Неравенства с одной переменной (часть II).
Неравенства, содержащие знак модуля.
1º. При решении неравенств, содержащих неизвестные под знаком модуля, используется определение модуля, что приводит к рассмотрению двух случаев:
а) f(x) ≥ 0, тогда |f(x)| = f(x);
б) f(x)<0, тогда |f(x)| = -f(x).
2º. При решении неравенств вида |f(x)| < a или |f(x)| > b полезно использовать следующие соотношения:
1) неравенство вида |f(x)| < a (или |f(x)| ≤ a), где a > 0, равносильно двойному неравенству –a < f(x) < a (или –a ≤ f(x) ≤ a);
2) неравенство вида |f(x)| > b (или |f(x)| ≥ b), где b > 0, равносильно совокупности двух неравенств
.
3º. Для решения неравенств вида |f(x)| > |g(x)| используют метод возведения в квадрат обеих частей неравенства:
Пример 13. Решить неравенство .
Решение: Возведя обе части неравенства в квадрат, получим неравенство, равносильное данному: . Преобразовав последнее неравенство, получим
, откуда находим: x ≤ - 2 , x ≥ 0.
Ответ: .
4º. Для решения неравенств вида часто применяют «метод промежутков». Находят ОДЗ неравенства, затем находят корни совокупности уравнений
.
Эти корни разбивают ОДЗ на некоторое число промежутков. На каждом промежутке |fi(x)|=fi(x) или |fi(x)|=-fi(x), i=1,2,…,n. Поэтому на каждом из них данное неравенство заменяется на другое неравенство, уже не содержащее знаков модуля и равносильное данному неравенству на этом промежутке. Затем решают полученные неравенства (каждое на своем промежутке). Объединение всех найденных решений дает решение исходного неравенства.
Пример 14. Решить неравенство .
Решение:
Решение первой системы: ; второй:
; третьей:
. Объединяя, получим
.
Множество значений функции.
1º. Множеством (областью) значений E(y) функции y=f(x) называется множество всех таких чисел y0, для каждого из которых найдется число x0 такое, что f(x0)=y0.
2º. Областью значений всякого многочлена четной степени является промежуток , где m – наименьшее значение этого многочлена, либо промежуток
, где n – наибольшее значение этого многочлена.
Областью значений всякого многочлена нечетной степени является R.
3º. Области значений основных элементарных функций:
Пример 15. Найти множество значений функции , если x≤1.
Решение: Данная функция не определена при x=0 и, следовательно, задана на множестве .
Рассмотрим x<0, тогда |x|=-x и функция принимает вид . Так как
для x<0, то
. Таким образом, на промежутке
функция принимает значения от 5 до +∞.
Если x>0, то |x|=x и функция имеет вид . Так как
для
, то
.
Ответ: .
Дидактический материал.
Решите неравенства:
1. ; 2.
; 3.
;
4. ; 5.
; 6.
;
7. ; 8.
; 9.
;
10. ; 11.
; 12.
;
13. ; 14.
;
15. ; 16.
;
17. ; 18.
.
19. При каких x точки графика функции лежат выше прямой
?
20. При каких x точки графика лежат не ниже точек графика функции
?
Найти множество значений функции:
21. , если
; 22.
, если
.
Тема №6.
Иррациональные уравнения.
1º. Иррациональным называют уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня.
При решении иррациональных уравнений применяют 2 метода: метод возведения в степень обеих частей уравнения и метод введения новой переменной (замены переменной).
2º. Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень состоит в следующем:
а) преобразуют заданное иррациональное уравнение к виду ;
б) возводят обе части полученного уравнения в n-ую степень: ;
в) учитывая, что , получают уравнение
и решают его.
3º. Следует учитывать, что при возведении обеих частей уравнения в четную степень возможно появление посторонних корней. В этом случае обязательна проверка найденных корней путем их подстановки в исходное уравнение.
Пример 16. Решить уравнение .
Решение: Преобразуем уравнение к виду и возведем обе части его в квадрат. Получим:
Еще раз возведем обе части уравнения в квадрат:
Откуда получим:
Проверка: 1) При x=5 имеем: . Таким образом, x=5 является корнем заданного уравнения.
2) . Таким образом, x=197 – посторонний корень.
Ответ: 5.
4º. Метод замены переменной продемонстрируем на примере.
Пример 17. Решить уравнение .
Решение: Область определения уравнения: Пусть
, тогда
Поэтому
Отсюда:
1) Получили неверное числовое равенство, значит, в этом случае нет корней.
2)
Ответ: -8/7.
Дидактический материал.
Решите уравнения:
1. ; 2.
;
3. ; 4.
;
5. ; 6.
;
7. ; 8.
;
9. ; 10.
.
Найдите наименьший корень уравнения:
11. ; 12.
;
13. .
Найдите произведение всех корней уравнения:
14. ; 15.
.
Решите уравнения:
16. ; 17.
;
18. .
Тема №7.
Показательные уравнения.