Решение систем линейных уравнений в приложениях Mathcad и Excel

Рассмотрим решение систем линейных уравнений в приложении Mathcadматричным методом. Сначала записываются коэффициенты системы в матрицу A. Далее задается вектор B и записывается формула для определения корней

X := A^–1 × B.

Корни вычисляются после набора выражения: X =

В приложении Excelтакже можно использовать матричный метод. Пусть имеется система линейных уравнений третьего порядка. Первоначально необходимо ввести элементы матрицы А, например, в ячейки А1:С3. Затем − вектор В, например, в ячейки Е1:Е3.

Далее следует выделить диапазон ячеек для вычисления корней, например G1:G3, и в строке формул набрать:

=МУМНОЖ(МОБР(A1:C3);E1:E3)

После ее набора нажать не одну клавишу ввода, а вместе три клавиши: <Shift> + <Ctrl> + <Enter>. В ячейках G1:G3 появятся вычисленные корни системы линейных уравнений.

Решение систем нелинейных уравнений в приложении Mathcad

Системы нелинейных уравнений могут иметь разнообразный вид. Рассмотрим способ решения системы нелинейных уравнений на примере. Пусть имеется система:

В приложении Mathcad надо записать начальные приближения корней и систему уравнений в блоке given:

x1 := 1 x2 := 1

Given

5x1 × x2 + 0.2x2 = – 6

– 6x1 + 4x1×x2 = 0.8

При записи системы используется не знак равенства, а знак логического равенства =, который имеется на панели Булево.Затем вводится встроенная функция: r := find(x1, x2).

Чтобы получить значения корней, надо записать:r =

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОЦЕССОВ

Модель одномерного объекта

Пусть в результате проведения эксперимента получена табличная зависимость значений выходного параметра процесса y от значений входного параметра x(рис. 21.1).

Объект

xy

Рис. 10.1. Одномерный объект

Требуется получить эмпирическую формулу, описывающую зависимость yотx. Решение такой задачи состоит из двух этапов.

На первом этапе выбирается общий вид формулы, исходя из теоретических представлений о характере изучаемого процесса. Это может быть, например, полином m-степени:

y = a0 + a1 × x + a2 × x² +…+ am × x^m.

Формула может содержать тригонометрические, экспоненциальные, логарифмические функции и т. п.

На втором этапе определяются значения параметров a0, a1, …, am эмпирической формулы f(x, a0, a1, a2, …, am), которые обеспечивали бы соответствие этой формулы экспериментальным данным.

В соответствии с методом наименьших квадратов параметры a0, a1, …, am выбираются так, чтобы была минимальной сумма квадратов:

Чтобы найти нужные параметры, следует взять частные производные от правой части по a0, a1, …, am и приравнять их к нулю. Полученную систему уравнений можно решить одним из известных методов.

Пример. Пусть требуется определить параметры a0, a1, a2 полинома второй степени:

y = a0 + a1×x + a2×x².

Надо взять частные производные от выражения

и приравнять их к нулю:

Отсюда

Решив эту систему линейных урвнений можно определить искомые величины a0, a1, a2.

Рассмотрим алгоритм метода наименьших квадратов для вычисления коэффициентов полинома второй степени:

1. Ввод количества опытов n, значений x₁, x₂, …, x_n, y₁, y₂, …, y_n.

2. Определение коэффициентов системы линейных уравнений:

a_1,2 = a_1,3 = a_2,3 = a_3,3 =

b₁ = , b₂ = b₃ =

a_1,1 = n, a_2,1 = a_1,2, a_2,2 = a_1,3, a_3,1 = a_1,3, a_3,2 = a_2,3.

3. Решение системы A × Z = B, где A – матрица коэффициентов, B – вектор свободных членов системы, Z – вектор, в котором определяются корни z₁ = a0, z₂ = a1, z₃ = a2.

4. Вывод искомых коэффициентов a0, a1, a2.

5. Определение и вывод разностей d₁, d₂, …, d_n.