; 16. -2, 1; 17. 0; 18. 1; 19. 0; 20. -1, 0; 21. -2, 2; 22. -2, 2; 23. 4; 24. -1, 2; 25. -2, -1, 3; 26. -0.3; 27. 3; 28. 11; 29. 54; 30. -1, 0, 2, 3; 31. ; 32. .

Тема №8.

Показательные неравенства.

1º. Неравенство, содержащее переменную в показателе степени, называется показательным неравенством.

2º. Решение показательных неравенств вида основано на следующих утверждениях:

если , то неравенство равносильно ;

если , то неравенство равносильно .

При решении показательных неравенств используют те же приемы, что и при решении показательных уравнений.

Пример 26. Решить неравенство (методом перехода к одному основанию).

Решение: Так как , то заданное неравенство можно записать в виде: . Так как , то данное неравенство равносильно неравенству .

.

Решив последнее неравенство, получим .

Ответ: .

Пример 27. Решить неравенство: (методом вынесения общего множителя за скобки).

Решение: Вынесем за скобки в левой части неравенства , в правой части неравенства и разделим обе части неравенства на (-2), поменяв знак неравенства на противоположный:

.

Так как , то при переходе к неравенству показателей знак неравенства опять меняется на противоположный. Получаем . Таким образом, множество всех решений данного неравенства есть интервал .

Ответ: .

Пример 28. Решить неравенство (методом введения новой переменной).

Решение: Пусть . Тогда данное неравенство примет вид: или , решением которого является интервал .

Отсюда . Поскольку функция возрастает, то .

Ответ: .

Дидактический материал.

Укажите множество решений неравенства:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. .

6. При каких значениях x точки графика функции лежат ниже прямой ?

7. При каких значениях x точки графика функции лежат не ниже прямой ?

Решите неравенство:

8. ; 9. ; 10. ;

11. ; 12. .

13. Укажите наибольшее целое решение неравенства .

14. Найдите произведение наибольшего целого и наименьшего целого решений неравенства .

Решите неравенство:

15. ; 16. ; 17. ;

18. ; 19. ; 20. ;

21. ; 22. ; 23. ;

24. ; 25. ; 26. .

Найдите область определения функции:

27. ; 28. .

29. Найдите множество значений аргумента, при которых значения каждой из функций больше 3:

и .

Ответы: 11. 3; 12. 3; 13. -3; 14. 1; 15. (0; 0,5); 16. [1,5; 5]; 17. (-1; 0)U(3; 4); 18. [-2; 2]; 19. (0; +∞); 20. (0; 1); 21. (3; +∞); 22. (-∞; 0)U(0,5; +∞); 23. (0; 1); 24. (-1; 1); 25. (0; 2]; 26. (3; 3,5)U (4; +∞); 27. (-∞; 3)U{5}; 28. [2; +∞); 29. (-∞; log₅(5 -5)).

Тема №9.

Логарифмы.

1º. Логарифмом числа b по основанию a (где ) называется показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить число b.

Логарифм числа b по основанию a обозначается символом log_ab. В записи log_ab число a называют основанием логарифма, число b – логарифмируемым числом.

Равенство означает, что .

2º. Основным логарифмическим тождеством называется равенство , которое справедливо при .

Например, .

3º. Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается lg вместо log₁₀. Логарифм по основанию e (e=2,712828…) называется натуральным логарифмом и обозначается ln вместо log_e.

4º. Основные свойства логарифмов:

1) ;

2) ;

3) (логарифм произведения), где ;

4) (логарифм частного), где ;

5) (логарифм степени), где ;

Замечание. Если b<0, а p – четное целое число, то справедлива формула:

6) (формула перехода к другому основанию логарифма).

В частности, .

Пример 29. Найти .

Решение: Воспользуемся основным логарифмическим тождеством и свойством «логарифм степени».

.

Пример 30. Вычислить .

Решение: Для решения данного примера необходимо использовать все свойства логарифмов:

.

Пример 31. Вычислить .

Решение: Для решения данного примера используются все свойства логарифмов, а также основное логарифмическое тождество:

.

Ответ: 19.

Пример 32. Найти , если и .

Решение: Разложим числа 168, 54, 24 и 12 на множители:

. Полагая и , выразим через x и y все логарифмы, содержащиеся в условии:

;

;

.

Согласно условию для определения x и y получаем систему уравнений:

, решая которую находим , .

Подставим найденные значения x и y в равенство для определения , получим ответ: .

5º. Логарифмирование – это преобразование, при котором логарифм выражения с переменными приводится к сумме или разности логарифмов переменных.

Потенцирование – это преобразование, обратное логарифмированию.

Пример 33. Дано , где .

Найти выражение для x.

Решение: Потенцируя, получим:

, .

Дидактический материал.

Вычислите:

1. ; 2. ; 3. ; 4. ;

5. ; 6. ; 7. ;

8. ; 9. ; 10. ;

11. ; 12. .

13. Прологарифмируйте по основанию 3 выражение .

14. Прологарифмируйте по основанию 5 выражение .

15. Прологарифмируйте по основанию 4 выражение .

16. Вычислите x, если .

17. Вычислите x, если .

Вычислите значение выражения:

18. при ;

19. при ;

20. при ;

21. при .

Упростите выражение:

22. ; 23. ;

24. ; 25. .

26. Известно, что . Найдите .

27. Найдите значение выражения , если .

28. Найдите значение выражения , если .

29. Найдите значение выражения , если .

30. Найдите значение выражения , если .

Найдите значение функции:

31. при ;

32. при .

Тема №10.

Преобразование тригонометрических выражений.

1º. На плоскости xOy рассмотрим окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 1. На единичной окружности отметим точку A(1;0). Радиус OA называют начальным радиусом. При повороте начального радиуса на угол α около центра О точка А(1;0) перейдет в некоторую точку М(x;y). Заметим, что поворот можно осуществить по часовой стрелки (угол поворота положителен) или против часовой стрелки (угол поворота отрицателен).

Косинусом угла α называется абсцисса точки М: .

Синусом угла α называется ордината точки М: .

Тангенсом угла α называется отношение ординаты точки М к ее абсциссе: .

Котангенсом угла α называется отношение абсциссы точки М к ее ординате: .

являются тригонометрическими функциями аргумента α.

2º. Единицами измерения величины угла являются градус и радиан.

Если начальный радиус окружности совершит один полный оборот, то получится угол, равный 360˚ или 2π радиан.

Связь между градусной и радианной мерами измерения угла: рад.

Из этой формулы следует:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) и т.д.

3º. Свойства тригонометрических функций:

Функции - нечетные функции:

.

Функция - четная: .

Функции - периодические с наименьшим периодом 2π:

.

Функции - периодические с наименьшим периодом π:

.

4º. Основное тригонометрическое тождество.

Согласно теореме Пифагора (“в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы”) координаты любой точки М(x;y) единичной окружности удовлетворяют уравнению: . Отсюда:

где (10.1)

Из этой формулы следует:

а) ; б) .

5º. Основные соотношения между тригонометрическими функциями:

, (10.2)

, (10.3)

, (10.4)

, (10.5)

. (10.6)

6º. Формулы сложения аргументов:

, (10.7)

, (10.8)

. (10.9)

7º. Формулы двойного аргумента:

, (10.10)

, (10.11)

. (10.12)

8º. Формулы понижения степени синуса и косинуса:

. (10.13)(10.14)

9º. Преобразование суммы и разности одноименных тригонометрических функций в произведение:

, (10.15)

, (10.16)

, (10.17)

. (10.18)

10º. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму:

, (10.19)

, (10.20)

. (10.21)

11º. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента.

При доказательстве тождеств, решении тригонометрических уравнений и т.п. часто возникает необходимость выразить все 4 тригонометрические функции через какую-нибудь одну функцию f(x). Для этого пользуются следующими формулами:

а) , (10.22)

б) , (10.23)

в) . (10.24)

12º. Формулы приведения. Это соотношения, при помощи которых значения тригонометрических функций аргументов выражают через тригонометрические функции угла α. Все формулы приведения можно свести в следующую таблицу:

Аргумент t   Функция
sin t	cos α	cos α	sin α	- sin α	-cos α	-cos α	-sin α	sin α
cos t	sin α	-sin α	-cos α	-cos α	-sin α	sin α	cos α	cos α
tg t	ctg α	-ctg α	-tg α	tg α	ctg α	-ctg α	-tg α	tg α
ctg t	tg α	-tg α	-ctg α	ctg α	tg α	-tg α	-ctg α	ctg α

Пример 34. Найдите , если .

Решение: . По формуле (10.6) . Так как α находится в 3-ей четверти, то и, следовательно, . Ответ: .

Пример 35. Вычислить значение выражения , если .

Решение: Используем формулу (10.10), а затем числитель и знаменатель дроби разделим на . Тогда:

Ответ: 9,25.

Пример 36. Доказать тождество: .

Решение: Используя формулы (10.15), (10.16), получим:

.

Пример 37. Вычислить , если .

Решение: Выразив и через по формулам (10.22), (10.23), получим:

.

Ответ: ¼.

Пример 38. Упростить выражение: .

Решение: Воспользуемся свойствами четности и нечетности тригонометрических функций, а также выделим период в аргументе функций и исключим его, опираясь на свойство периодичности функций:

,

,

,

,

.

Получаем:

Далее используем формулы приведения:

.

Ответ: -1.

Пример 39. Найти .

Решение: Воспользуемся формулой приведения и определением котангенса:

.

Поскольку угол находится в 4-ой четверти , то . Получаем:

.

Дидактический материал.

Найдите значение выражения:

1. , если ;
2. , если ;
3. , если ;
4. , если ;
5. , если , а α и β – углы I четверти;
6. , если ; а α и β – углы I четверти;
7. , если ;
8. , если .

Вычислите:

1. , если ;
2. , если ;
3. , если .

Упростите выражение:

1. ; 13. ;

1. ; 15. ;

1. ;
2. ; 18. ;

1. .

Преобразуйте в произведение:

1. ;
2. .

Найдите значение выражения:

1. ; 23. ;

1. ; 25. ; 26. .

Ответы: 1. 0; 2. 5,92; 3. 10; 4. 3; 5. 5,2; 6. 6; 7. 3; 8. 3; 9. 1,24; 10. -10; 11. 7/25; 12. 1; 13. 2; 14. 0; 15. 0; 16. 2; 17. -1; 18. 2; 19. -1; 20. ; 21. ; 22. ; 23. ; 24. 21; 25. 24; 26. 26.

Тема №11.