Часть 1. Построение эпюры поперечной силы и изгибающего момента на консольной балке

Что такое консольная балка, и какие особенности существуют при построении эпюр на такой схеме?

Консольной называют такую балку, у которой один конец закреплен в жесткой заделке, а другой свободен от закрепления. Построение эпюр производят на основе алгоритма экспресс метода по характерным сечениям, но при этом есть рекомендация : строить эпюры в определенном направлении – от свободного конца к заделке, всегда оставляя часть со свободным концом для вычисления значений внутренних силовых факторов в характерном сечении. А зачем ? Затем, чтобы не определять реактивных усилий в заделке, экономя время на решение задачи.

1.3.3. Пример решения задачи

Задача

Для данной консольной балки построить эпюры поперечной силы Q_y и изгибающего момента М_х.

РЕШЕНИЕ

Итак, строить эпюры будем, не определяя реактивных усилий в заделке. Направление построения примем со свободного конца к заделке, т.е. от точки B к точке К. Начинаем построение с эпюры поперечной силы Q_y.

Построение эпюры Q_y

Под расчетной схемой проведем базу для эпюры и разделим ее на участки. Для этого обозначим буквами характерные сечения: B, C, D, L, K. Таким образом на схеме и, соответственно, на базе получилось четыре участка: BC, CD, DL и LK.

Ый участок (BC)

Правая граница участка т. B: имеется сосредоточенная сила F=30 кН, от которой на эпюре должен быть скачок на величину 30кН. Знак скачка определим, поворачивая силу по ходу построения эпюры, т.е. справа налево. Сила поворачивается против часовой стрелки, поэтому откладываем ординату 30 кН вниз, в отрицательную сторону.

Состояние по длине участка: весь участок загружен распределенной нагрузкой, поэтому на эпюре будет наклонная прямая с угловым коэффициентом, равным q=20кН/м, а поскольку направление вектора q противоположно направлению силы F, наклонная прямая пойдет вверх, в положительную область значений Q_y.

Правая граница участка т. С: определим величину силы, на которую произойдет изменение поперечной силы за счет действия распределенной нагрузки на участке, умножив q на длину участка 1 м, получим 20кН. Величина поперечной силы в т. «С» определится как сумма: -F +q×1м=-10кН. Отложим это значение вниз от базы, т.е. со знаком «–». Соединим ординаты на левой и правой границе участка наклонной прямой.

Ой участок (CD)

Правая граница участка т. C: сосредоточенная сила отсутствует, а на сосредоточенный момент М=30кНм поперечная сила не реагирует. Следовательно, значение поперечной силы -10кН не изменится.

Состояние по длине участка: участок пустой, ничем не загружен, поэтому на эпюре должна быть прямая, параллельная базе. Проведем ее до левой границы участка.

Левая граница участка т. D: Значение такое же, как и на правой границе, т.е. -10кН.

Ий участок (DL)

Правая граница участка т. D: Сосредоточенная сила отсутствует, поэтому значение поперечной силы -10кН не изменится.

Состояние по длине участка: участок загружен равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью 2q=40кН/м. Поэтому на эпюре должна быть наклонная прямая с угловым коэффициентом, равным +2q=40кН/м. Почему +40кн/м . Потому, что стрелки интенсивности поворачиваются по часовой стрелке при движении по участку справа налево.

Левая граница участка т. L: определим величину силы, на которую произойдет изменение Q_y за счет действия распределенной нагрузки на участке, умножив 2q на длину участка 1 м, получим 40кН. Величина поперечной силы в т. «L» определится как сумма: -F +q ×1м +2q×1м=-10+40=30кН. Отложим это значение вверх от базы, т.е. со знаком «+». Соединим ординаты на левой и правой границе участка наклонной прямой.

Ый участок (LK)

Правая граница участка т. L: сосредоточенная сила отсутствует, т.е. значение поперечной силы 30 кН не изменится.

Состояние по длине участка: участок пустой, ничем не загружен, поэтому на эпюре должна быть прямая, параллельная базе. Проведем ее до левой границы участка.

Левая граница участка т. K: Значение такое же, как на правой границе, т.е. 30кН.

Построение эпюры изгибающего момента М_х

Ый участок (BC)

Правая граница участка т. B: Отсутствует сосредоточенный внешний момент, поэтому скачка в начале участка не будет. Начинаем эпюру момента с нуля.

Состояние по длине участка: участок загружен равномерно распределенной нагрузкой, поэтому на эпюре будет квадратичная парабола, выпуклостью вверх, навстречу действию нагрузки. Для определения наличия экстремума анализируем эпюру поперечной силы этого участка. Наклонная прямая на эпюре Q_y не пересекает базу, т.е. внутри участка не принимает нулевое значение. Это говорит о том, что экстремума на параболе не будет. Такие параболы строят по двум значениям в граничных точках участка.

Левая граница участка т. C: Определим значение внутреннего изгибающего момента в т. C по части балки BC в табличной форме:

Полученную величину момента 20кНм откладываем в точке C выше базы и соединяем с нулем в т. B параболой без экстремума, направляя выпуклость вверх.

Ой участок (CD)

Правая граница участка т. C: здесь находится сосредоточенный момент М=20кНм, который вызовет на эпюре скачок, равный 20кНм. Знак скачка определим по направлению действия момента. По ходу построения эпюры внешний момент направлен в сторону верхних волокон, поэтому откладываем скачок вверх и получим 40кНм.

Состояние по длине участка: участок пустой, ничем не загружен, поэтому на эпюре момента должна быть наклонная прямая с угловым коэффициентом Q_y=-10кН этого участка.

Левая граница участка т. D: Величину внутреннего момента в точке D определим с использованием табличной формы по всей части балки BD.

По двум значениям момента, полученным в точках C и D, строим наклонную прямую.

Ий участок (DL)

Правая граница участка т.D: сосредоточенный момент отсутствует, поэтому значение момента 50кНм не изменится.

Состояние по длине участка: участок загружен равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью 2q=40кН/м. Поэтому должна быть квадратичная парабола выпуклостью вверх навстречу действию 2q. Наличие экстремума определяем по эпюре поперечной силы этого участка. Очевидно, что в точке пересечения наклонной прямой на эпюре Q_y квадратичная парабола будет иметь экстремальное значение. Определим расстояние от точки D до точки экстремума. Для этого величину, отсекаемую наклонной прямой в точке D, поделим на угловой коэффициент этой наклонной прямой, равный 2q=40кН/м: 10кН/40кНм/м=0,25 м. Обозначим соответствующее сечение на расчетной схеме буквой S. Вычислим величину экстремума по части балки BS, используя табличную форму.

Левая граница участка т. L: определим величину момента по части балки BL, используя табличную форму.

По значениям момента, полученным в трех точках участка, строим параболу.

Ый участок (LK)

Правая граница участка т. L: сосредоточенный внешний момент отсутствует, т.е. значение 40кНм, полученное в данной точке в конце предыдущего участка не изменится.

Состояние по длине участка: участок пустой, ничем не загружен, поэтому на эпюре должна быть наклонная прямая с угловым коэффициентом, равным Q_y=30кН данного участка.

Левая граница участка т. K: значение внутреннего момента вычислим по всей балке BK, используя табличную форму.

Полученную величину момента 10кНм на верхних волокнах откладываем в точке K выше базы и соединяем наклонной прямой со значением в точке L.

Правильность построенных эпюр проверим, используя дифференциальную зависимость слева направо в пределах каждого участка. Участки KL и LS: Q_y>0, M_x↑; участки SD, DC и CD: Q_y<0, M_x↓. Анализ показал полное соответствие поведения функции изгибающего момента дифференциальной зависимости.

Эпюры построены.

1.3.4. Задача для самостоятельного решения на занятии

Для данной расчетной схемы построить эпюры поперечной силы и изгибающего момента, используя основные закономерности и определяя значения внутренних силовых факторов в характерных сечениях.