Дифференциалы высших порядков

Пусть Дифференциалы высших порядков - student2.ru дифференцируемая функция, а ее аргумент x – независимая переменная. Ее первый дифференциал Дифференциалы высших порядков - student2.ru есть также функция x. Можно найти дифференциал этой функции.

Дифференциалом второго порядка называется дифференциал от первого дифференциала, т.е.

Дифференциалы высших порядков - student2.ru .

Найдем выражение второго дифференциала функции Дифференциалы высших порядков - student2.ru . Так как Дифференциалы высших порядков - student2.ru не зависит от x, то при дифференцировании считаем Дифференциалы высших порядков - student2.ru постоянным:

Дифференциалы высших порядков - student2.ru

Таким образом, получаем

Дифференциалы высших порядков - student2.ru . (4.3)

Равенство (4.3) есть формула, по которой находится дифференциал второго порядка функции Дифференциалы высших порядков - student2.ru , если x – независимая переменная.

Аналогично определяется и находится дифференциал третьего порядка:

Дифференциалы высших порядков - student2.ru .

И, вообще, дифференциал n-го порядка есть дифференциал от дифференциала (n-1)-го порядка: Дифференциалы высших порядков - student2.ru .

Отсюда находим, что Дифференциалы высших порядков - student2.ru . В частности, при Дифференциалы высших порядков - student2.ru соответственно получаем:

Дифференциалы высших порядков - student2.ru , Дифференциалы высших порядков - student2.ru , Дифференциалы высших порядков - student2.ru .

т.е. производную функции можно рассматривать как отношение ее дифференциала соответствующего порядка к соответствующей степени дифференциала независимой переменной.

Отметим, что все приведенные выше формулы справедливы только, если x – независимая переменная. Если же функцию Дифференциалы высших порядков - student2.ru , где x есть функция от какой-то другой независимой переменной, то дифференциалы второго и выше порядков не обладают свойством инвариантности формы и вычисляются по другим формулам. Покажем это на примере дифференциала второго порядка.

Используя формулу дифференциала произведения ( Дифференциалы высших порядков - student2.ru ), получаем:

Дифференциалы высших порядков - student2.ru ,

т.е.

Дифференциалы высших порядков - student2.ru . (4.4)

Сравнивая формулы (2.3) и (2.4), убеждаемся, что в случае сложной функции формула дифференциала второго порядка изменяется: появляется второе слагаемое Дифференциалы высших порядков - student2.ru .

Ясно, что если x – независимая переменная, то

Дифференциалы высших порядков - student2.ru

и формула (4.4) переходит в формулу (4.3).

5. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ

Возрастание и убывание функций.

Точки экстремума

В мире не происходит ничего, в чем бы не был виден смысл какого-нибудь максимума или минимума. Л. Эйлер

Процессы, происходящие в механике, физике, химии, термодинамике, экономике, очень часто описываются функциями, заданными формулами. Чтобы знать характеристики рассматриваемого процесса, следует изучить характеристики функций, описывающих процесс, а для наглядности рассмотреть функции в их графическом задании. Но чаще интерес представляет не графическое задание функции, а качественное поведение графика функции без соблюдения масштабных размеров для достаточно точного (приближенного с заданной точностью) определения значений функции. Эти качественные свойства функций можно описать, используя методы дифференциального исчисления.

Теорема 5.1 (условие монотонности функции). Пусть функция Дифференциалы высших порядков - student2.ru определена на X и внутри имеет конечную производную Дифференциалы высших порядков - student2.ru . Для того чтобы Дифференциалы высших порядков - student2.ru была монотонно возрастающей (убывающей), достаточно, чтобы Дифференциалы высших порядков - student2.ru ( Дифференциалы высших порядков - student2.ru ) для всех x внутри X.

Теорему примем без доказательства.

Если функция Дифференциалы высших порядков - student2.ru , определенная и непрерывная на множестве X, не является монотонной, то найдутся такие части промежутка X, что наибольшее или наименьшее значение достигается функцией во внутренней точке.

Определение 5.1. Функция Дифференциалы высших порядков - student2.ru имеет в точке Дифференциалы высших порядков - student2.ru максимум (минимум), если существует такая окрестность точки Дифференциалы высших порядков - student2.ru Дифференциалы высших порядков - student2.ru , не выходящая из области определения функции, что для всех Дифференциалы высших порядков - student2.ru

Дифференциалы высших порядков - student2.ru Дифференциалы высших порядков - student2.ru .

Максимум и минимум называют общим термином «экстремум».

Из определения экстремума следует, что вне окрестности точки максимума Дифференциалы высших порядков - student2.ru значения функции могут быть больше этого максимума. Поэтому такой максимум называется локальным (местным). Аналогично определяется локальный минимум. Точки локального максимума и минимума называются точками локального экстремума, а значения функции в них – локальными экстремумами функции.

Если функция Дифференциалы высших порядков - student2.ru определена на отрезке Дифференциалы высших порядков - student2.ru и имеет локальный экстремум на каком-то из концов этого отрезка, то такой экстремум будем называть локальным односторонним или краевым экстремумом. В этом случае соответствующая окрестность является правой для a и левой для b полуокрестностью.

Дифференциалы высших порядков - student2.ru

Рассмотрим условия существования экстремума функции. Необходимое условие экстремума примем без доказательства.

Теорема 5.2 (необходимое условие экстремума). Если дифференцируемая функция Дифференциалы высших порядков - student2.ru имеет экстремум в точке Дифференциалы высших порядков - student2.ru , то ее производная в этой точке равна нулю: Дифференциалы высших порядков - student2.ru .

Дифференциалы высших порядков - student2.ru

Отметим, что обратная теорема неверна, т.е. если Дифференциалы высших порядков - student2.ru , то это не значит, что Дифференциалы высших порядков - student2.ru – точка экстремума.

Точки, в которых производная равна нулю, называются стационарными (критическими или «подозрительными» на экстремум). Точки, в которых функция непрерывна, но производная не существует или бесконечна, также являются критическими, так как это тоже точки, где может быть экстремум.

Например, для функции Дифференциалы высших порядков - student2.ru ее производная Дифференциалы высших порядков - student2.ru равна нулю при Дифференциалы высших порядков - student2.ru , но Дифференциалы высших порядков - student2.ru не является точкой экстремума. Непрерывная функция Дифференциалы высших порядков - student2.ru в точке Дифференциалы высших порядков - student2.ru производной не имеет, но точка Дифференциалы высших порядков - student2.ru – точка минимума.

Теорема 5.3 (первое достаточное условие экстремума). Пусть точка Дифференциалы высших порядков - student2.ru – критическая, т.е. Дифференциалы высших порядков - student2.ru или Дифференциалы высших порядков - student2.ru не существует. Предположим, что в некоторой окрестности Дифференциалы высших порядков - student2.ru для Дифференциалы высших порядков - student2.ru существует конечная производная Дифференциалы высших порядков - student2.ru и она сохраняет свой знак слева и справа от Дифференциалы высших порядков - student2.ru . Тогда:

1) если Дифференциалы высших порядков - student2.ru при Дифференциалы высших порядков - student2.ru и Дифференциалы высших порядков - student2.ru при Дифференциалы высших порядков - student2.ru , т.е. при переходе через Дифференциалы высших порядков - student2.ru производная изменяет знак с «+» на «-», то в точке Дифференциалы высших порядков - student2.ru функция Дифференциалы высших порядков - student2.ru имеет максимум;

2) если Дифференциалы высших порядков - student2.ru при Дифференциалы высших порядков - student2.ru и Дифференциалы высших порядков - student2.ru при Дифференциалы высших порядков - student2.ru , т.е. при переходе через Дифференциалы высших порядков - student2.ru производная изменяет знак с «-» на «+», то в точке Дифференциалы высших порядков - student2.ru функция имеет минимум;

3) если при переходе через Дифференциалы высших порядков - student2.ru знак производной Дифференциалы высших порядков - student2.ru не изменяется, то экстремума в точке Дифференциалы высших порядков - student2.ru нет.

Теорема 5.4 (второе достаточное условие экстремума). Если Дифференциалы высших порядков - student2.ru – критическая точка, т.е. Дифференциалы высших порядков - student2.ru , и функция Дифференциалы высших порядков - student2.ru в точке Дифференциалы высших порядков - student2.ru имеет вторую производную Дифференциалы высших порядков - student2.ru , то в случае Дифференциалы высших порядков - student2.ru функция имеет в точке Дифференциалы высших порядков - student2.ru максимум, а при Дифференциалы высших порядков - student2.ru – минимум.

Надо отметить, что т. 4.4. не применима, если Дифференциалы высших порядков - student2.ru или Дифференциалы высших порядков - student2.ru не существует.

Пример 5.1. Найти точки экстремума и промежутки возрастания и убывания для функции:

Дифференциалы высших порядков - student2.ru .

Решение. Функция определена и дифференцируема на Дифференциалы высших порядков - student2.ru . Ее производная равна Дифференциалы высших порядков - student2.ru . Необходимое условие экстремума: Дифференциалы высших порядков - student2.ru . Имеем Дифференциалы высших порядков - student2.ru . Получили две критические точки, которые разбивают всю область определения на три интервала Дифференциалы высших порядков - student2.ru . Применим первое достаточное условие экстремума, т.е. на рисунке отметим знаки первой производной и стрелками поведение функции на каждом интервале

Дифференциалы высших порядков - student2.ru

Точка Дифференциалы высших порядков - student2.ru – точка максимума. Дифференциалы высших порядков - student2.ru .

Точка Дифференциалы высших порядков - student2.ru – точка минимума. Дифференциалы высших порядков - student2.ru .

На интервалах Дифференциалы высших порядков - student2.ru и Дифференциалы высших порядков - student2.ru Дифференциалы высших порядков - student2.ru , следовательно, функция возрастает, на интервале Дифференциалы высших порядков - student2.ru – функция убывает.

II способ.

Вместо исследования перемены знака первой производной можно найти значения второй производной в критических точках: Дифференциалы высших порядков - student2.ru . Дифференциалы высших порядков - student2.ru , т.е. в точке Дифференциалы высших порядков - student2.ru вторая производная отрицательна, то в этой точке функция имеет максимум, а если в точке Дифференциалы высших порядков - student2.ru вторая производная положительна, то в этой точке функция имеет минимум. ,

Наши рекомендации