Расчет брусьев прямоугольного сечения
Рассмотрим брус прямоугольного сечения, нагруженный таким образом, что в его поперечных сечениях действуют изгибающие моменты и , а также крутящий момент (рис. 4.3).
Рис. 4.3
Чтобы проверить прочность бруса, нужно в опасном сечении найти опасную точку, вычислить для нее эквивалентное напряжение (по одной из теорий прочности) и сопоставить его с допускаемым напряжением.
Для нахождения опасной точки сечения построим эпюры напряжений от всех силовых факторов (рис. 4.4).
Рис. 4.4
Эпюры нормальных и касательных напряжений наглядно показывают, что, в отличие от круглого сечения, точки, в которых имеют место максимальные нормальные и максимальные касательные напряжения, не совпадают. В следствие этого, условие прочности составляют, как минимум для трех наиболее опасных точек поперечного сечения.
Опасной точкой по нормальным напряжениям является точка , в которой от и от положительны, или точка , в которой от и от также одного знака, но отрицательны. Касательные напряжения от крутящего момента в этих точках равны нулю. Таким образом, в этих точках имеет место линейное напряженное состояние.
Опасной точкой по касательным напряжениям является точка (или ), лежащая в середине длинной стороны прямоугольника. Кроме того, в этой точке действуют максимальные нормальные напряжения от изгибающего момента .
Следует отметить, что в точке (или ), расположенной в середине короткой стороны также действуют касательные напряжения (несколько меньшие ) и максимальные нормальные напряжения от .
Таким образом, в точках поперечного сечения , (,) имеет место плоское напряженное состояние, которое обуславливает использование гипотез прочности при расчетах на прочность. Для пластичных материалов применяют III (наибольших касательных напряжений) и IV (энергетическую) гипотезы прочности.
Составим условия прочности для трех предположительно опасных точек поперечного сечения
т. : ; .
т. : ; , .
т. : ; , .
Расчетная формула по четвертой гипотезе прочности
.
Для хрупких материалов может быть использована гипотеза прочности Мора, которая для пластичных материалов приводится к третьей гипотезе, а для очень хрупких – к первой гипотезе
. (4.7)
Пример 4.2. Коленчатый стальной стержень прямоугольного поперечного сечения защемлен одним концом и нагружен поперечной силой =0.9 кН на свободном конце. Определить в точках и защемленного сечения расчетные напряжения по третьей теории прочности (рис. 4.5).
Рис. 4.5
Решение: Построим эпюру моментов с целью определения величин внутренних силовых факторов, действующих в поперечном сечении стержня в заделке (рис. 4.6).
Рис. 4.6
В результате действия силы в защемленном сечении будут действовать изгибающий и крутящий моменты.
Эквивалентные напряжения по третьей теории прочности рассчитываются по формуле
.
Для точки : ,
,
здесь , , .
Для точки : ,
,
здесь , , .
.
Общий случай сложного сопротивления
Приемы определения напряжений и деформаций, которые использовались при решении частных задач сложного сопротивления (косой изгиб, внецентренное растяжение-сжатие, изгиб с кручением) могут быть распространены на более сложные случаи нагружения, когда в поперечных сечениях бруса действуют все шесть силовых факторов.
В качестве примера рассмотрим расчет ломанного бруса, показанного на рис. 5.1.
Пример 5.1. Для заданного ломанного бруса (рис. 5.1), имеющего круглые поперечные сечения в пределах элементов длиной и , прямоугольное сечение в пределах элемента длиной , требуется выполнить следующие расчеты:
Рис. 5.1
1. Построить эпюры продольных усилий, изгибающих и крутящих моментов,
2. Определить допускаемые нагрузки и , исходя из заданных размеров прямоугольного сечения элемента бруса длиной ,
3. Определить диаметры круглых сечений элементов бруса длиной и .
Примечания:
а) Построение эпюр внутренних силовых факторов производить, используя скользящую систему координат с постоянным направлением осей.
б) В расчетах на прочность использовать теорию максимальных касательных напряжений.
в) Прямоугольное сечение бруса длиной считать ориентированным так, что плоскость наибольшей жесткости совпадает с плоскостью действия максимального изгибающего момента.
Таблица исходных значений
| , м | , м | , м | , см | , МПа | ||
| 0.23 | 0.28 | 0.33 | 1.3 | 2.5 |
Решение.
1. Построение эпюр внутренних силовых факторов
Для определения величины и характера распределения внутренних силовых факторов по длине каждого участка ломаного бруса построим эпюры продольных сил , изгибающих и крутящих моментов . Поперечными силами в расчетах, как правило, пренебрегают, так как их влияние незначительно. Для ломаного бруса, показанного на рис. 5.1, эпюры внутренних силовых факторов приведены на рис. 5.2.
Рис. 5.2
2. Определение допускаемой нагрузки и .
2.1 Определение опасного сечения элемента бруса длиной .
Анализ эпюр показывает, что наиболее опасным является сечение в заделке. В этом сечении действуют: максимальный изгибающий момент , изгибающий момент , постоянный по длине участка, крутящий момент , а также продольная сжимающая сила .
2.2 Определение опасных точек в опасном сечении элемента
Прямоугольное сечение элемента бруса длиной ориентируем так, чтобы плоскость наибольшей жесткости совпадала с плоскостью действия максимального изгибающего момента . Положение плоскости наибольшей жесткости определяется жесткостью поперечного сечения относительно главных центральных осей и , в частности, величиной максимального момента сопротивления. В данном случае (рис. 5.3)
, , , т.к. .
Максимальный изгибающий момент также действует относительно оси (). Следовательно, сечение должно быть расположено так, как показано на рис. 5.3.
Для определения положения опасных точек в опасном сечении построим эпюры распределения нормальных (от ) и касательных (от ) напряжений (рис. 5.3).
Рис. 5.3
Эпюры нормальных и касательных напряжений показывают, что наиболее опасными являются следующие три точки этого сечения:
ü точка , где суммируются нормальные напряжения от , касательные напряжения равны нулю,
ü точка , где суммируются нормальные напряжения от , а касательные напряжения от принимают максимальные значения,
ü точка , где суммируются нормальные напряжения от , а касательные напряжения равны .
2.3. Определение величин изгибающих и крутящих моментов в опасном сечении и моментов сопротивления.
Выразим через величину . Так как по условию задачи =1.3, то получаем .
Моменты в опасном сечении имеют следующие значения:
При заданном соотношении и см моменты сопротивления принимают следующие значения:
где при .
2.4 Определение допускаемой нагрузки
Расчет в точке . В точке имеют место только нормальные напряжения, поэтому на основании принципа независимости действия сил
,
..
Расчет в точке . Для точки имеем
,
.
Так как в точке имеют место нормальные и касательные напряжения, используем условие прочности по третьей гипотезе
.
.
Расчет в точке . Для точки имеем
,
.
где , , .
По III гипотезе прочности имеем
.
Из полученных результатов видно, что сосредоточенная сила должна быть меньше или равна 3.3 кН, т.е. точка оказалась самой опасной из трех.
3. Определение диаметров круглых сечений элементов ломаного бруса при , .
3.1. Определение диаметра круглого сечения элемента бруса длиной .
Опасным является сечение в конце участка, если двигаться от свободного конца бруса, где действует один силовой фактор – изгибающий момент . Условие прочности будет иметь вид
.
.
.
3.2. Определение диаметра круглого сечения элемента бруса длиной .
Анализ эпюр (рис. 5.2) на втором участке показывает, что опасным является сечение в конце участка, если двигаться со свободного конца бруса, где изгибающие моменты и принимают максимальные значения, а крутящий момент , т.е. имеет место изгиб с кручением бруса круглого поперечного сечения (см. раздел 4.1). На рис. 5.4 два изгибающих момента приведены к одному суммарному и показаны опасные точки сечения и .
Рис. 5.4
Величины моментов
,
,
.
Условие прочности для круглого сечения согласно III теории прочности имеет вид
.
где .
,
.
.
|