Производная сложной и обратной функций

Нахождение производной функции непосредственно по определению часто связано с определенными трудностями. На практике функции дифференцируют с помощью ряда правил и формул.

Теорема 3.2. Если функции и дифференцируемы в точке x, то функции , и дифференцируемы в этой точке, причем:

1) ;

2) , в частности , где ;

3) .

Следующие теоремы примем без доказательства.

Теорема 3.3. Если функция имеет в некоторой точке производную , а функция имеет в соответствующей точке производную , то сложная функция имеет производную в точке .

Теорема 3.4. Если функция строго монотонна на интервале и имеет неравную нулю производную в произвольной точке этого интервала, то обратная ей функция также имеет производную в соответствующей точке, определяемую равенством

.

Пример 3.2. Найти производные следующих функций:

1) ; 2) .

Решение. 1) Данная функция является сложной, т.е. Û . Тогда, согласно теореме 3.3. получаем

, .

Следовательно, .

Решение можно записать и так:

.

2) Для функции обратной является функция . Используя теорему 3.4., получаем

.

,

3.5.Таблица производных функций

На основе определения 3.1., а также теорем 3.2. – 3.4. можно записать таблицу производных элементарных функций:

1. ; 7. ; 13. ;

2. ; 8. ; 14. ;

3. ; 9. ; 15. ;

4. ; 10. ; 16. .

5. ; 11. ;

6. ; 12. ;

В математике, механике, электротехнике и некоторых других дисциплинах встречаются гиперболические функции, определяемые следующими формулами:

– гиперболический синус;

– гиперболический косинус («цепная линия»);

- гиперболический тангенс;

- гиперболический котангенс.

Найдем производную функции :

.

По налоги находим производные остальных гиперболических функций.

Таким образом,

17. ; 19. ;

18. ; 20. .

Поскольку на практике, приходиться работать со сложными функциями, то запишем таблицу производных соответствующим им сложных функций:

1. ; 8. ; 14. ;

2. ; 9. ; 15.

3. ; 10. ; 16. ;

4. ; 11. ; 17. ;

5. ; 12. ; 18. ;

6. ; 13. ; 19. ;

7. ; 20. ;

21. .

Пример 3.3. Найти производную следующей функции:

.

Решение. Используя таблицу производных и основные правила дифференцирования, получаем:

.

,

Пример 3.4. .

Решение. Проведем анализ структуры сложной функции:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Для нахождения производной данной функции воспользуемся таблицей производных и правилами дифференцирования.

Дифференцирование сложной функции выполняется в следующей последовательности:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Теперь весь процесс дифференцирования данной функции можно записать следующим образом:

.

,

3.6.Дифференцирование функций, заданных неявно

Функции, которые рассматривались выше, были представлены в виде , т.е. переменная y выражалась через переменную x.

Если функция задана уравнением , разрешенным относительно y, то функция задана в явном виде (явная функция). Например, , задает две функции .

Во многих задачах приходиться сталкиваться с ситуацией, когда переменную y невозможно выразить через x. Например, . В этих случаях функция записывается в виде , и говорят, что она задана неявно.

Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения , не разрешенного относительно y.

Чтобы найти производную функции, которая задана уравнением (задана неявно), достаточно продифференцировать это уравнение по x, рассматривая при этом y как функцию x, и полученное затем уравнение разрешить относительно .

Производная неявной функции выражается через аргумент x и функцию y.

Пример 3.5. Найти производную функции, заданной неявно:

.

Решение. Дифференцируем обе части данного уравнения, считая y функцией от x. Получаем

;

;

Отсюда находим

. ,

Чтобы найти производную функции, заданную уравнением , где y – функция независимой переменной x, то можно воспользоваться следующей формулой:

.

Пример 3.5 (2). Найти производную функции, заданной неявно:

.

Решение. Находим и .

; .

Затем находим

.

,

Пример 3.6. Найти значение производной функции в точке , если

.

Решение. Дифференцируем обе части данного уравнения, считая y функцией от x. Получаем

;

;

.

Отсюда находим

.

Далее

.

,

Дифференцирование функций,

Заданных параметрически

Кроме того, что функция может быть задана в явном или неявном виде, есть функции, которые можно задать параметрически.

Если зависимость между аргументом x и функцией y задана в виде уравнений

,

где t – вспомогательная переменная, называемая параметром, то говорят, что «функция задана параметрически».

Например, задает линейную функцию , которую можно получить, если из первого уравнения выразить t и подставить во второе.

Теорема 3.5. Пусть функция задана параметрически

,

и функции дифференцируемы в области определения переменной t, тогда

. (3.3)

Пример 3.7. Пусть . Найти .

Решение. Имеем .

Следовательно, .

,

В этом можно убедиться, если найти непосредственно зависимость y от x. Действительно, . Тогда . Отсюда , т.е. .

Пример 3.8. Пусть . Найти в точке .

Решение. Используя формулу (3.3), находим

.

Далее получаем

.

,

3.8. Производные высших порядков

Производная функции есть также функция от x и называется производной первого порядка.

Если функция дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядкаи обозначается: или . Итак,

.

Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается: или . Итак,

.

Производная n-го порядка (или n-й производной) называется производная от производной порядка:

. (3.4)

Производная порядка выше первого называются производными высших порядков. Начиная с производной четвертого порядка, производные обозначаются римскими цифрами или числами в скобках, например, или – производная пятого порядка.

Пример 3.9. Найти значение производной 4-го порядка для функции

при .

Решение. Находим последовательно

;

;

;

.

Следовательно, .

,

Пример 3.10. Найти производную n-го порядка для функции .

Решение. Находим последовательно

;

;

;

;

…………………….

. ,

Отметим, что в формуле (3.4) принято , т.е. производная нулевого порядка есть сама функция.

Пусть материальная точка движется прямолинейно по закону . Как известно, производная первого порядка .

Механический смысл производной второго порядка: вторая производная от пути по времени есть величина ускорения прямолинейного движения материальной точки, т.е. .

Пусть функция задана неявно в виде уравнения .

Продифференцировав это уравнение по x, и разрешив полученное уравнение относительно , найдем производную первого порядка. Продифференцировав по x первую производную, получим вторую производную от неявной функции. В нее войдут x, y и . Подставляя уже найденное значение в выражение второй производной, выразим через x и y.

Аналогично поступаем для нахождения производной третьего (и выше) порядка.